Distribución normal: La distribución normal es la forma más común o normal de distribución de variables aleatorias. de ahí el nombre de distribución normal. También es llamado Distribución gaussiana en Estadística o Probabilidad. Usamos esta distribución para representar una gran cantidad de variables aleatorias.

Aprendamos sobre Distribución Normal en detalle, incluyendo su fórmula, características y ejemplos.

Tabla de contenidos

• ¿Qué es la distribución normal?
• Ejemplos de distribución normal
• Fórmula de distribución normal
• Curva de distribución normal
• Desviación estándar de distribución normal
• Gráfico de distribución normal
• Tabla de distribución normal
• Propiedades de la distribución normal
• Distribución normal en estadística
• Problemas y soluciones de distribución normal

¿Qué es la distribución normal?

Definimos la Distribución Normal como la función de densidad de probabilidad de cualquier variable aleatoria continua para cualquier sistema dado. Ahora, para definir la distribución normal, supongamos que tomamos f (x) como función de densidad de probabilidad para cualquier variable aleatoria X.

Además, la función se integra entre el intervalo, (x, {x + dx}) entonces,

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f(x) ≥ 0 ∀ x ϵ (−∞,+∞),

_-∞ ∫ ^+∞ f(x) = 1

Observamos que la curva que trazan los valores superiores de la Distribución Normal tiene forma de Campana, de ahí que la Distribución Normal también se llame Curva de campana .

Controlar: Python: distribución normal en estadística

Ejemplos de distribución normal

Podemos dibujar una distribución normal para varios tipos de datos que incluyen,

• Distribución de la altura de las personas
• Distribución de errores en cualquier medición.
• Distribución de la Presión Arterial de cualquier Paciente, etc.

Fórmula de distribución normal

La fórmula para la función de densidad de probabilidad de la distribución normal (distribución gaussiana) se agrega a continuación:

dónde,

• x es Variable aleatoria
• µ es Significar
• σ es Desviación Estándar

Curva de distribución normal

En cualquier Distribución Normal, las variables aleatorias son aquellas variables que toman valores desconocidos relacionados con la distribución y generalmente están limitadas por un rango.

Un ejemplo de variable aleatoria es, supongamos que tomamos una distribución de la altura de los estudiantes en una clase, entonces la variable aleatoria puede tomar cualquier valor en esta caso, pero está limitado por un límite de 2 pies a 6 pies, ya que generalmente se fuerza físicamente.

• Rango de cualquier La distribución normal puede ser infinita, en este caso decimos que a la distribución normal no le molesta su rango. En este caso, el rango se extiende de –∞ a + ∞.
• La curva de campana todavía existe, en ese caso, todas las variables en ese rango se llaman variable continua y su distribución se llama Distribución Normal ya que todos los valores generalmente están alineados con el valor medio.
• El El gráfico o la curva del mismo se llama Curva de distribución normal o Gráfico de distribución normal.

Desviación estándar de distribución normal

Sabemos que la media de cualquier dato distribuido en una gráfica nos ayuda a encontrar el eje de simetría de la gráfica, mientras que la desviación estándar nos dice qué tan lejos se extienden los datos del valor medio en cada lado. Para valores más pequeños de la desviación estándar, los valores en el gráfico se acercan y el gráfico se vuelve más estrecho. Mientras que para valores más altos de la desviación estándar los valores en el gráfico se dispersan más y el gráfico se vuelve más ancho.

Regla empírica de la desviación estándar

Generalmente, la distribución normal tiene una desviación estándar positiva y la desviación estándar divide el área de la curva normal en partes más pequeñas y cada parte define el porcentaje de datos que cae en una región específica. Esto se llama regla empírica de la desviación estándar en la distribución normal. .

La regla empírica establece que,

• El 68% de los datos se encuentran aproximadamente dentro de una desviación estándar de la media, es decir, se encuentran entre { Media: una desviación estándar y media + una desviación estándar }
• El 95% de los datos se encuentran aproximadamente dentro de dos desviaciones estándar de la media, es decir, se encuentran entre { Media: dos desviaciones estándar y media + dos desviaciones estándar }
• El 99,7% de los datos se encuentran aproximadamente dentro de un tercio de desviación estándar de la media, es decir, se encuentran entre { Media: tercera desviación estándar y media + tercera desviación estándar }

Gráfico de distribución normal

Estudiando En el gráfico queda claro que utilizando la regla empírica distribuimos los datos ampliamente en tres partes. Y por eso, la regla empírica también se llama regla 68 – 95 – 99,7.

Controlar: Matemáticas | Distribución de probabilidad Conjunto 3 (Distribución normal)

Tabla de distribución normal

La tabla de distribución normal, que también se denomina tabla Z de distribución normal, es la tabla del valor z para la distribución normal. Esta tabla de distribución normal Z se proporciona de la siguiente manera:

Propiedades de la distribución normal

Algunas propiedades importantes de la distribución normal son,

• Para una distribución normal de datos, la media, la mediana y la moda son iguales (es decir, Media = Mediana = Moda).
• El área total bajo la curva de distribución normal es igual a 1.
• La curva normalmente distribuida es simétrica en el centro a lo largo de la media.
• En una curva distribuida normalmente, hay exactamente la mitad del valor a la derecha del valor central y exactamente la mitad del valor al lado derecho del valor central.
• La distribución normal se define utilizando los valores de la media y la desviación estándar.

• La curva de distribución normal es una curva unimodal, es decir, una curva con un solo pico.

La gente también ve:

• Distribución de veneno
• Distribución binomial
• Distribución de probabilidad

Distribución normal en estadística

• Distribución normal, también conocida como distribución gaussiana , es un Curva en forma de campana que describe una gran cantidad de fenómenos del mundo real. . Es uno de los conceptos más importantes en estadística porque aparece en muchas áreas de estudio.
• Curva en forma de campana : Imagine una campana simétrica donde el centro es el punto más alto y las colas se estrechan a cada lado. Esa es la forma básica de una distribución normal. La mayoría de los puntos de datos se agrupan alrededor del centro y, a medida que se aleja del centro, los puntos de datos se vuelven menos frecuentes.
• Tendencia central: el centro de la curva de campana representa la tendencia central de los datos, lo que significa que muestra dónde se concentran la mayoría de los valores. Esta podría ser la media, la mediana o la moda, según el conjunto de datos específico.
• Difusión de datos: El ancho de la curva de campana indica qué tan dispersos están los datos; una curva más ancha significa que los puntos de datos están más dispersos, mientras que una curva más estrecha significa que los puntos de datos están más cerca entre sí.
• Variables aleatorias: la distribución normal se utiliza normalmente con variables aleatorias continuas, que pueden tomar cualquier valor dentro de un rango específico. Los ejemplos incluyen alturas, pesos, puntuaciones de coeficiente intelectual o calificaciones de exámenes.

Controlar : Distribución normal en estadísticas empresariales

Problemas y soluciones de distribución normal

Resolvamos algunos problemas sobre distribución normal.

Ejemplo 1: Encuentre la función de densidad de probabilidad de la distribución normal de los siguientes datos. x = 2, μ = 3 y σ = 4.

Solución:

Dado,

• Variable (x) = 2
• Media = 3
• Desviación estándar = 4

Usando la fórmula de densidad de probabilidad de distribución normal.

f(x,mu , sigma ) =frac{1}{sigma sqrt{2pi }}e^frac{-(x-mu)^2}{2sigma^{2}}

Simplificando,

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f(2, 3, 4) = 0,09666703

Ejemplo 2: si el valor de la variable aleatoria es 4, la media es 4 y la desviación estándar es 3, entonces encuentre la función de densidad de probabilidad de la distribución gaussiana.

Solución:

Dado,

• Variable (x) = 4
• Media = 4
• Desviación estándar = 3

Usando la fórmula de densidad de probabilidad de distribución normal.

f(x,mu , sigma ) =frac{1}{sigma sqrt{2pi }}e^frac{-(x-mu)^2}{2sigma^{2}}

Simplificando,

f(4, 4, 3) = 1/(3√2π)e⁰

f(4, 4, 3) = 0,13301

Conclusión: distribución normal

La Distribución Normal, también conocida como distribución Gaussiana, es un concepto fundamental en estadística y teoría de la probabilidad. Se caracteriza por su curva en forma de campana, simétrica y centrada alrededor de la media. Las propiedades de la distribución normal, como su media y desviación estándar, desempeñan papeles cruciales en muchos análisis y aplicaciones estadísticas. Las distribuciones normales se utilizan ampliamente en campos como las finanzas, la ingeniería, las ciencias naturales y las ciencias sociales para modelar y analizar una amplia gama de fenómenos. Comprender la distribución normal permite una mejor interpretación de los datos, la estimación de probabilidades y la toma de decisiones informadas basadas en inferencias estadísticas.

Preguntas frecuentes sobre la distribución normal

¿Qué es la distribución normal?

En estadística, la distribución normal es una distribución de probabilidad que es simétrica con respecto a la media, lo que muestra que los datos cercanos a la media ocurren con mayor frecuencia que los datos alejados de la media.

¿Por qué la distribución normal se llama normal?

La Distribución Normal, también llamada Distribución Gaussiana, se llama Normal porque se muestra que varios procesos naturales normalmente siguen la distribución Gaussiana y de ahí el nombre de Distribución Normal.

¿Qué es el gráfico de distribución normal?

Un gráfico de distribución normal, también conocido como distribución gaussiana o curva de campana, es un tipo específico de distribución de probabilidad. Se caracteriza por su curva simétrica en forma de campana cuando se representa en un gráfico.

¿Qué es la tabla Z de distribución normal?

La tabla Z, también conocida como tabla de distribución normal estándar o tabla de puntuación Z, es una tabla de referencia utilizada en estadística para encontrar las probabilidades asociadas con valores específicos en una distribución normal estándar.

¿Cuáles son las características de la distribución normal?

Las propiedades de la distribución normal son,

• La curva de distribución normal es simétrica con respecto a la media.
• La distribución normal es de naturaleza unimodal, es decir, tiene un valor máximo único.
• La curva de distribución normal siempre tiene forma de campana.
• Media, moda y mediana para la distribución normal es siempre igual.
• La distribución normal sigue la regla empírica.

¿Qué es la media de distribución normal?

La media (indicada como μ) representa el valor central o promedio de los datos. También es el punto alrededor del cual se distribuyen simétricamente los datos.

¿Qué es la desviación estándar de la distribución normal?

La desviación estándar (denotada como σ) mide la dispersión de los puntos de datos en la distribución. Una σ más pequeña indica que los puntos de datos están estrechamente agrupados alrededor de la media, mientras que una σ más grande indica una mayor dispersión.

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¿Qué es la regla empírica (regla 68-95-99.7)?

Regla empírica para estados de distribución normal,

• Aproximadamente el 68% de los datos se encuentran dentro de una desviación estándar de la media.
• Aproximadamente el 95% se encuentra dentro de dos desviaciones estándar de la media.
• Alrededor del 99,7% se encuentra dentro de tres desviaciones estándar de la media.

¿Cuáles son los usos de la distribución normal?

Varios usos de la distribución normal son,

• Para estudiar varios fenómenos naturales.
• Para el estudio de datos financieros.
• En Ciencias Sociales para estudiar y predecir diversos parámetros, etc.

¿Cuáles son las limitaciones de la distribución normal?

La distribución normal es un concepto estático extremadamente importante, pero incluso tiene algunas limitaciones como,

• Diversas distribuciones de datos no siguen la distribución normal y, por lo tanto, no se pueden comentar sobre estos datos.
• Depender demasiado de la distribución normal o de la curva de Bell no es una buena manera de predecir los datos, ya que no es 100 % preciso, etc.