Teorema de Bayes Se utiliza para determinar la probabilidad condicional de un evento. Lleva el nombre de un estadístico inglés, Thomas Bayes quien descubrió esta fórmula en 1763. El teorema de Bayes es un teorema muy importante en matemáticas, que sentó las bases de un enfoque de inferencia estadística único llamado La inferencia de Bayes. Se utiliza para encontrar la probabilidad de un evento, basándose en el conocimiento previo de las condiciones que podrían estar relacionadas con ese evento.

Por ejemplo, si queremos encontrar la probabilidad de que una canica blanca extraída al azar provenga de la primera bolsa, dado que ya se ha extraído una canica blanca, y hay tres bolsas, cada una de las cuales contiene canicas blancas y negras, entonces podemos usar el teorema de Bayes.

Este artículo explora el teorema de Bayes, incluido su enunciado, demostración, derivación y fórmula del teorema, así como sus aplicaciones con varios ejemplos.

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¿Qué es el teorema de Bayes?

El teorema de Bayes (también conocido como regla de Bayes o ley de Bayes) se utiliza para determinar la probabilidad condicional del evento A cuando el evento B ya ha ocurrido.

El enunciado general del teorema de Bayes es La probabilidad condicional de un evento A, dada la ocurrencia de otro evento B, es igual al producto del evento de B, dado A y la probabilidad de A dividida por la probabilidad del evento B. es decir.

P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)

dónde,

• PENSILVANIA) y P(B) son las probabilidades de los eventos A y B
• P(A|B) es la probabilidad del evento A cuando ocurre el evento B
• P(B|A) es la probabilidad del evento B cuando sucede A

Controlar: Teorema de Bayes para la probabilidad condicional

Declaración del teorema de Bayes

El teorema de Bayes para n conjuntos de eventos se define como,

Sea mi₁, Y₂,…, Y_norteser un conjunto de eventos asociados con el espacio muestral S, en el que todos los eventos E₁, Y₂,…, Y_nortetienen una probabilidad de ocurrencia distinta de cero. Todos los eventos E₁, Y₂,…, E forman una partición de S. Sea A un evento del espacio S para el cual tenemos que encontrar la probabilidad, entonces, según el teorema de Bayes,

EDUCACIÓN FÍSICA _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

para k = 1, 2, 3,…., norte

Fórmula del teorema de Bayes

Para dos eventos cualesquiera A y B, la fórmula para el teorema de Bayes viene dada por: (la imagen que aparece a continuación muestra la fórmula del teorema de Bayes)

Fórmula del teorema de Bayes

dónde,

• PENSILVANIA) y P(B) son las probabilidades de los eventos A y B además P(B) nunca es igual a cero.
• P(A|B) es la probabilidad del evento A cuando ocurre el evento B
• P(B|A) es la probabilidad del evento B cuando sucede A

Derivación del teorema de Bayes

La prueba del teorema de Bayes se da como, según la fórmula de probabilidad condicional,

EDUCACIÓN FÍSICA _i |A) = P(E _i ∩A) / P(A)…..(i)

Luego, usando la regla de multiplicación de probabilidad, obtenemos

EDUCACIÓN FÍSICA _i ∩A) = P(E _i )P(A|E _i )……(ii)

Ahora, según el teorema de probabilidad total,

PAG(A) = ∑ P(E _k )P(A|E _k )…..(iii)

Sustituyendo el valor de P(E_i∩A) y P(A) de la ecuación (ii) y la ecuación (iii) en la ecuación (i) obtenemos,

EDUCACIÓN FÍSICA _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

El teorema de Bayes también se conoce como la fórmula para la probabilidad de causas . Como sabemos, la E _i son una partición del espacio muestral S, y en un momento dado solo uno de los eventos E _i ocurre. Por lo tanto, concluimos que la fórmula del teorema de Bayes da la probabilidad de un E particular_i, dado que ha ocurrido el evento A.

Términos relacionados con el teorema de Bayes

Después de conocer en detalle el teorema de Bayes, comprendamos algunos términos importantes relacionados con los conceptos que cubrimos en fórmula y derivación.

• Hipótesis: Eventos que suceden en el espacio muestral. Y ₁ , Y ₂ ,… Y _norte se llama hipótesis

• Probabilidad a priori: La probabilidad a priori es la probabilidad inicial de que ocurra un evento antes de que se tengan en cuenta nuevos datos. EDUCACIÓN FÍSICA_i) es la probabilidad a priori de la hipótesis E_i.

• Probabilidad posterior: La probabilidad posterior es la probabilidad actualizada de un evento después de considerar nueva información. Probabilidad P(E_i|A) se considera como la probabilidad posterior de la hipótesis E_i.

La probabilidad condicional

• La probabilidad de que ocurra un evento A en función de la ocurrencia de otro evento B se denomina la probabilidad condicional .
• Se denota como P(A|B) y representa la probabilidad de A cuando el evento B ya ocurrió.

Probabilidad conjunta

Cuando se mide la probabilidad de que dos eventos más ocurran juntos y al mismo tiempo, se marca como probabilidad conjunta. Para dos eventos A y B, se denota por probabilidad conjunta como, P(A∩B).

Variables aleatorias

Las variables de valor real cuyos valores posibles se determinan mediante experimentos aleatorios se denominan variables aleatorias. La probabilidad de encontrar tales variables es la probabilidad experimental.

Aplicaciones del teorema de Bayes

La inferencia bayesiana es muy importante y ha encontrado aplicación en diversas actividades, incluidas la medicina, la ciencia, la filosofía, la ingeniería, los deportes, el derecho, etc., y la inferencia bayesiana se deriva directamente del teorema de Bayes.

Ejemplo: El teorema de Bayes define la precisión de una prueba médica teniendo en cuenta la probabilidad de que una persona padezca una enfermedad y cuál es la precisión general de la prueba.

Diferencia entre probabilidad condicional y teorema de Bayes

La diferencia entre probabilidad condicional y teorema de Bayes se puede entender con la ayuda de la tabla que figura a continuación.

Teorema de la probabilidad total

Sea mi₁, Y₂, . . ., Y_norteson eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos asociados con un experimento aleatorio y permite que E sea un evento que ocurre con algún E_i. Luego, demuestra que

P(E) = ^norte ∑ _yo=1 ORINAR _i ). EDUCACIÓN FÍSICA _j )

Prueba:

Sea S el espacio muestral. Entonces,

S = mi₁∪ mi₂∪ mi₃∪ . . . ∪ Uno y E_i∩ mi_j= ∅ para yo ≠ j.

mi = mi ∩ S

⇒ mi = mi ∩ (mi₁∪ mi₂∪ mi₃∪ . . . ∪ mi_norte)

⇒ mi = (mi ∩ mi₁) ∪ (mi ∩ mi₂) ∪ . . . ∪ (mi ∩ mi_norte)

P(mi) = P{(mi ∩ mi₁) ∪ (mi ∩ mi₂)∪ . . . ∪(mi ∩ mi_norte)}

⇒ P(E) = P(E ∩ E₁) + P(mi ∩ mi₂) + . . . + P(mi ∩ mi_norte)

{Por lo tanto, (E ∩ E₁), (mi ∩ mi₂), . . . ,(mi ∩ mi_norte)} son pares separados}

⇒ P(E) = P(E/E₁). EDUCACIÓN FÍSICA₁) + P(E/E₂). EDUCACIÓN FÍSICA₂) + . . . + P(E/E_norte). EDUCACIÓN FÍSICA_norte) [por teorema de la multiplicación]

⇒ P(E) =^norte∑_yo=1ORINAR_i). EDUCACIÓN FÍSICA_i)

Artículos relacionados con el teorema de Bayes

• Distribución de probabilidad
• Teorema de Bayes para la probabilidad condicional
• Permutaciones y combinaciones
• Teorema del binomio

Conclusión: teorema de Bayes

El teorema de Bayes ofrece un marco poderoso para actualizar la probabilidad de una hipótesis basándose en nueva evidencia o información. Al incorporar conocimientos previos y actualizarlos con datos observados, el teorema de Bayes permite una toma de decisiones más precisa e informada en una amplia gama de campos, incluidos la estadística, el aprendizaje automático, la medicina y las finanzas. Sus aplicaciones abarcan desde diagnóstico médico y evaluación de riesgos hasta filtrado de spam y procesamiento de lenguaje natural.

Comprender y aplicar el teorema de Bayes nos permite hacer mejores predicciones, estimar incertidumbres y extraer conocimientos significativos de los datos, lo que en última instancia mejora nuestra capacidad para tomar decisiones informadas en situaciones complejas e inciertas.

Verifique también:

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• Teorema de Bayes en minería de datos
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Ejemplos del teorema de Bayes

Ejemplo 1: Una persona ha asumido un trabajo. Las probabilidades de finalización del trabajo a tiempo con y sin lluvia son 0,44 y 0,95 respectivamente. Si la probabilidad de que llueva es 0.45, entonces determine la probabilidad de que el trabajo se complete a tiempo.

Solución:

Sea mi₁ser el caso de que el trabajo minero se complete a tiempo y E₂ser el caso de que llueva. Tenemos,

P(A) = 0,45,

P(sin lluvia) = P(B) = 1 − P(A) = 1 − 0,45 = 0,55

Por la ley de probabilidad de multiplicación,

EDUCACIÓN FÍSICA₁) = 0,44, y P(E₂) = 0.95

Dado que los eventos A y B forman particiones del espacio muestral S, según el teorema de probabilidad total, tenemos

P(E) = P(A) P(E)₁) + P(B) P(E₂)

⇒ P(E) = 0,45 × 0,44 + 0,55 × 0,95

⇒ P(E) = 0,198 + 0,5225 = 0,7205

Entonces, la probabilidad de que el trabajo se complete a tiempo es 0,7205.

Ejemplo 2: Hay tres urnas que contienen 3 bolas blancas y 2 negras; 2 bolas blancas y 3 negras; 1 bola negra y 4 blancas respectivamente. Existe la misma probabilidad de que se elija cada urna. Una bola tiene la misma probabilidad elegida al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que salga una bola blanca?

Solución:

Sea mi₁, Y₂y E₃serán los eventos de elegir la primera, segunda y tercera urna respectivamente. Entonces,

EDUCACIÓN FÍSICA₁) = P(E₂) = P(E₃) =1/3

Sea E el evento de que se extraiga una bola blanca. Entonces,

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ORINAR₁) = 3/5, P(E/E₂) = 2/5, P(E/E₃) = 4/5

Por el teorema de probabilidad total, tenemos

P(E) = P(E/E₁). EDUCACIÓN FÍSICA₁) + P(E/E₂). EDUCACIÓN FÍSICA₂) + P(E/E₃). EDUCACIÓN FÍSICA₃)

⇒ P(E) = (3/5 × 1/3) + (2/5 × 1/3) + (4/5 × 1/3)

⇒ P(E) = 9/15 = 3/5

Ejemplo 3: Se pierde una carta de una baraja de 52 cartas. De las cartas restantes del paquete, se extraen dos cartas y resulta que ambas son corazones. Calcula la probabilidad de que la carta perdida sea un corazón.

Solución:

Sea mi₁, Y₂, Y_3,y E₄serán los eventos de perder una carta de corazones, tréboles, espadas y diamantes respectivamente.

Entonces P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = P(E₄) = 13/52 = 1/4.

Sea E el evento de sacar 2 corazones de las 51 cartas restantes. Entonces,

P(E|E₁) = probabilidad de sacar 2 corazones, dado que falta una carta de corazones

⇒ P(E|E₁) =¹²C₂/⁵¹C₂= (12 × 11)/2! × 2!/(51 × 50) = 22/425

P(E|E₂) = probabilidad de sacar 2 tréboles, dado que falta una carta de tréboles

⇒ P(E|E₂) =¹³C₂/⁵¹C₂= (13 × 12)/2! × 2!/(51 × 50) = 26/425

P(E|E₃) = probabilidad de sacar 2 espadas, dado que falta una carta de corazones

⇒ P(E|E₃) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

P(E|E₄) = probabilidad de sacar 2 diamantes, dado que falta una carta de diamantes

⇒ P(E|E₄) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

Por lo tanto,

EDUCACIÓN FÍSICA₁|E) = probabilidad de que la carta perdida sea un corazón, dado que los 2 corazones se extraen de las 51 cartas restantes

⇒ P(E₁|mi) = P(mi₁). P(E|E₁)/EDUCACIÓN FÍSICA₁). P(E|E₁) + P(mi₂). P(E|E₂) + P(mi₃). P(E|E₃) + P(mi₄). P(E|E₄)

⇒ P(E₁|E) = (1/4 × 22/425) / {(1/4 × 22/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425)}

⇒ P(E₁|E) = 22/100 = 0,22

Por tanto, la probabilidad requerida es 0,22.

Ejemplo 4: Supongamos que 15 hombres de 300 hombres y 25 mujeres de 1000 son buenos oradores. Se elige un orador al azar. Encuentre la probabilidad de que se seleccione una persona del sexo masculino. Supongamos que hay igual número de hombres y mujeres.

Solución:

gievn,

• Hombres totales = 300
• Total de mujeres = 1000
• Buenos oradores entre los hombres = 15
• Buenos oradores entre las mujeres = 25

Número total de buenos oradores = 15 (de hombres) + 25 (de mujeres) = 40

Probabilidad de seleccionar un orador hombre:

P(Orador masculino) = Número de oradores masculinos / número total de oradores = 15/40

Ejemplo 5: Se sabe que un hombre dice mentiras 1 de cada 4 veces. Lanza un dado y dice que es un seis. Calcula la probabilidad de que en realidad sea un seis.

Solución:

En un lanzamiento de dado, dejemos

Y₁= evento de obtener un seis,

Y₂= evento de no obtener un seis y

E = evento de que el hombre reporta que es un seis.

Entonces, P(E₁) = 1/6, y P(E₂) = (1 – 1/6) = 5/6

P(E|E₁) = probabilidad de que el hombre informe que ocurre seis cuando en realidad ha ocurrido seis

⇒ P(E|E₁) = probabilidad de que el hombre diga la verdad

⇒ P(E|E₁) = 3/4

P(E|E₂) = probabilidad de que el hombre informe que ocurre seis cuando en realidad no ha ocurrido seis

⇒ P(E|E₂) = probabilidad de que el hombre no diga la verdad

⇒ P(E|E₂) = (1 – 3/4) = 1/4

Probabilidad de obtener un seis, dado que el hombre informa que es seis

EDUCACIÓN FÍSICA₁|mi) = P(mi|mi₁) × P(E₁)/P(E|E₁) × P(E₁) + P(E|E₂) × P(E₂) [según el teorema de Bayes]

⇒ P(E₁|E) = (3/4 × 1/6)/{(3/4 × 1/6) + (1/4 × 5/6)}

⇒ P(E₁|mi) = (1/8 × 3) = 3/8

Por tanto, la probabilidad requerida es 3/8.

Preguntas frecuentes sobre el teorema de Bayes

¿Qué es el teorema de Bayes?

El teorema de Bayes, como su nombre indica, es un teorema matemático que se utiliza para encontrar la probabilidad de condicionalidad de un evento. La probabilidad condicional es la probabilidad de que un evento ocurra en el futuro. Se calcula en base a los resultados anteriores de los eventos.

¿Cuándo se utiliza el teorema de Bayes?

El teorema de Bayes tiene una amplia gama de aplicaciones, especialmente en campos que se ocupan de la actualización de probabilidades en función de nuevos datos. La regla de Bayes te permite calcular el probabilidad posterior (o actualizada). Se utiliza para calcular la probabilidad condicional de eventos.

¿Cuáles son algunos términos clave para entender el teorema de Bayes?

Algunos de los términos clave son:

• Probabilidad previa (P(A))
• Probabilidad posterior (P(A | B))
• Probabilidad (P(B | A))
• Probabilidad marginal (P(B))

¿Cuándo utilizar el teorema de Bayes?

El teorema de Bayes es aplicable cuando se da la probabilidad condicional de un evento y se utiliza para encontrar la probabilidad inversa del evento.

¿En qué se diferencia el teorema de Bayes de la probabilidad condicional?

El teorema de Bayes se utiliza para definir la probabilidad de un evento en función de las condiciones previas del evento. Mientras que el teorema de Bayes utiliza la probabilidad condicional para encontrar la probabilidad inversa del evento.

¿Cuál es la fórmula del teorema de Bayes?

La fórmula del teorema de Bayes se explica a continuación,

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P(A|B) = [P(B|A) P(A)] / P(B)