Identidades trigonométricas son varias identidades que se utilizan para simplificar varias ecuaciones complejas que involucran funciones trigonométricas. La trigonometría es una rama de las Matemáticas que se ocupa de la relación entre los lados y los ángulos de un triángulo. Estas relaciones se definen en forma de seis razones que se llaman razones trigonométricas – sin, cos, tan, cot, sec, and cosec.

De forma ampliada, el estudio es también de los ángulos que forman los elementos de un triángulo. Lógicamente, una discusión sobre las propiedades de un triángulo; resolver un triángulo y problemas físicos en el área de alturas y distancias usando las propiedades de un triángulo, todos constituyen parte del estudio. También proporciona un método de solución de ecuaciones trigonométricas.

Tabla de contenidos

• ¿Qué son las identidades trigonométricas?
• Lista de identidades trigonométricas
• Identidades trigonométricas recíprocas
• Identidades trigonométricas pitagóricas
• Identidades de razones trigonométricas
• Identidades trigonométricas de ángulos opuestos
• Identidades de ángulos complementarios
• Identidades de ángulos suplementarios
• Periodicidad de la función trigonométrica
• Identidades de suma y diferencia
• Identidades de doble ángulo
• Fórmulas de medio ángulo
• Algunas identidades más de medio ángulo
• Identidades de suma de productos
• Identidades de productos
• Fórmulas de triple ángulo
• Prueba de las identidades trigonométricas
• Relación entre ángulos y lados de un triángulo
• Preguntas frecuentes sobre identidades trigonométricas

¿Qué son las identidades trigonométricas?

Una ecuación que involucra razones trigonométricas de un ángulo se llama identidad trigonométrica si es cierta para todos los valores del ángulo. Son útiles siempre que haya funciones trigonométricas involucradas en una expresión o ecuación. Las seis razones trigonométricas básicas son Seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. . Todas estas razones trigonométricas se definen usando los lados del triángulo rectángulo, como un lado adyacente, un lado opuesto y un lado de la hipotenusa.

Identidades trigonométricas

Lista de identidades trigonométricas

Hay muchas identidades en el estudio de la trigonometría, que involucra todas las razones trigonométricas. Estas identidades se utilizan para resolver diversos problemas en el panorama académico y en la vida real. Aprendamos todas las identidades trigonométricas fundamentales y avanzadas.

Identidades trigonométricas recíprocas

En todas las razones trigonométricas, existe una relación recíproca entre un par de razones, que se expresa de la siguiente manera:

• pecado θ = 1/cosec θ
• cosec θ = 1/sen θ
  
• cos θ = 1/s θ
• seg θ = 1/cos θ
  
• tan θ = 1/cuna θ
• cuna θ = 1/tan θ

Identidades trigonométricas pitagóricas

Las identidades trigonométricas de Pitágoras se basan en el teorema del triángulo rectángulo o Teorema de Pitágoras , y son los siguientes:

• sin²θ + porque²θ = 1
• 1 + tan²θ = segundo²i
• cosec²θ = 1 + cuna²i

Leer más sobre Identidades trigonométricas pitagóricas .

Identidades de razones trigonométricas

Como tan y cot se definen como la relación entre sen y cos, que viene dada por las siguientes identidades:

• tan θ = sen θ/cos θ
• cuna θ = cos θ/sen θ

Identidades trigonométricas de ángulos opuestos

En trigonometría, el ángulo medido en el sentido de las agujas del reloj se mide en paridad negativa y todas las razones trigonométricas definidas para la paridad negativa del ángulo se definen de la siguiente manera:

• pecado (-θ) = -sen θ
• porque (-θ) = porque θ
• tan (-θ) = -tan θ
• cuna (-θ) = -cuna θ
• segundo (-θ) = segundo θ
• cosec (-θ) = -cosec θ

Identidades de ángulos complementarios

Ángulos complementarios son el par de ángulos cuya medida suman 90°. Ahora, las identidades trigonométricas de los ángulos complementarios son las siguientes:

• pecado (90° – θ) = cos θ
• cos (90° – θ) = sen θ
• tan (90° – θ) = cuna θ
• cuna (90° – θ) = tan θ
• seg (90° – θ) = cosec θ
• cosec (90° – θ) = seg θ

Identidades de ángulos suplementarios

Los ángulos suplementarios son el par de ángulos cuya medida suman 180°. Ahora, las identidades trigonométricas de los ángulos suplementarios son:

• pecado (180°- θ) = pecadoθ
• cos (180°- θ) = -cos θ
• cosec (180°- θ) = cosec θ
• seg (180°- θ)= -seg θ
• tan (180°- θ) = -tan θ
• cuna (180°- θ) = -cuna θ

Periodicidad de la función trigonométrica

Funciones trigonométricas como sin, cos, tan, cot, sec y cosec, todos son de naturaleza periódica y tienen una periodicidad diferente. Las siguientes identidades de la razón trigonométrica explican su periodicidad.

• pecado (n × 360° + θ) = pecado θ
• pecado (2nπ + θ) = pecado θ
  
• cos (n × 360° + θ) = cos θ
• porque (2nπ + θ) = porque θ
  
• tan (n × 180° + θ) = tan θ
• tan (nπ + θ) = tan θ
  
• cosec (n × 360° + θ) = cosec θ
• cosec (2nπ + θ) = cosec θ
  
• segundo (n × 360° + θ) = segundo θ
• segundo (2nπ + θ) = segundo θ
  
• cuna (n × 180° + θ) = cuna θ
• cuna (nπ + θ) = cuna θ

Donde, norte ∈ CON, (Z = conjunto de todos los números enteros)

Nota: sin, cos, cosec y sec tienen un período de 360° o 2π radianes, y para tan y cot el período es de 180° o π radianes.

Identidades de suma y diferencia

Identidades trigonométricas para suma y diferencia de ángulo incluyen fórmulas como sin(A+B), cos(A-B), tan(A+B), etc.

• sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B
• sin (A-B) = sin A cos B – cos A sin B
• cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B
• cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B
• tan (A+B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
• tan (A-B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

Nota: Las identidades de sen (A+B), sen (A-B), cos (A+B) y cos (A-B) se denominan Las identidades de Ptolomeo .

Identidades de doble ángulo

Usando las identidades trigonométricas de la suma de ángulos, podemos encontrar una nueva identidad que se llama Identidad de doble ángulo. Para encontrar estas identidades podemos poner A = B en la suma de las identidades de los ángulos. Por ejemplo,

a lo sabemos, sen (A+B) = sen A cos B + cos A sen B

Sustituyendo A = B = θ en ambos lados aquí, obtenemos:

pecado (θ + θ) = pecadoθ cosθ + cosθ pecadoθ

• pecado 2θ = 2 pecadoθ cosθ

Similarmente,

• porque 2θ = porque ² θ – pecado ² θ = 2 porque ² θ – 1 = 1 – pecado ² i
• tan 2θ = (2tanθ)/(1 – tan ² i)

Leer más sobre Identidades de doble ángulo .

Fórmulas de medio ángulo

Usando fórmulas de doble ángulo, se pueden calcular fórmulas de medio ángulo. Para calcular fórmulas de medio ángulo, reemplace θ con θ/2 entonces,

• sin frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos heta}{2}}
• cos frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1+cos heta}{2}}
• an frac{ heta}{2} = pmsqrt{frac{1-cos heta}{1+cos heta}} =frac{sin heta}{1+cos heta}=frac{1-cos heta}{sin heta}

Leer más sobre Identidades de medio ángulo .

Algunas identidades más de medio ángulo

Además de las identidades mencionadas anteriormente, existen otras identidades de medio ángulo que son las siguientes:

• sin heta=frac{2 an heta / 2}{1+ an ^2 heta / 2}
• cos heta=frac{1+ an ^2 heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}
• an heta = frac{2 an heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}

Identidades de suma de productos

Las siguientes identidades establecen la relación entre la suma de dos razones trigonométricas con el producto de dos razones trigonométricas.

• sin A+sin B=2 sin frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• cos A+cos B=2 cos frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• sin A-sin B=2 cos frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}
• cos A-cos B=-2 sin frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}

Identidades de productos

Las identidades de producto se forman cuando sumamos dos de la suma y diferencia de identidades de ángulos y son las siguientes:

• sin A cos B=frac{sin (A+B)+sin (A-B)}{2}
• cos A cos B=frac{cos (A+B)+cos (A-B)}{2}
• sin A sin B=frac{cos (A-B)-cos (A+B)}{2}

Fórmulas de triple ángulo

Además de las fórmulas de ángulos dobles y medios, existen identidades para razones trigonométricas que se definen para ángulos triples. Estas identidades son las siguientes:

• sin 3 heta=3 sin heta-4 sin ^3 heta
• cos 3 heta= 4 cos^3 heta-3 cos heta
• cos 3 heta=frac{3 an heta- an ^3 heta}{1-3 an ^2 heta}

Leer más sobre Identidades de triple ángulo .

Prueba de las identidades trigonométricas

Para cualquier ángulo agudo θ, demuestre que

1. tanθ = sinθ/cosθ
2. cotθ = cosθ/senθ
3. tanθ. cunaθ = 1
4. sin ² θ + porque ² θ = 1
5. 1 + tan ² θ = segundo ² i
6. 1 + cuna ² θ = cosec ² i

Prueba:

Considere un △ABC en ángulo recto en el que ∠B = 90°

Sean AB = x unidades, BC = y unidades y AC = r unidades.

Entonces,

(1) tanθ = P/B = y/x = (y/r) / (x/r)

∴ tanθ = senθ/cosθ

(2) cotθ = B/P = x/y = (x/r) / (y/r)

∴ cotθ = cosθ/senθ

(3) tanθ. cotθ = (sinθ/cosθ) . (cosθ/senθ)

tanθ. cunaθ = 1

Entonces, según el teorema de Pitágoras, tenemos

X²+ y²=r².

Ahora,

(4) sin²θ + porque²θ = (y/r)²+ (x/r)²= ( y²/r²+x²/r²)

= (x²+ y²)/r²=r²/r²= 1 [x²+ y²=r²]

sin ² θ + porque ² θ = 1

(5) 1 + tan²θ = 1 + (y/x)²= 1 + y²/X²= (y²+x²)/X²=r²/X²[X²+ y²=r²]

(r/x)²= segundo²i

∴ 1 + tan ² θ = segundo ² i.

(6) 1 + cuna²θ = 1 + (x/y)²= 1 + x²/y²= (x²+ y²)/y²=r²/y²[X²+ y²=r²]

(r²/y²) = cosec²i

∴ 1 + cuna ² θ = cosec ² i

Relación entre ángulos y lados de un triángulo

Tres reglas que relacionan los lados de los triángulos con los ángulos interiores de los triángulos son,

• Su regla
• Regla del coseno
• Regla tangente

Si un triángulo ABC con lados a, b y c que son lados opuestos a ∠A, ∠B y ∠C respectivamente, entonces

Su regla

sus reglas establece la relación entre los lados y los ángulos del triángulo, que es la relación entre el lado y el seno del ángulo opuesto al lado, siempre permanece igual para todos los ángulos y lados del triángulo y se da de la siguiente manera:

old{frac{sin angle A}{a}= frac{sin angle B}{b} = frac{sin angle C}{c} = k}

Regla del coseno

Regla del coseno involucra todos los lados, y un ángulo interior del triángulo está dado por la siguiente manera:

old{cos angle A = frac{b^2+c^2 – a^2}{2bc}}

O

old{cos angle B = frac{a^2+c^2 – b^2}{2ac}}

O

old{cos angle C = frac{a^2+b^2 – c^2}{2ab}}

Regla tangente

• La regla tangente también establece la relación entre los lados y el ángulo interior de un triángulo, utilizando la razón trigonométrica tangente, que es la siguiente:

• old{frac{a-b}{a+b}=frac{ an left(frac{A-B}{2} ight)}{ an left(frac{A+B}{2} ight)}}
• old{frac{b-c}{b+c}=frac{ an left(frac{B-C}{2} ight)}{ an left(frac{B+C}{2} ight)}}
• old{frac{c-a}{c+a}=frac{ an left(frac{C-A}{2} ight)}{ an left(frac{C+A}{2} ight)}}

Además, lea

• Altura y distancia de trigonometría
• Tabla trigonométrica

Ejemplo resuelto sobre identidades trigonométricas

Ejemplo 1: Demuestre que (1 – pecado ² θ) segundos ² θ = 1

Solución:

Tenemos:

LHS = (1 – pecado²θ) segundos²i

= porque²θ. segundo²i

= porque²θ. (1/porque²i)

=1

= lado derecho.

∴ LHS = LD. [Por lo tanto probado]

Ejemplo 2: Demuestre que (1 + tan ² θ) porque ² θ = 1

Solución:

Tenemos:

LHS = (1 + bronceado²θ)cos²i

⇒ LHS = seg²θ. porque²i

⇒ LHS = (1/cos²θ). porque²i

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Por lo tanto probado]

Ejemplo 3: Demuestre que (cosec ² θ – 1) tan²θ = 1

Solución:

Tenemos:

LHS = (cosec²θ – 1) tan²i

⇒ LHS = (1 + cuna²θ – 1) tan²i

⇒ LHS = cuna²θ . tan²i

⇒ LHS = (1/bronceado²θ) . tan²i

gimp guardando como jpeg

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Por lo tanto probado]

Ejemplo 4: Demuestre que (seg. ⁴ θ – seg ² θ) = (tan ² θ + tan ⁴ i)

Solución:

Tenemos:

LHS = (seg.⁴θ – seg²i)

⇒ LHS = seg²θ(seg²yo – 1)

⇒ LHS = (1 + bronceado²θ) (1 + tan²yo – 1)

⇒ LHS = (1 + bronceado²θ) tan²i

⇒ LHS = (bronceado²θ + tan⁴θ) = lado derecho

∴ LHS = LD. [Por lo tanto probado]

Ejemplo 5: Demuestre que √(seg ² θ + cosec ² θ) = (tanθ + cotθ)

Solución:

Tenemos:

LHS = √(seg²θ + cosec²θ ) = √((1 + tan²i) + (1 + cuna²i))

⇒ LHS = √(bronceado²θ + cuna²yo + 2)

⇒ LHS = √(bronceado²θ + cuna²θ + 2tanθ.cotθ ) (tanθ . cotθ = 1)

⇒ LHS = √(tanθ + cotθ)²

⇒ LHS = tanθ + cotθ = RHS

∴ LHS = RHS [probado por lo tanto]

Preguntas de práctica sobre identidades trigonométricas

P1: Simplifica la expresiónfrac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}.

P2: Demuestre la identidad tan (x) . cuna(x) = 1.

P3: Muestra esafrac{sin(x)}{cos(x)} = frac{1}{cot(x)}.

P4: Simplificarsin^2(x) + cos^2(x) cdot an^2(x).

P5: demostrar la identidadcos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x).

P6: Simplificarfrac{cos(x)}{sin(x)} cdot frac{sin(x)}{cos(x)}.

P7: demostrar la identidadsec(x) – cos(x) = an(x) cdot sin(x).

Preguntas frecuentes sobre identidades trigonométricas

¿Qué es la identidad trigonométrica?

La identidad trigonométrica es una ecuación que relaciona diferentes funciones trigonométricas como sin, cos, tan, cot, sec y cosec.

¿Cómo probar identidades trigonométricas?

Existen varios métodos para probar identidades trigonométricas, uno de esos métodos es utilizar las 6 identidades trigonométricas conocidas principales para reescribir una expresión en una forma diferente. Como cualquier otra prueba, trabajamos con un lado para llegar a una expresión idéntica al otro lado de la ecuación.

¿Cuántas identidades trigonométricas hay?

Hay muchas identidades trigonométricas, ya que cualquier identidad puede tener alguna variación y sigue siendo identidad también. Por lo tanto, no podemos decir exactamente cuántas identidades hay.

¿Cómo recordar todas las Identidades Trigonométricas?

El método más sencillo para recordar todas las identidades es practicar problemas relacionados con la identidad. Cada vez que resuelves un problema usando alguna identidad, revisas esa identidad y eventualmente se convertirá en algo natural para ti.

Escribe las tres funciones trigonométricas principales.

Tres funciones principales utilizadas en trigonometría son seno, coseno y tangente.
sin θ = Perpendicular/ Hypotenuse
cos θ = Base/Hipotenusa
tan θ = Perpendicular/Base

¿Qué es el teorema de Pitágoras?

El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo con lados como hipotenusa (H), perpendicular (P) y base (B), la relación entre ellos está dada por,

(H) ² = (P) ² + (B) ²

Escribir los usos de las identidades trigonométricas.

Las identidades trigonométricas se utilizan para resolver diversos problemas que involucran funciones trigonométricas complejas. Se utilizan para calcular ecuaciones de ondas, ecuaciones del oscilador armónico, resolver cuestiones geométricas y otros problemas.

Escribe ocho identidades trigonométricas fundamentales.

Ocho identidades fundamentales en trigonometría son:

• pecado θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/s θ
• tan θ = 1/cuna θ
• sin²θ + porque²θ = 1
• tanθ = senθ/cos θ
• 1+ tan²θ = segundo²i
• cuna θ = cosθ/senθ
• 1+ cuna²θ = cosec²i