La lógica proposicional (PL) es la forma más simple de lógica donde todos los enunciados se formulan mediante proposiciones. Una proposición es un enunciado declarativo que es verdadero o falso. Es una técnica de representación del conocimiento en forma lógica y matemática.
Ejemplo:
a) It is Sunday. b) The Sun rises from West (False proposition) c) 3+3= 7(False proposition) d) 5 is a prime number.
A continuación se presentan algunos hechos básicos sobre la lógica proposicional:
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- La lógica proposicional también se llama lógica booleana porque funciona con 0 y 1.
- En lógica proposicional, usamos variables simbólicas para representar la lógica y podemos usar cualquier símbolo para representar una proposición, como A, B, C, P, Q, R, etc.
- Las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas, pero no pueden ser ambas cosas.
- La lógica proposicional consta de un objeto, relación o función, y conectivos lógicos .
- Estos conectivos también se denominan operadores lógicos.
- Las proposiciones y los conectivos son los elementos básicos de la lógica proposicional.
- Los conectivos se pueden decir como operadores lógicos que conectan dos oraciones.
- Una fórmula de proposición que siempre es verdadera se llama tautología , y también se le llama sentencia válida.
- Una fórmula de proposición que siempre es falsa se llama Contradicción .
- Una fórmula de proposición que tiene valores verdaderos y falsos se llama
- Las declaraciones que son preguntas, órdenes u opiniones no son proposiciones como ' ¿Dónde está Rohini? ', ' Cómo estás ', ' Cómo te llamas ', no son proposiciones.
Sintaxis de la lógica proposicional:
La sintaxis de la lógica proposicional define las oraciones permitidas para la representación del conocimiento. Hay dos tipos de Proposiciones:
Ejemplo:
a) 2+2 is 4, it is an atomic proposition as it is a true fact. b) 'The Sun is cold' is also a proposition as it is a false fact.
Ejemplo:
a) 'It is raining today, and street is wet.' b) 'Ankit is a doctor, and his clinic is in Mumbai.'
Conectivos Lógicos:
Los conectivos lógicos se utilizan para conectar dos proposiciones más simples o representar una oración de manera lógica. Podemos crear proposiciones compuestas con la ayuda de conectivos lógicos. Existen principalmente cinco conectivos, que se dan de la siguiente manera:
Ejemplo: Rohan es inteligente y trabajador. Se puede escribir como,
P= Rohan es inteligente ,
P= Rohan es muy trabajador. → P∧Q .
Ejemplo: 'Ritika es doctora o ingeniera' ,
Aquí P= Ritika es Doctora. P= Ritika es Doctora, así que podemos escribirla como P∨Q .
Si está lloviendo y luego la calle está mojada.
Sea P= Está lloviendo y Q= La calle está mojada, por lo que se representa como P → Q
P= estoy respirando, Q= estoy vivo, se puede representar como P ⇔ Q.
A continuación se muestra la tabla resumida de Conectivos Lógicos Proposicionales:
Mesa de la verdad:
En lógica proposicional, necesitamos conocer los valores de verdad de las proposiciones en todos los escenarios posibles. Podemos combinar todas las combinaciones posibles con conectivos lógicos, y la representación de estas combinaciones en formato tabular se llama Mesa de la verdad . A continuación se muestra la tabla de verdad para todos los conectivos lógicos:
Tabla de verdad con tres proposiciones:
Podemos construir una proposición que componga tres proposiciones P, Q y R. Esta tabla de verdad está formada por 8n tuplas, ya que hemos tomado tres símbolos de proposición.
Precedencia de conectivos:
Al igual que los operadores aritméticos, existe un orden de precedencia para los conectores proposicionales u operadores lógicos. Este orden debe seguirse al evaluar un problema proposicional. A continuación se muestra la lista del orden de precedencia de los operadores:
| Precedencia | Operadores |
|---|---|
| Primera precedencia | Paréntesis |
| Segunda precedencia | Negación |
| Tercera precedencia | Conjunción(Y) |
| Cuarta precedencia | Disyunción (O) |
| Quinta precedencia | Implicación |
| Seis precedencia | bicondicional |
Nota: Para una mejor comprensión, utilice paréntesis para asegurarse de que las interpretaciones sean correctas. Tal como ¬R∨ Q, se puede interpretar como (¬R) ∨ Q.
Equivalencia lógica:
La equivalencia lógica es una de las características de la lógica proposicional. Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes si y sólo si las columnas de la tabla de verdad son idénticas entre sí.
Tomemos dos proposiciones A y B, por lo que para equivalencia lógica, podemos escribirla como A⇔B. En la siguiente tabla de verdad podemos ver que la columna para ¬A∨ B y A→B son idénticas, por lo tanto, A es equivalente a B.
Propiedades de los operadores:
- P∧ Q= Q ∧ P, o
- P ∨ Q = Q ∨ P.
- (P ∧ Q) ∧ R= P ∧ (Q ∧ R),
- (P ∨ Q) ∨ R= P ∨ (Q ∨ R)
- P ∧ Verdadero = P,
- P ∨ Verdadero= Verdadero.
- P∧ (Q ∨ R) = (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R).
- P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
- 2 > 4 8 B 2 > 2 > @ 0 B
- ¬ (P ∨ Q ) = ( ¬ P ) ∧ ( ¬ Q ).
- ¬ (¬P) = P.
Limitaciones de la lógica proposicional:
- No podemos representar relaciones como TODAS, algunas o ninguna con lógica proposicional. Ejemplo:
Todas las chicas son inteligentes. - La lógica proposicional tiene un poder expresivo limitado.
- En lógica proposicional, no podemos describir enunciados en términos de sus propiedades o relaciones lógicas.