Las fórmulas de trigonometría son ecuaciones que relacionan los lados y ángulos de triángulos. Son esenciales para resolver una amplia gama de problemas en matemáticas, física, ingeniería y otros campos.

Estos son algunos de los tipos más comunes de fórmulas trigonométricas:

• Definiciones basicas: Estas fórmulas definen las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.) en términos de los lados de un triángulo rectángulo.
• Teorema de pitágoras: Este teorema relaciona las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
• Relaciones de ángulos: Estas fórmulas relacionan las razones trigonométricas de diferentes ángulos, como fórmulas de suma y diferencia, fórmulas de doble ángulo y fórmulas de medio ángulo.
• Identidades recíprocas: Estas fórmulas expresan una razón trigonométrica en términos de otra, como sin(θ) = 1/coc(θ).
• Circulo unitario: El círculo unitario es una representación gráfica de las razones trigonométricas y se puede utilizar para derivar muchas otras fórmulas.
• Ley de los senos y ley de los cosenos: Estas leyes relacionan los lados y los ángulos de cualquier triángulo, no sólo de los triángulos rectángulos.

Continúe leyendo para aprender sobre diferentes fórmulas e identidades trigonométricas, ejemplos resueltos y problemas de práctica.

Tabla de contenidos

• ¿Qué es la trigonometría?
• Descripción general de la fórmula de trigonometría
• Razones trigonométricas básicas
• Identidades trigonométricas
• Lista de fórmulas de trigonometría

¿Qué es la trigonometría?

La trigonometría se define como una rama de las matemáticas que se centra en el estudio de relaciones que involucran longitudes y ángulos de triángulos. La trigonometría consta de diferentes tipos de problemas que se pueden resolver utilizando fórmulas e identidades trigonométricas.

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son funciones matemáticas que relacionan los ángulos de un triángulo rectángulo con las longitudes de sus lados. Tienen amplias aplicaciones en diversos campos como la física, la ingeniería, la astronomía y más. Las funciones trigonométricas principales incluyen seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

Descripción general de la fórmula de trigonometría

Las fórmulas de trigonometría son expresiones matemáticas que relacionan los ángulos y lados de una Triángulo rectángulo . Hay 3 lados un triangulo rectángulo se compone de:

• Hipotenusa : Este es el lado más largo de un triángulo rectángulo.
• Perpendicular/lado opuesto : Es el lado que forma un ángulo recto respecto del ángulo dado.
• Base : La base se refiere al lado adyacente donde están conectados tanto la hipotenusa como el lado opuesto.

Relación de trigonometría

Todas las razones trigonométricas, identidades de productos, fórmulas de medio ángulo, fórmulas de doble ángulo, identidades de suma y diferencia, identidades de cofunción, un signo de razones en diferentes cuadrantes, etc. se dan aquí brevemente para los estudiantes de las Clases 9, 10, 11, 12. .

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Aquí está la lista de fórmulas en trigonometría que vamos a discutir:

• Fórmulas básicas de razones trigonométricas
• Fórmulas de círculo unitario
• Identidades trigonométricas

Razones trigonométricas básicas

Hay 6 razones en trigonometría. Estas se conocen como funciones trigonométricas. A continuación se muestra la lista de razones trigonométricas , incluidos seno, coseno, secante, cosecante, tangente y cotangente.

Fórmula del círculo unitario en trigonometría

Para un círculo unitario, cuyo radio es igual a 1, i es el ángulo. Los valores de la hipotenusa y la base son iguales al radio del círculo unitario.

Hipotenusa = Lado Adyacente (Base) = 1

Las razones de trigonometría están dadas por:

• sin θ = y/1 = y
• porque θ = x/1 = x
• tan θ = y/x
• cot θ = x/y
• segundo θ = 1/x
• cosec θ = 1/y

Diagrama de funciones trigonométricas

Identidades trigonométricas

La relación entre funciones trigonométricas se expresa mediante identidades trigonométricas, a veces denominadas identidades trigonométricas o fórmulas trigonométricas. Siguen siendo válidos para todos los valores de números reales de las variables asignadas en ellos.

• Identidades recíprocas
• Identidades pitagóricas
• Identidades de periodicidad (en radianes)
• Fórmula de ángulo par e impar
• Identidades de cofunción (en grados)
• Identidades de suma y diferencia
• Identidades de doble ángulo
• Fórmulas de trigonometría inversa
• Identidades de triple ángulo
• Identidades de medio ángulo
• Suma de identidades de productos
• Identidades de producto

Analicemos estas identidades en detalle.

Identidades recíprocas

Todas las identidades recíprocas se obtienen utilizando un triángulo rectángulo como referencia. Las identidades recíprocas son las siguientes:

• cosec θ = 1/sen θ
• seg θ = 1/cos θ
• cuna θ = 1/tan θ
• pecado θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/s θ
• tan θ = 1/cuna θ

Identidades pitagóricas

Según el teorema de Pitágoras, en un triángulo rectángulo, si 'c' es la hipotenusa y 'a' y 'b' son los dos catetos, entonces c2 = a2 + b2. Podemos obtener identidades pitagóricas usando este teorema y razones trigonométricas. Usamos estas identidades para convertir una relación trigonométrica en otra. .

• sin²θ + porque²θ = 1
• 1 + tan²θ = segundo²i
• 1 + cuna²θ = cosec²i

Tabla de fórmulas de trigonometría

Identidades de periodicidad (en radianes)

Estas identidades se pueden utilizar para cambiar los ángulos en π/2, π, 2π, etc. También se conocen como identidades de cofunción.

Todo identidades trigonométricas se repiten después de un período particular. Por tanto, son de naturaleza cíclica. Este período de repetición de valores es diferente para diferentes identidades trigonométricas.

• sin (π/2 – A) = cos A & cos (π/2 – A) = sin A
• sin (π/2 + A) = cos A & cos (π/2 + A) = – sin A
• sin (3π/2 – A) = – cos A & cos (3π/2 – A) = – sin A
• sin (3π/2 + A) = – cos A & cos (3π/2 + A) = sin A
• sin (π – A) = sin A & cos (π – A) = – cos A
• sin (π + A) = – sin A & cos (π + A) = – cos A
• sin (2π – A) = – sin A & cos (2π – A) = cos A
• sin (2π + A) = sin A & cos (2π + A) = cos A

Aquí hay una tabla que compara las propiedades trigonométricas en diferentes cuadrantes:

Fórmula de ángulo par e impar

Las fórmulas de ángulos pares e impares, también conocidas como identidades pares-impares, se utilizan para expresar funciones trigonométricas de ángulos negativos en términos de ángulos positivos. Estas fórmulas trigonométricas se basan en las propiedades de funciones pares e impares.

• pecado(-θ) = -senθ
• cos(-θ) = cosθ
• tan(-θ) = -tanθ
• cuna(-θ) = -cunaθ
• seg(-θ) = segθ
• cosec(-θ) = -cosecθ

Identidades de cofunción (en grados)

Las identidades de cofunción nos dan la interrelación entre varias funciones trigonométricas. Las cofunciones se enumeran aquí en grados:

• sin(90°−x) = cos x
• cos(90°−x) = sin x
• tan(90°−x) = cot x
• cot(90°−x) = tan x
• sec(90°−x) = cosec x
• cosec(90°−x) = sec x

Identidades de suma y diferencia

Las identidades de suma y diferencia son las fórmulas que relacionan el seno, coseno y tangente de la suma o diferencia de dos ángulos con los senos, cosenos y tangentes de los ángulos individuales.

• sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
• sin(x-y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
• cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
• cos(x-y)=cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y
• an(x+y)=frac{tan ext{ x}+tan ext{ y}}{1- tan ext{ x}.tan ext{ y}}
• an(x -y)=frac{tan ext{ x}-tan ext{ y}}{1+ tan ext{ x}.tan ext{ y}}

Identidades de doble ángulo

Las identidades de ángulos dobles son las fórmulas que expresan funciones trigonométricas de ángulos que son el doble de la medida de un ángulo dado en términos de las funciones trigonométricas del ángulo original.

• sin (2x) = 2sin(x) • cos(x) = [2tan x/(1 + tan²X)]
• cos (2x) = cos²(x) – sin²(x) = [(1 – tan²x)/(1 + tan²x)] = 2cos²(x) – 1 = 1 – 2pecado²(X)
• tan (2x) = [2tan(x)]/ [1 – tan²(X)]
• segundo (2x) = segundo²x/(2 – seg²X)
• cosec (2x) = (seg x • cosec x)/2

Fórmulas de trigonometría inversa

Las fórmulas de trigonometría inversa se relacionan con las funciones trigonométricas inversas, que son las inversas de las funciones trigonométricas básicas. Estas fórmulas se utilizan para encontrar el ángulo que corresponde a una razón trigonométrica determinada.

• sin ^-1 (–x) = – sin ^-1 X
• porque ^-1 (–x) = π – cos ^-1 X
• tan ^-1 (–x) = – tan ^-1 X
• cosec ^-1 (–x) = – cosec ^-1 X
• segundo ^-1 (–x) = π – seg ^-1 X
• cuna ^-1 (–x) = π – cuna ^-1 X

Identidades de triple ángulo

Las identidades de ángulos triples son fórmulas utilizadas para expresar funciones trigonométricas de ángulos triples (3θ) en términos de funciones de ángulos simples (θ). Estas fórmulas trigonométricas son útiles para simplificar y resolver ecuaciones trigonométricas donde intervienen ángulos triples.

pecado 3x=3sen x – 4sen ³ X

ley distributiva álgebra booleana

porque 3x=4cos ³ x – 3cosx

\tan ext{ 3x}=frac{3 tan ext{ x}-tan^3x}{1- 3tan^2x}

Identidades de medio ángulo

Las identidades de semiángulos son aquellas fórmulas trigonométricas que se utilizan para encontrar el seno, el coseno o la tangente de la mitad de un ángulo determinado. Estas fórmulas se utilizan para expresar funciones trigonométricas de semiángulos en términos del ángulo original.

\sinfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1- cos ext{ x}}{2}}

cosfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1+ cos ext{ x}}{2}}

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\tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

También,

\ \tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

\ an(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{(1- cos(x))(1-cos(x))}{(1+cos(x))(1-cos(x))}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{1-cos^2(x)}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{sin^2(x)}}

=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

\tan(frac{x}{2})=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

Suma de identidades de productos

Las identidades de suma a producto son las fórmulas trigonométricas que nos ayudan a expresar sumas o diferencias de funciones trigonométricas como productos de funciones trigonométricas.

• sinx + siny = 2[sin((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• sinx − siny = 2[cos((x + y)/2)sin((x − y)/2)]
• cosx + cosy = 2[cos((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• cosx − cosy = −2[sin((x + y)/2)sin((x − y)/2)]

Identidades de producto

Las identidades de productos, también conocidas como identidades de producto a suma, son las fórmulas que permiten expresar productos de funciones trigonométricas como sumas o diferencias de funciones trigonométricas.

Estas fórmulas trigonométricas se derivan de las fórmulas de suma y diferencia de seno y coseno.

• sinx⋅cosy = [sin(x + y) + sin(x − y)]/2
• cosx⋅cosy = [cos(x + y) + cos(x − y)]/2
• sinx⋅siny = [cos(x − y) − cos(x + y)]/2

Lista de fórmulas de trigonometría

La siguiente tabla consta de razones trigonométricas básicas para ángulos como 0°, 30°, 45°, 60° y 90° que se usan comúnmente para resolver problemas.

Preguntas resueltas sobre fórmula de trigonometría

A continuación se muestran algunos ejemplos resueltos de fórmulas trigonométricas para ayudarle a comprender mejor los conceptos.

Pregunta 1: Si cosec θ + cot θ = x, encuentre el valor de cosec θ – cot θ, usando la fórmula trigonométrica.

Solución:

cosec θ + cuna θ = x

Sabemos que cosec²θ+ cuna²θ = 1

(cosec θ -cot θ)( cosec θ+ cot θ) = 1

(cosec θ -cot θ) x = 1

cosec θ -cot θ = 1/x

Pregunta 2: Usando fórmulas trigonométricas, demuestre que tan 10° tan 15° tan 75° tan 80° =1

Solución:

Tenemos,

L.H.S= tan 10 ° tan 15 ° tan 75 ° tan 80 °

= tan(90-80) ° tan 15 ° tan(90-15) ° tan 80 °

= cuna 80 ° tan 15 ° cuna 15 ° tan 80 °

=(cuna 80 ° * tan 80 ° )( cuna 15 ° * tan 15 ° )

= 1 = R.H.S

Pregunta 3: Si sen θ cos θ = 8, encuentre el valor de (sin θ + cos θ) ² utilizando las fórmulas de trigonometría.

Solución:

(sen θ + cos θ)²

10 elevado a 6

= sin²θ + porque²θ + 2senθcosθ

= (1) + 2(8) = 1 + 16 = 17

= (sen θ + cos θ)²= 17

Pregunta 4: Con la ayuda de fórmulas trigonométricas, demuestra que (tan θ + sec θ – 1)/(tan θ – sec θ + 1) = (1 + sen θ)/cos θ.

Solución:

LHS = (tan θ + sec θ – 1)/(tan θ – sec θ + 1)

= [(tan θ + seg θ) – (seg²θ – tan²θ)]/(tan θ – sec θ + 1), [Desde, sec²θ – tan²θ = 1]

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= {(tan θ + seg θ) – (seg θ + tan θ) (seg θ – tan θ)}/(tan θ – seg θ + 1)

= {(tan θ + sec θ) (1 – sec θ + tan θ)}/(tan θ – sec θ + 1)

= {(tan θ + sec θ) (tan θ – sec θ + 1)}/(tan θ – sec θ + 1)

= tan θ + seg θ

= (sen θ/cos θ) + (1/cos θ)

= (sen θ + 1)/cos θ

= (1 + sen θ)/cos θ = R.H.S. Demostrado.

Preguntas frecuentes sobre fórmulas e identidades trigonométricas

¿Qué es la trigonometría?

La trigonometría es una rama de las matemáticas que se centra en las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos, particularmente los triángulos rectángulos.

¿Cuáles son tres razones trigonométricas básicas?

• Sin A = Perpendicular/ Hypotenuse
• Cos A= Base/Hipotenusa
• Tan A= Perpendicular/ Base

¿A qué triángulo son aplicables las fórmulas trigonométricas?

Las fórmulas trigonométricas se aplican a triángulos rectángulos.

¿Cuáles son las principales razones trigonométricas?

Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante.

¿Para qué ángulo el valor de la relación tan es igual a la relación cot?

Para el valor de 45°, tan 45°= cot 45° = 1.

¿Cuál es la fórmula para sin3x?

La fórmula para sin3x es 3sin x – 4 sin³X.