Subconjuntos en matemáticas son un concepto central en el estudio de la teoría de conjuntos, similar a los conjuntos. Un grupo de elementos, objetos o miembros encerrados entre llaves, como {x, y, z}, se denomina Colocar , donde cada miembro del conjunto es único. Entonces, para un conjunto de {x, y, z} los subconjuntos posibles son {}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {z, x} o { x, y, z}. Al definir un conjunto, sus elementos también pueden ser números reales, constantes, variables o cualquier otro objeto.
Este artículo explora el concepto de Subconjuntos en detalle y lo hace fácil de entender para todos los lectores del artículo sin importar su nivel académico. Todos los subtemas, como su significado, definición, símbolo, ejemplo y muchos más, se tratan en el artículo con muchos ejemplos. Entonces, comencemos nuestro viaje al país de la teoría de conjuntos y comprendamos este concepto de subconjuntos.
En este artículo, hemos proporcionado información detallada sobre ¿Qué son los subconjuntos en matemáticas, los superconjuntos en matemáticas, el subconjunto adecuado y el subconjunto inadecuado con ejemplos y preguntas frecuentes?
Tabla de contenidos
- ¿Qué son los subconjuntos en matemáticas?
- Ejemplo de subconjuntos
- Conjunto potencia de un conjunto
- Tipos de subconjuntos
- Subconjunto propio
- Subconjunto inadecuado
- Subconjuntos adecuados e inadecuados
- Subconjuntos frente a superconjuntos
¿Qué son los subconjuntos en matemáticas?
Un conjunto 'A' es un subconjunto del conjunto 'B' si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B. Además, un subconjunto puede ser igual a un conjunto en un caso particular cuando todos los elementos de un subconjunto están contenidos en el conjunto 'B'. colocar.
Para comprender mejor un subconjunto, consideremos que un conjunto A es una colección de números impares y el conjunto B consta de {1,3,5}, por lo que aquí B es un subconjunto de A y A es un superconjunto de B.
Por ejemplo: Si el conjunto A contiene {manzana, plátano} y el conjunto B contiene {todas las frutas}, entonces A es el subconjunto de B.
Consideremos un ejemplo más para una mejor comprensión.
Ejemplo: Determine cuál es un subconjunto y cuál es un superconjunto, si A = {a, e, i, o, u} y B = {Todos los alfabetos}.
Respuesta:
dividido por cadena java
Aquí A contiene todos los elementos vocales que forman parte de los alfabetos. Entonces aquí A es un subconjunto de B y B es un superconjunto de A.
Definición de subconjunto
Matemáticamente, se supone que un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si todos los componentes del conjunto A también existen en el conjunto B. Entonces, un subconjunto es un subgrupo de cualquier conjunto. En otras palabras, el conjunto A está contenido dentro del conjunto B.
Por ejemplo: Si el conjunto A = {1, 2, 3} y el conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} entonces podemos decir que el conjunto A es un subconjunto del conjunto B ya que todos los elementos del conjunto A están disponibles en el conjunto B.
Significado del subconjunto
Un conjunto cuyos elementos son todos elementos de un conjunto inclusivo es el significado de subconjunto. Considere un conjunto X tal que X comprenda los nombres de todos los ríos de un país. Otro conjunto Y incluye los nombres de los ríos del norte de la India. Aquí y será un subconjunto de x porque todos los ríos del norte de la India también serían ríos de nuestro país; por tanto, Y es un subconjunto de X. Sólo hay un número definido de subconjuntos distintos o únicos para cualquier conjunto, por lo que los restantes son irrelevantes y repetitivos.
Ejemplo: enumere todos los subconjuntos del conjunto Q = {1, 2, 3}.
Respuesta:
Los subconjuntos de Q son { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} y {1, 2, 3}
Símbolo de subconjunto
Un subconjunto se indica con el símbolo y se lee como 'es un subconjunto de' en teoría de conjuntos . Un subconjunto está representado por un símbolo dado por ⊆. Los subconjuntos se pueden expresar usando este símbolo de la siguiente manera:
A ⊆ B esto significa que el conjunto A es un subconjunto del conjunto B.
en cadena en java
Ejemplo de subconjuntos
La única necesidad para que un conjunto A sea un subconjunto de un conjunto B es que cada elemento de A esté presente en B. A continuación se muestran algunos ejemplos de subconjuntos basados en esto.
- A = {2, 3, 10} es un subconjunto de B = {1, 2, 3, 4, 10},
- PAG = El conjunto de todos los números primos es un subconjunto de norte = Conjunto de todos los números naturales, y
- X = {a, e, i, o, u} es una colección de vocales y es un subconjunto de Y = Conjunto de todos los alfabetos.
Vale la pena señalar que todo conjunto es un subconjunto de sí mismo, al igual que el conjunto vacío ().
Ejemplo: ¿Puede el conjunto nulo ser un subconjunto de cualquier conjunto?
Respuesta:
Nulo es un subconjunto de cada conjunto. Por defecto consideramos este hecho que todos los conjuntos contienen un elemento llamado conjunto nulo.
Subconjuntos de números reales
Los números reales que se pueden expresar como números decimales se dividen en una variedad de categorías. Sin duda, gracias a tu existencia diaria ya estás familiarizado con las fracciones, los decimales y el conteo de números. Los siguientes números se consideran subconjuntos de números reales:
- Numeros racionales : Cualquier número que pueda expresarse como una fracción, p/q, donde p y q son ambos enteros positivos. Estos son decimales periódicos, no terminantes y decimales terminantes en forma decimal. Ej: -5/9, 1/8
- Numeros irracionales : Estos números no terminan ni se repiten cuando se expresan en forma decimal. Exe.
- Enteros : Todos los números que se cuentan, incluido el cero y sus opuestos. Ej: -2,-1,0,3
- Números enteros : Cero y todos los números de conteo positivos. Ej. 0, 2, 500
- Números naturales : Todos los números de conteo positivos. Ej-1,2,40
Ejemplo: ¿A qué subconjuntos de los números reales pertenece -5?
Respuesta:
-5 es un número racional y un número entero.
Conjunto potencia de un conjunto
un conjunto set de poder consta de cada subconjunto, así como del conjunto original y del conjunto vacío. P(A) representa el conjunto potencia de un conjunto dado A. Por ejemplo, si A = {1, 2}, entonces P(A) = {{ }, {1}, {2}, {1, 2} }. Aquí podemos ver claramente que todos los subconjuntos de A están contenidos en P(A), es decir, el conjunto potencia de A.
Número de subconjuntos de un conjunto
Para cualquier conjunto A, el número de seusets se da mediante la siguiente fórmula
Número de subconjuntos = 2 norte
Dónde norte es el número de elementos del conjunto.
Como el conjunto potencia contiene todos los subconjuntos de cualquier conjunto, por lo tanto, para un conjunto A que tiene 'n' elementos, entonces P (A) tiene 2norteelementos.
Ejemplo: ¿Cuántos elementos de un conjunto potencia se pueden formar si hay cuatro elementos en un conjunto?
Respuesta:
El número de elementos del conjunto de potencia con tres elementos es 2.4= 16.
Tipos de subconjuntos
Hay dos tipos de subconjuntos que son:
- Subconjunto propio
- Subconjunto inadecuado
Analicemos estos tipos en detalle de la siguiente manera:
Subconjunto propio
A subconjunto propio sólo comprende unos pocos miembros del conjunto original. El subconjunto adecuado nunca puede ser igual al conjunto original. En el subconjunto propio se excluye el subconjunto que forma el conjunto original.
Símbolo de subconjunto adecuado
Un subconjunto adecuado se denota por ⊂,
Podemos expresar un subconjunto adecuado para el conjunto A y el conjunto B como;
A⊂B
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Ejemplo de subconjuntos adecuados
Sea el conjunto A = {1, 3, 5}, entonces los subconjuntos propios de A son {}, {1}, {3}, {5}, {1, 3} {3, 5} {1, 5}. Además, {1, 3, 5} es un subconjunto de A pero no es un subconjunto propio de A.
Fórmula de subconjunto adecuada
El número de subconjuntos propios de un conjunto con 'n' elementos es 2norte– 1.
Ejemplo: Un conjunto contiene 3 elementos, ¿cuál será el número de subconjuntos propios?
Respuesta:
Número de subconjuntos propios = 2norte– 1
Aquí, n = 3
norte = 23– 1 = 7
Subconjunto inadecuado
Un subconjunto inadecuado contiene incluye tanto el conjunto nulo como cada miembro del conjunto inicial. El subconjunto inadecuado puede ser igual al conjunto original. En el subconjunto impropio se incluye el subconjunto que forma el conjunto original. Esto está representado por el símbolo ⊆ .
Ejemplo: ¿Cuál será el subconjunto impropio del conjunto A = {1, 3, 5}?
Respuesta:
Subconjunto inadecuado: {}, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5} y {1,3,5}
Fórmula de subconjunto incorrecta
Para una colección de 'n' elementos, el número de subconjuntos impropios es siempre 1. En otras palabras, el número de subconjuntos impropios de un conjunto es independiente del número de sus elementos.
Aprende más, Fórmulas de teoría de conjuntos
Subconjuntos adecuados e inadecuados
Las diferencias clave entre subconjuntos adecuados y subconjuntos inadecuados se enumeran en la siguiente tabla:
| Subconjunto propio | Subconjunto inadecuado js al hacer clic |
|---|---|
| Contiene algunos de los elementos de un conjunto. | Contiene todos los elementos de un conjunto. |
| Nunca será igual a un conjunto dado. | Siempre es igual a un conjunto dado. |
| El número de subconjuntos propios de un conjunto con 'n' elementos es 2norte– 1. | Para una colección de 'n' elementos, el número de subconjuntos impropios es siempre 1. |
| El símbolo ⊂ se usa solo para subconjuntos adecuados. | El símbolo ⊆ se utiliza para subconjuntos inadecuados. |
Ejemplo: Para un conjunto P = {1,2} encuentre el subconjunto propio e impropio.
Solución:
ex de nombre de usuario
El conjunto adecuado está dado por { }, {1} y {2}
El conjunto inadecuado está dado por { }, {1}, {2} y {1,2}
Subconjuntos frente a superconjuntos
Las diferencias clave entre ambos subconjuntos y superconjuntos se enumeran en la siguiente tabla:
| Aspecto | Subconjunto | Superserie |
|---|---|---|
| Definición | Un subconjunto es un conjunto que contiene menos o los mismos elementos que otro conjunto. | Un superconjunto es un conjunto que contiene todos o más elementos que otro conjunto. |
| Relación | La relación de subconjunto se denota como A ⊆ B, donde A es un subconjunto de B. | La relación de superconjunto se denota como A ⊇ B, donde A es un superconjunto de B. |
| Ejemplo | {1, 2} es un subconjunto de {1, 2, 3}. | {1, 2, 3} es un superconjunto de {1, 2}. |
| Tamaño | El tamaño del subconjunto es menor o igual que el tamaño del superconjunto. | El tamaño del superconjunto es mayor o igual que el tamaño del subconjunto. |
| Inclusión | Todos los elementos de un subconjunto son también elementos del superconjunto. | Un superconjunto incluye todos los elementos del subconjunto y posiblemente más. |
| Relaciones | Un conjunto puede tener múltiples subconjuntos. | Un conjunto puede tener múltiples superconjuntos. |
| Conjunto vacio | El conjunto vacío (∅) es un subconjunto de todo conjunto. | El conjunto vacío (∅) es un superconjunto de todo conjunto. |
Fórmula de subconjunto
Todas las fórmulas relacionadas con los subconjuntos se dan a continuación.
- El número de subconjuntos de un conjunto con n elementos es 2norte. Esto incluye subconjuntos tanto propios como impropios.
- El número de subconjuntos propios de un conjunto con n elementos es 2norte– 1.
- El número de subconjuntos impropios de cualquier conjunto es siempre 1.
Además, lea
- Representación del conjunto
- Tipos de conjuntos
- Conjuntos universales
Problemas resueltos en subconjuntos
Problema 1: ¿Cuántos subconjuntos hay en un conjunto de 4 elementos?
Solución:
Un conjunto que contiene 4 elementos tendrá 24elementos en él = 16.
Problema 2: ¿Cuántos subconjuntos hay en un conjunto de 5 elementos?
Solución:
Un conjunto que contiene 5 elementos tendrá 25elementos en él = 32.
Preguntas frecuentes sobre subconjuntos
¿Qué son los subconjuntos en matemáticas?
Si todos los componentes del conjunto A también están presentes en el conjunto B, entonces se dice que el conjunto A es un subconjunto del conjunto B. Para decirlo de otra manera, el conjunto B contiene el conjunto A.
¿Qué son los subconjuntos adecuados?
Un subconjunto de un conjunto A que no es igual a A es un subconjunto propio de A. En otras palabras, si B es un subconjunto propio de A, entonces A tiene al menos un elemento que no está en B, pero todos los elementos de B sí lo son. en un.
¿Qué son los subconjuntos inadecuados?
Un subconjunto que incluye todos los componentes del conjunto original se considera un subconjunto inapropiado.
¿Puede un subconjunto ser igual a sí mismo?
Todo conjunto se considera un subconjunto de sí mismo. El subconjunto propio de ningún conjunto es él mismo. Todo conjunto tiene el conjunto vacío como subconjunto.
¿Puede un subconjunto ser un conjunto universal?
Podemos decir que el conjunto A es el subconjunto del conjunto B si cada elemento del conjunto A es también un elemento del conjunto B. Entonces, cualquier conjunto universal dado puede usarse para producir los subconjuntos. También es importante tener en cuenta que todo conjunto universal es en realidad un subconjunto de sí mismo.
¿Puede un subconjunto ser nulo?
Sí, un conjunto nulo es por defecto un subconjunto de cualquier conjunto.
¿Cuáles son las dos clasificaciones de subconjunto?
Las clasificaciones de subconjuntos son:
- Subconjunto propio
- Subconjunto inadecuado