Fórmulas de probabilidad Son herramientas matemáticas importantes que se utilizan para calcular la probabilidad. Antes de conocer las fórmulas de probabilidad, debemos comprender brevemente el concepto de probabilidad. La posibilidad de que ocurra un evento aleatorio está definida por la probabilidad. Una probabilidad es una posibilidad de predicción. Sus aplicaciones se extienden a varios ámbitos, incluidas las estrategias de juego, la creación de pronósticos basados en la probabilidad en los negocios y el campo en evolución de la inteligencia artificial.
En este artículo, aprenderemos el significado y la definición de la fórmula de probabilidad y cómo utilizar estas fórmulas para calcular la probabilidad. También vemos varios términos relacionados con la Probabilidad y diferentes fórmulas para resolver problemas matemáticos fácilmente.
Tabla de contenidos
- ¿Qué es la fórmula de probabilidad?
- Términos relacionados con la fórmula de probabilidad
- Eventos en la fórmula de probabilidad
- Diferentes fórmulas de probabilidad
- Ejemplos de fórmula de probabilidad
¿Qué es la fórmula de probabilidad?
Las fórmulas de probabilidad se utilizan para determinar las posibilidades de un evento dividiendo el número de resultados favorables por el total de resultados posibles. Al utilizar esta fórmula, podemos estimar la probabilidad asociada con un suceso específico.
Matemáticamente, podemos escribir esta fórmula como:
P(A) = Número de resultados favorables / Número total de resultados posibles
La fórmula de probabilidad calcula la proporción de resultados favorables con respecto al conjunto completo de resultados posibles. El valor de probabilidad se encuentra dentro de un rango de 0 a 1, lo que significa que los resultados favorables no pueden superar los resultados totales y el valor negativo de los resultados favorables no es posible.
Aprender,
- Probabilidad en matemáticas
- Teoría de probabilidad
¿Cómo calcular la probabilidad?
Probabilidad de un Evento = (Recuento de resultados favorables) / (Número total de resultados posibles para el evento)
P(A) = n(E) / n(S)
P(A)<1
Aquí, P(A) significa la probabilidad de un evento A, donde n(E) es el recuento de resultados favorables y n(S) es el número total de resultados posibles para el evento.
Al considerar el evento complementario, representado como P(A’), que denota la no ocurrencia del evento A, entonces la fórmula será:
P(A’) = 1-P(A)
P(A’), es lo opuesto al evento A, lo que indica que ocurre el evento P(A) o su complemento P(A’).
Por lo tanto, ahora podemos decir; P(A) + P(A’) = 1
Aprender,
- Eventos en probabilidad
- Tipos de eventos en probabilidad
Términos relacionados con la fórmula de probabilidad
Algunos de los términos más comunes relacionados con la fórmula de probabilidad son:
- Experimento: Un experimento es una acción o procedimiento realizado para generar un resultado particular.
- Espacio muestral: El espacio muestral incluye todos los resultados potenciales completos que surgen de un experimento. Por ejemplo, al lanzar una moneda, el espacio muestral incluye {cara, cola}.
- Resultado favorable: Un resultado favorable es el resultado que se alinea con la conclusión prevista o esperada. En el caso de tirar dos dados, ejemplos de resultados favorables que resultan de una suma de 4 son (1,3), (2,2) y (3,1).
- Ensayo: Una prueba denota la ejecución de un experimento aleatorio.
- Experimento aleatorio: A Experimento aleatorio se caracteriza por un conjunto bien definido de resultados posibles. El ejemplo de experimento aleatorio es lanzar una moneda, donde el resultado podría ser cara o cruz. Eso significa que el resultado sería incierto.
- Evento: Un evento denota los resultados totales que provienen de un experimento aleatorio.
- Eventos igualmente probables: Eventos igualmente probables son aquellos eventos que tienen probabilidades idénticas de ocurrencia. El resultado de un evento no afecta el resultado de otro.
- Eventos exhaustivos: Un evento exhaustivo ocurre cuando el conjunto de todos los resultados posibles cubre el espacio muestral completo.
- Eventos mutuamente excluyentes: Eventos mutuamente excluyentes Son aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente. Por ejemplo, cuando lanzamos la moneda el resultado será cara o cruz pero no podemos sacar ambas al mismo tiempo.
Eventos en la fórmula de probabilidad
En la teoría de la probabilidad, un evento representa un conjunto de posibles resultados derivados de un experimento. A menudo forma un subconjunto del espacio muestral general. Si representamos la probabilidad de un evento E como P(E), se aplican los siguientes principios:
Cuando el evento E es imposible, entonces P(E) = 0.
Cuando el evento E es cierto, entonces P(E) = 1.
La probabilidad P(E) se encuentra entre 0 y 1.
Considere dos eventos, A y B. La probabilidad del evento A, denotada como P(A), que es mayor que la probabilidad del evento B, P(B).
Para un evento particular E, la fórmula de probabilidad será:
P(E)= n(E)/ n(S)
Aquí, n(E) representa el número de resultados favorables al evento E.
n(S) denota el recuento total de resultados dentro del espacio muestral.
Diferentes fórmulas de probabilidad
Las diferentes fórmulas de probabilidad se analizan a continuación:
Fórmula de probabilidad clásica
P(A) = Número de resultados favorables/Número total de resultados posibles
Fórmula de regla de suma
Cuando tratamos de un evento que es la unión de dos eventos separados, por ejemplo A y B, la probabilidad de la unión será:
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Fórmula de probabilidad conjunta
Representa los elementos comunes que constituyen los distintos subconjuntos de los eventos A y B. La fórmula se puede expresar como:
P (A ∩ B) = P (A).P (B)
Regla de suma para eventos mutuamente excluyentes
Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, eso significa que no pueden ocurrir al mismo tiempo, la probabilidad de que ocurra cualquiera de los eventos es igual a la suma de sus respectivas probabilidades.
P(A o B)=P(A)+P(B)
Fórmula de regla complementaria
Si A es un evento, entonces la probabilidad de que no sea A se expresa mediante la regla complementaria:
P(no A) = 1 – P(A) o P(A’) = 1 – P(A).
P(A) + P(A′) = 1.
Algunas fórmulas de probabilidad basadas en ellos son las siguientes:
P(A.A’) = 0
P(A.B) + P (A’.B’) = 1
P(A'B) = P(B) – P(A.B)
P(A.B’) = P(A) – P(A.B)
P(A+B) = P(AB’) + P(A’B) + P(A.B)
Fórmula de regla condicional
En el caso de que ya se conozca la ocurrencia del evento A, la probabilidad de que ocurra el evento B, denominada probabilidad condicional. Se puede calcular mediante la fórmula:
P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)
P (B/A): Probabilidad (condicional) del evento B cuando ha ocurrido el evento A.
P (A/B): Probabilidad (condicional) del evento A cuando ha ocurrido el evento B.
Fórmula de frecuencia relativa
La fórmula de frecuencia relativa se basa en frecuencias observadas en datos del mundo real. Esta fórmula se da como
P(A) = Número de veces que ocurre el evento A/Número total de ensayos u observaciones
Fórmula de probabilidad con la regla de la multiplicación
En situaciones en las que un evento representa la ocurrencia simultánea de otros dos eventos, denominados eventos A y B, las probabilidades de que ambos eventos ocurran simultáneamente se pueden calcular usando estas fórmulas:
P(A ∩ B) = P(A)⋅P(B) (en caso de eventos independientes)
P(A∩B) = P(A)⋅P(B∣A) (en caso de eventos dependientes)
Evento disjunto
Los eventos disjuntos son eventos que nunca ocurren al mismo tiempo. Estos también se conocen como eventos mutuamente excluyentes.
P(A∩B) = 0
Teorema de Bayes
El teorema de Bayes calcula la probabilidad del evento A dada la ocurrencia del evento B. La fórmula del teorema de Bayes viene dada como
P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)
Aprender, Teorema de Bayes
Fórmula de probabilidad dependiente
La probabilidad dependiente son eventos que se ven afectados por la ocurrencia de otros eventos. La fórmula para la probabilidad dependiente es,
P(B y A) = P(A)×P(B | A)
Fórmula de probabilidad independiente
La probabilidad independiente son eventos que no se ven afectados por la ocurrencia de otros eventos. La fórmula para la probabilidad independiente es,
P(A y B) = P(A)×P(B)
Fórmula de probabilidad binomial
La fórmula de probabilidad binomial se da como
P(x) = norte C X · pag X (1-p) n-x o P(r) = [n!/r!(n−r)!]· p r (1-p) n-r
Donde, n = Número total de eventos
r o x = Número total de eventos exitosos.
p = Probabilidad de éxito en un solo ensayo.
norteCr= [norte!/r!(n−r)]!
1 – p = Probabilidad de falla.
Aprender, Distribución binomial
Fórmula de probabilidad normal
La fórmula de probabilidad normal viene dada por:
P(x) = (1/√2П) mi (-x^2/2)
Aprender, Distribución normal
Fórmula de probabilidad experimental
La fórmula para la probabilidad experimental es;
Probabilidad P(x) = Número de veces que ocurre un evento / Número total de intentos.
Fórmula de probabilidad teórica
La fórmula de probabilidad teórica es,
P(x) = Número de resultados Favorables/ Número de resultados Posibles.
Fórmula de probabilidad de desviación estándar
La fórmula de probabilidad de desviación estándar se da como
P(x) = (1/σsqrt{2Pi}) e^{-(x-μ)^2/2σ^2} comando de creación de linux
Fórmula de probabilidad de Bernoulli
Una variable aleatoria X tendrá distribución de Bernoulli con probabilidad p, la fórmula es,
P(X = x) = p X (1-p) 1-x , para x = 0, 1 y P(X = x) = 0 para otros valores de x
Aquí, 0 es fracaso y 1 es éxito.
Aprender, Distribución Bernoulli
Fórmula de probabilidad clase 10
En la Clase 10, tenemos que estudiar la probabilidad básica, como la probabilidad de lanzar una moneda, lanzar 2 monedas, lanzar 3 monedas, lanzar un dado, lanzar dos dados y la probabilidad de sacar una carta de una baraja bien barajada. Todas estas cuestiones se pueden resolver con una sola fórmula. La fórmula de probabilidad clase 10 se da como
P(E) = n(E)/n(s)
Dónde,
P(E) es la probabilidad de un evento
n(E) es el número de ensayos en los que ocurrió el evento
n(S) es el número de espacio muestral
Fórmula de probabilidad para la clase 12
Las diversas fórmulas utilizadas en la clase de probabilidad 12 se tabulan a continuación:
Varias fórmulas de probabilidad | |
|---|---|
Nombre de la fórmula | Fórmula |
Fórmula de probabilidad experimental o empírica | Número de veces que ocurre un evento / Número total de intentos. |
Fórmula de probabilidad clásica o teórica | Número de resultados favorables/Número total de resultados posibles |
Fórmula de probabilidad de suma | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) |
Fórmula de probabilidad conjunta | P (A ∩ B) = P (A).P (B) |
Regla de suma para eventos mutuamente excluyentes | P(A o B)=P(A)+P(B) |
Fórmula de regla complementaria | P(no A) = 1 – P(A) o P(A’) = 1 – P(A). P(A) + P(A′) = 1 |
Fórmula de regla condicional | P(B∣A) = P(A∩B)/P(A) |
Fórmula de frecuencia relativa | P(A)= Número de veces que ocurre el evento A/Número total de ensayos u observaciones |
Evento disjunto | P(A∩B) = 0 |
Teorema de Bayes | P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B) |
Fórmula de probabilidad dependiente | P(B y A) = P(A)×P(B | A) |
Fórmula de probabilidad independiente | P(A y B) = P(A)×P(B) |
Fórmula de probabilidad binomial | P(x) =norteCX· pagX(1-p)n-xo P(r) = [n!/r!(n−r)!]· pr(1-p)n-r |
Fórmula de probabilidad normal | P(x) = (1/√2П) mi(-x2/2) |
Fórmula de probabilidad de desviación estándar | P(x) = (1/σ√2П) mi-(x-m)^2/2s^2 |
Fórmula de probabilidad de Bernoulli | P(X = x) = pX(1-p)1x, para x = 0, 1 y P(X = x) = 0 para otros valores de x. |
Además, consulte
- Probabilidad de lanzamiento de moneda
- Probabilidad de la tarjeta
- Fórmulas estadísticas
Ejemplos de fórmula de probabilidad
Ejemplo 1: seleccione una carta al azar de un mazo estándar. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta con cara femenina?
Solución:
En una baraja estándar que contiene 52 cartas: Total de resultados posibles = 52
El número de eventos favorables (considerando solo a las reinas como rostros femeninos) = 4
Por tanto, la probabilidad P(A) se calcula mediante la fórmula:
P(A) = Número de resultados favorables ÷ Número total de resultados
= 4/52
= 1/13.
Ejemplo 2: Si la probabilidad del evento E, denotada como P(E)=0,35, ¿cuál es la probabilidad del evento complementario 'no E'?
Solución:
Dado que P(E)=0,35, podemos utilizar la fórmula de probabilidad complementaria:
P(E) + P(no E) = 1
Sustituyendo el valor conocido:
P(no E) = 1 – P(E)
P(no E) = 1 – 0,35
Por tanto, P(no E) = 0,65
Ejemplo 3: Los incendios peligrosos son muy raros (alrededor del 1%) pero el humo es bastante común (alrededor del 20%) debido a las barbacoas. Encuentre el incendio peligroso cuando el 80% de los incendios peligrosos producen humo.
Solución:
Probabilidad de incendio peligroso cuando hay humo según el teorema de Bayes:
P(Fuego|Humo) = {P(Fuego)P(Humo Fuego)}/P(Humo)
P(Fuego)=0,01(1%) y P(Humo|Fuego)= 0,80 (80%), podemos sustituir estos valores:
P(Fuego | Humo)=( 0,02×0,90)/ 0,30
(Fuego | Humo)=0,018/0,30
(Fuego | Humo)= 0,06 = 6%.
Ejemplo 4: Dentro de una bolsa, hay 2 bombillas verdes, 4 bombillas naranjas y 6 bombillas blancas. Cuando se elige al azar una bombilla de la bolsa, ¿cuál es la probabilidad de sacar una bombilla verde o una blanca?
Solución:
El número total de bombillas en la bolsa es 2 verdes + 4 naranjas + 6 blancas = 12 bombillas
Número de bombillas verdes = 2 y número de bombillas blancas = 6
Probabilidad = (Número de bombillas verdes + Número de bombillas blancas) / Número total de bombillas
Probabilidad = (2+6)/12
Probabilidad = 8/12
Probabilidad = 2/3.
Preguntas de práctica sobre fórmula de probabilidad
P1. De una colección de canicas en una bolsa (8 rojas, 9 azules y 6 verdes), se escogen dos canicas al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas canicas seleccionadas sean azules?
P2. De un cajón que contiene 6 bolígrafos negros, 4 bolígrafos azules y 7 bolígrafos rojos, se extrae un bolígrafo al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el bolígrafo sea negro o azul?
P3. Al tomar una carta de una baraja de 52 cartas completamente barajada, determine la probabilidad de que la carta:
- Sé un rey.
- No ser rey.
P4. Según una encuesta, al 70% de las personas les gusta el chocolate y, entre los entusiastas del chocolate, al 60% también les gusta la vainilla. ¿Cuál es la probabilidad de que a un individuo le guste la vainilla, dada su afición por el chocolate?
P5. Determine la probabilidad de obtener un número impar al lanzar un dado de seis caras.
Fórmula de probabilidad: preguntas frecuentes
1. ¿Qué es el significado de probabilidad?
La posibilidad de que ocurra un evento aleatorio está definida por la probabilidad. Una probabilidad es una posibilidad de predicción.
2. ¿Cuál es el significado de la fórmula de probabilidad?
Las fórmulas de probabilidad se utilizan para determinar las posibilidades de un evento dividiendo el número de resultados favorables por el total de resultados posibles. El valor de probabilidad se encuentra dentro de un rango de 0 a 1, lo que significa que los resultados favorables no pueden superar los resultados totales y el valor negativo de los resultados favorables no es posible.
3. ¿Cuál es el significado de la notación U y ∩ en probabilidad?
El símbolo U en probabilidad denota una distribución uniforme. Por otro lado, el símbolo ∩ significa la intersección de conjuntos. En términos más simples, la intersección de dos conjuntos es el conjunto más extenso que involucra todos los elementos compartidos por ambos conjuntos.
4. ¿Cuál es la Fórmula Convencional para calcular la Probabilidad?
La probabilidad de un evento = (Recuento de resultados favorables) / (Número total de resultados posibles para el evento)
P(A) = n(E) / n(S)
P(A)<1
Aquí, P(A) significa la probabilidad de un evento A, donde n(E) es el recuento de resultados favorables y n(S) es el número total de resultados posibles para el evento.
5. ¿Qué es la Fórmula Complementaria?
Si A es un evento, entonces la probabilidad de que no sea A se expresa mediante la regla complementaria:
P(no A) = 1 – P(A) o P(A’) = 1 – P(A).
P(A) + P(A′) = 1.
6. ¿Qué es un evento disjunto?
Los eventos disjuntos son eventos que nunca ocurren al mismo tiempo. Estos también se conocen como eventos mutuamente excluyentes.
P(A∩B) = 0.
7. ¿Qué es el teorema de Bayes?
P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)
El teorema de Bayes calcula la probabilidad del evento A dada la ocurrencia del evento B.
8. ¿Qué es la fórmula condicional?
En el caso de que ya se conozca la ocurrencia del evento A, la probabilidad de que ocurra el evento B, denominada probabilidad condicional. Se puede calcular mediante la fórmula:
P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)
P (B/A): Probabilidad (condicional) del evento B cuando ha ocurrido el evento A.
P (A/B): Probabilidad (condicional) del evento A cuando ha ocurrido el evento B.
9. ¿Cuáles son algunos ejemplos de probabilidad de la vida real?
La predicción del tiempo, los juegos de cartas, las votaciones políticas, los juegos de dados y el lanzamiento de una moneda, etc., son algunos ejemplos de probabilidad.