Clase de equivalencia son el grupo de elementos de un conjunto basado en una noción específica de equivalencia definida por una relación de equivalencia. Una relación de equivalencia es una relación que satisface tres propiedades: reflexividad, simetría y transitividad. Las clases de equivalencia dividen el conjunto S en subconjuntos disjuntos. Cada subconjunto consta de elementos que están relacionados entre sí según la relación de equivalencia dada.

En este artículo, analizaremos el concepto de clase de equivalencia con suficiente detalle, incluida su definición, ejemplo, propiedades y ejemplos resueltos.

Tabla de contenidos

• ¿Qué son las clases de equivalencia?
• Ejemplos de clase de equivalencia
• Propiedades de las clases de equivalencia
• Clases de equivalencia y partición

¿Qué son las clases de equivalencia?

Una clase de equivalencia es el nombre que le damos al subconjunto de S que incluye todos los elementos que son equivalentes entre sí. La equivalencia depende de una relación específica, llamada relación de equivalencia. Si existe una relación de equivalencia entre dos elementos cualesquiera, se les llama equivalentes.

Definición de clase de equivalencia

Dada una relación de equivalencia en un conjunto S, una clase de equivalencia con respecto a un elemento a en S es el conjunto de todos los elementos en S que están relacionados con a, es decir,

[a] O x está relacionado con a

Por ejemplo, considere el conjunto de números enteros ℤ y la relación de equivalencia definida por el módulo de congruencia n. Dos números enteros a y b se consideran equivalentes (denotados como (a ≡ b mod(n) si tienen el mismo resto cuando se dividen por n. En este caso, la clase de equivalencia de un número entero a es el conjunto de todos los números enteros que tienen el mismo resto que a cuando se divide por n.

¿Qué es la relación de equivalencia?

Cualquier relación R, se dice que es Realidad de Equivalencia si y sólo si cumple las siguientes tres condiciones:

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• Reflexividad: Para cualquier elemento a, a está relacionado consigo mismo.
• Simetría: Si a está relacionado con b, entonces b está relacionado con a.
• Transitividad: Si a está relacionado con b y b está relacionado con c, entonces a está relacionado con c.

Leer más sobre Relación de equivalencia .

Algunos ejemplos de relación de equivalencia son:

Igualdad en un conjunto: Sea X un conjunto cualquiera y defina una relación R sobre X tal que a R b si y sólo si a = b para a, b ϵ X.

• Reflexividad: Por cada una ϵ X, a = a (trivialmente cierto).
• Simetría: Si a = b, entonces b = a (trivialmente cierto).
• Transitividad: Si a = b y b = c, entonces a = c (trivialmente cierto).

Congruence modulo n: Sea n un número entero positivo y defina una relación R sobre los números enteros ℤ tal que a R b si y sólo si a – b es divisible por n.

• Reflexividad: Por cada una ϵ ℤ, a – a = 0 es divisible por n.
• Simetría: Si a – b es divisible por n, entonces -(a – b) = b – a también es divisible por n.
• Transitividad: Si a – b es divisible por n y b – c es divisible por n, entonces a – c también es divisible por n.

Ejemplos de clase de equivalencia

El ejemplo bien conocido de una relación de equivalencia es la relación igual a (=). En otras palabras, dos elementos de un conjunto dado son equivalentes entre sí si pertenecen a la misma clase de equivalencia. Las relaciones de equivalencia se pueden explicar en términos de los siguientes ejemplos:

Relación de equivalencia en números enteros

Relación de equivalencia: Congruencia módulo 5 (a ≡ b [mod(5)] )

• Clase de equivalencia de 0: [0] = {. . ., -10, -5, 0, 5, 10, . . .}
• Clase de equivalencia de 1: [1] = {. . ., -9, -4, 1, 6, 11, . . .}
• Clase de equivalencia de 2: [2] = {. . ., -8, -3, 2, 7, 12, . . .}
• Clase de equivalencia de 3: [3] = {. . ., -7, -2, 3, 8, 13, . . .}
• Clase de equivalencia de 4: [4] = {. . ., -6, -1, 4, 9, 14, . . .}

Relación de equivalencia en números reales

Relación de equivalencia: Diferencia absoluta (a ~ b si |a – b| <1)

• Clase de equivalencia de 0: [0] = (-0.5, 0.5)
• Clase de equivalencia de 1: [1] = (0.5, 1.5)
• Clase de equivalencia de 2: [2] = (1.5, 2.5)
• Clase de equivalencia de 3: [3] = (2.5, 3.5)

Leer más,

• Numeros reales
• Enteros
• Numeros racionales

Propiedades de las clases de equivalencia

Las propiedades de las clases de equivalencia son:

• Cada elemento pertenece exactamente a una clase de equivalencia.
• Las clases de equivalencia son disjuntas, es decir, la intersección de dos clases de equivalencia cualesquiera es un conjunto nulo.
• La unión de todas las clases de equivalencia es el conjunto original.
• Dos elementos son equivalentes si y sólo si sus clases de equivalencia son iguales.

Leer más,

• Unión de conjuntos
• Intersección de conjuntos
• Conjuntos disjuntos

Clases de equivalencia y partición

Los grupos de elementos de un conjunto relacionados por una relación de equivalencia, mientras que una colección de estas clases de equivalencia, que cubren todo el conjunto sin superposiciones, se denominan partición.

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Diferencia entre clases de equivalencia y partición

La diferencia clave entre clases de equivalencia y partición se proporciona en la siguiente tabla:

Ejemplos resueltos sobre clase de equivalencia

Ejemplo 1: Demostrar que la relación R es un tipo de equivalencia en el conjunto P= { 3, 4, 5,6 } dado por la relación R = (p, q):.

Solución:

Dado: R = (p,q):. Donde p, q pertenece a P.

Propiedad reflexiva

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De la relación proporcionada |p – p| = | 0 |=0.

• Y 0 siempre es par.
• Por lo tanto, |p – p| incluso.
• Por tanto, (p, p) se relaciona con R

Entonces R es reflexivo.

Propiedad simétrica

De la relación dada |p – q| = |q – p|.

• Sabemos que |p – q| = |-(q – p)|= |q – p|
• Por lo tanto |p – q| incluso.
• Siguiente |q – p| también es parejo.
• En consecuencia, si (p, q) ∈ R, entonces (q, p) también pertenece a R.

Por tanto R es simétrico.

Propiedad transitiva

• Si |p – q| es par, entonces (p-q) es par.
• De manera similar, si |q-r| es par, entonces (q-r) también es par.
• La suma de números pares es demasiado par.
• Entonces, podemos abordarlo como p – q+ q-r es par.
• A continuación, p – r es más par.

Respectivamente,

• |pag – q| y |q-r| es par, entonces |p – r| incluso.
• En consecuencia, si (p, q) ∈ R y (q, r) ∈ R, entonces (p, r) también se refiere a R.

Por tanto R es transitivo.

Ejemplo 2: Considere A = {2, 3, 4, 5} y R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), ( 3, 3), (4, 2), (4, 4)}.

Solución:

Dado: A = {2, 3, 4, 5} y

Relación R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3), (4, 2), (4, 4 )}.

Para que R sea una relación de equivalencia, R debe satisfacer tres propiedades, es decir, reflexiva, simétrica y transitiva.

Reflexivo : La relación R es reflexiva porque (5, 5), (2, 2), (3, 3) y (4, 4) ∈ R.

Simétrico : La relación R es simétrica siempre que (a, b) ∈ R, (b, a) también se relaciona con R, es decir, (3, 5) ∈ R ⟹ (5, 3) ∈ R.

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Transitivo : La relación R es transitiva ya que siempre que (a, b) y (b, c) se relacionan con R, (a, c) también se relaciona con R, es decir, (3, 5) ∈ R y (5, 3) ∈ R ⟹ ( 3, 3) ∈ R.

En consecuencia, R es reflexivo, simétrico y transitivo.

Entonces, R es una relación de equivalencia.

Problemas de práctica en clase de equivalencia

Problema 1: aRb si a+b es par. Determina si es una relación de equivalencia y sus propiedades.

Problema 2: xSy si xey tienen el mismo mes de nacimiento. Analiza si es una relación de equivalencia.

Problema 3: Considere A = {2, 3, 4, 5} y R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3 ), (4, 2), (4, 4)}. Confirme que R es un tipo de relación de equivalencia.

Problema 4: Demuestre que la relación R es un tipo de equivalencia en el conjunto P= { 3, 4, 5,6 } dado por la relación R = es par.

Clase de equivalencia: preguntas frecuentes

1. ¿Qué es la Clase de Equivalencia?

Una clase de equivalencia es un subconjunto dentro de un conjunto, formado al agrupar todos los elementos que son equivalentes entre sí bajo una relación de equivalencia determinada. Representa a todos los miembros que son considerados iguales por esa relación.

2. ¿Cuál es el símbolo de la clase de equivalencia?

El símbolo de una clase de equivalencia normalmente se escribe como [a], donde a es un elemento representativo de la clase. Esta notación denota el conjunto de todos los elementos equivalentes a a bajo una relación de equivalencia específica.

3. ¿Cómo se encuentra la clase de equivalencia de un conjunto?

Para encontrar la clase de equivalencia de un conjunto, siga estos pasos:

Paso 1: Definir una relación de equivalencia.

Paso 2: Seleccione un elemento del conjunto.

Paso 3: Identificar elementos equivalentes a los elementos seleccionados.

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Etapa 4: Forme la Clase de Equivalencia que contenga todos los elementos equivalentes al elemento seleccionado.

4. ¿Cuál es la diferencia entre Clase de Equivalencia y Partición?

Las clases de equivalencia son subconjuntos formados por una relación de equivalencia, mientras que las particiones son subconjuntos que no se superponen y cubren el conjunto completo. Cada clase de equivalencia es un subconjunto de una partición, pero no toda partición surge de una relación de equivalencia.

5. ¿Qué es una relación de equivalencia?

Una relación que es reflexiva, simétrica y transitiva, que divide un conjunto en subconjuntos disjuntos.