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Regla trapezoidal

La regla trapezoidal es una de las reglas fundamentales de integración que se utiliza para definir la definición básica de integración. Es una regla ampliamente utilizada y la regla trapezoidal se llama así porque da el área bajo la curva dividiendo la curva en pequeños trapecios en lugar de rectángulos.

Generalmente, encontramos el área bajo la curva dividiendo el área en rectángulos más pequeños y luego encontrando la suma de todos los rectángulos, pero en la regla trapezoidal el área bajo la curva se divide en trapecios y luego se calcula su suma. La regla trapezoidal se utiliza para encontrar el valor de las integrales definidas en análisis numérico. Esta regla también se llama regla del trapezoide o regla del trapecio. Aprendamos más sobre la regla trapezoidal, su fórmula y prueba, ejemplo y otros en detalle en este artículo.

¿Qué es la regla trapezoidal?

La regla trapezoidal es una regla que se utiliza para encontrar el valor de la integral definida de la formab∫af(x)dx. Sabemos que el valor de la integral definidab∫af(x) dx es el área encerrada bajo la curva y = f(x) y el eje x en el intervalo a y b en el eje x. Calculamos esta área dividiendo el área completa en varios rectángulos pequeños y luego encontrando su suma.



En la regla trapezoidal, como su nombre indica, el área bajo la curva se divide en varios trapecios y luego se calcula su suma para obtener el área de la curva. La regla trapezoidal no proporciona la mejor aproximación del área bajo la curva que la regla de Simpson, pero aun así su resultado es lo suficientemente preciso y esta regla es una regla ampliamente utilizada en cálculo.

Fórmula de la regla trapezoidal

La fórmula de la regla trapezoidal es la fórmula que se utiliza para encontrar el área bajo la curva. Ahora para encontrar el área bajo la curva usando la regla trapezoidal,

Sea y = f(x) una curva continua definida en el intervalo cerrado [a, b]. Ahora dividimos el intervalo cerrado [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno de los cuales tiene el ancho de,

Δx = (b – a)/n

Tal que,

un = x0 1 2<⋯ norte= segundo

Ahora, usando la fórmula de la regla trapezoidal, podemos encontrar el área bajo la curva como,

∫baf(x) dx = Área bajo la curva = (Δx/2) [y0+ 2 (y1+ y2+ y3+ ….. + yn-1) + ynorte]

donde, y0, y1, y2, …. ynorteson los valores de la función en x = 1, 2, 3,….., n respectivamente.

Derivación de la fórmula de la regla trapezoidal

La fórmula de la regla trapezoidal para calcular el área bajo la curva se obtiene dividiendo el área bajo la curva en varios trapecios y luego encontrando su suma.

Declaración:

Sea f(x) una función continua definida en el intervalo (a, b). Ahora dividimos los intervalos (a, b) en n subintervalos iguales donde el ancho de cada intervalo es,

Δx = (b – a)/n

tal que a = x0 1 2 3<…..norte= segundo

Entonces la fórmula de la regla trapezoidal es,

∫baf(x) dx ≈ △x/2 [f(x)0) + 2f(x1) + 2f(x2) +….2f(xn-1) + f(xnorte)]

donde, xi= a + i△x

Si n → ∞, el R.H.S de la expresión da la integral definida int_{a}^{b}f(x)dx

Prueba:

Esta fórmula se demuestra dividiendo el área bajo la curva dada como se muestra en la figura anterior en varios trapecios. El primer trapezoide tiene una altura Δx y la longitud de las bases paralelas es f(x0) y f(x1)

El área del primer trapezoide = (1/2) Δx [f(x0) + f(x1)]

De manera similar, el área de los trapecios restantes es (1/2)Δx [f(x1) + f(x2)], (1/2)Δx [f(x2) + f(x3)], etcétera.

Ahora podemos decir eso,

∫baf(x) dx ≈ (1/2)Δx (f(x0)+f(x1) ) + (1/2)Δx (f(x1)+f(x2) ) + (1/2)Δx (f(x2)+f(x3) ) + … + (1/2)Δx (f(xn-1) + f(xnorte) )

Después de simplificar obtenemos,

∫baf(x) dx≈ (Δx/2) (f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+2f(x3)+ … +2f(xn-1) + f(xnorte))

Por tanto, queda demostrada la regla del trapecio.

¿Cómo aplicar la regla trapezoidal?

La regla del trapecio encuentra el área bajo la curva dividiendo el área bajo la curva en varios trapecios y luego encuentra la suma de todos los trapecios. La regla trapezoidal no es la aproximación perfecta del valor de la integral definida ya que utiliza la aproximación cuadrática.

Tenemos que encontrar el valor de la integral definida, ∫baf(x)dx. El valor de la integral definida se puede calcular usando la regla trapezoidal siguiendo los pasos a continuación,

Paso 1: Marque el valor de los subintervalos, n y los intervalos a y b.

Paso 2: Encuentre el ancho del subintervalo (△x) usando la fórmula △x = (b – a)/n

Paso 3: Coloque todos los valores en la fórmula de la regla trapezoidal y encuentre el área aproximada de la curva dada que representa la integral definida ∫baf(x)dx

∫ b a f(x) dx ≈ (Δx/2) (f(x 0 )+2f(x 1 )+2f(x 2 )+2f(x 3 )+ … +2f(x n-1 ) + f(x norte ))

dónde, X i = a + i△x

Notación sumatoria de la regla trapezoidal

Sabemos que el área de un trapezoide es básicamente el promedio de las longitudes de los lados paralelos multiplicado por la altura. Entonces, en este caso, considere un trapecio para la ithintervalo,

A_{i} = frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x

Como el área total es la suma de todas las áreas,

Una = Una1+A2+ ….+ Unnorte

⇒ A = sum_{i = 1}^{i = n} A_{i}

⇒ A = sum_{i = 1}^{i = n}frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x

Esto se llama notación sigma o notación de suma de las sumas trapezoidales.

Sumas de Riemann

Riemann resume su trabajo con la idea de dividir el área bajo la curva en diferentes partes rectangulares. A medida que aumenta el número de rectángulos, el área se acerca cada vez más al área actual. En la figura que se muestra a continuación, hay una función f(x). El área bajo esta función se divide en muchos rectángulos. El área total bajo la curva es la suma de las áreas de todos los rectángulos.

Sumas de Riemann (derecha)

Observe que en la figura anterior, el extremo derecho de los rectángulos toca la curva. Esto se llama sumas de Riemann derechas.

En otro caso, cuando el extremo izquierdo de los rectángulos toca la curva como se muestra en la imagen siguiente, se denominan sumas de Riemann izquierdas.

Sumas de Riemann (izquierda)

Digamos que Δx es el ancho del intervalo. El ancho n es el número de intervalos como se indicó anteriormente. Entonces el área de la curva representada por la suma viene dada por,

old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(x_{i})Delta x}

Sumas del punto medio

En las sumas de Riemann, el extremo izquierdo o el extremo derecho del rectángulo toca la curva. En este caso, el punto medio del rectángulo toca la curva. Todo lo demás es igual que las sumas de Riemann. La siguiente figura muestra la función f(x) y diferentes rectángulos en las sumas del punto medio.

Sumas del punto medio

digamos Aidenota el área de la ithrectángulo. El área de este rectángulo en este caso será,

A_{i} = f(frac{x_i + x_{i-1}}{2}) Delta x

Ahora, el área total en la notación de suma vendrá dada por,

old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(frac{x_{i} + x_{ i-1}}{2})Delta x}

Leer más,

Ejemplo resuelto de regla trapezoidal

Ejemplo 1: Encuentre el área encerrada por la función f(x) entre x = 0 y x = 4 con 4 intervalos.

f(x) = 4

Solución:

Aquí a = 0, b = 4 y n = 4.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

La regla trapezoidal para n = 4 es,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))

Sustituyendo los valores en esta ecuación,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) = frac{1}{2}( f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) = frac{1}{2}(4 + 2(4) + 2(4) + 2(4 ) + 4) = 16

Ejemplo 2: Encuentre el área encerrada por la función f(x) entre x = 0 y x = 3 con 3 intervalos.

f(x) = x

Solución:

Aquí a = 0, b = 3 y n = 3.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

La regla trapezoidal para n = 3 es,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))

Sustituyendo los valores en esta ecuación,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2 + 2(2) + 2(3)) Flecha derecha T_n= frac{1}{2}(2 + 4 + 6) = 6

javac no es reconocido

Ejemplo 3: Encuentre el área encerrada por la función f(x) entre x = 0 y x = 2 con 2 intervalos.

f(x) = 2x

Solución:

Aquí a = 0, b = 2 y n = 2.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{2 - 0}{2} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

La regla trapezoidal para n = 2 es,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2))

Sustituyendo los valores en esta ecuación,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f(0) + 2f( 1) + f(2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(2) + 1(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}( 8) = 4

Ejemplo 4: Encuentre el área encerrada por la función f(x) entre x = 0 y x = 3 con 3 intervalos.

f(x) = x 2

Solución:

Aquí a = 0, b = 3 y n = 3.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

La regla trapezoidal para n = 3 es,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))

Sustituyendo los valores en esta ecuación,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(1) + 2(4) + 2(9)) Flecha derecha T_n= frac{1}{2}(2 + 8 + 18) = 14

Ejemplo 5: Encuentre el área encerrada por la función f(x) entre x = 0 y x = 4 con 4 intervalos.

f(x) = x 3 + 1

Solución:

Aquí a = 0, b = 4 y n = 4.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

La regla trapezoidal para n = 4 es,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))

Sustituyendo los valores en esta ecuación,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Rightarrow T_n = frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(1 + 2(2) + 2(9) + 2(28) + (65) ) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(1 + 4 + 18 + 56 + 65) Rightarrow T_n= 72

Ejemplo 6: Encuentre el área encerrada por la función f(x) entre x = 0 y x = 4 con 4 intervalos.

f(x) = mi X

Solución:

Aquí a = 0, b = 4 y n = 4.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

La regla trapezoidal para n = 4 es,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))

Sustituyendo los valores en esta ecuación,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Rightarrow T_n= frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(e^0 + 2e + 2e ^2 + 2e^3 + e^4 ) Rightarrow T_n= frac{1}{2} + e + e^2 + e^3 + frac{e^4}{2}

Aplicaciones de la regla del trapezoide

Integracion numerica:

La aplicación principal de la regla trapezoidal es la aproximación de integrales definidas. Se utiliza cuando la integración de una función es un desafío y un enfoque numérico es más factible. La regla trapezoidal suele formar parte de técnicas de integración numérica más avanzadas.

Física e Ingeniería:

En física e ingeniería, la regla trapezoidal se puede aplicar para calcular cantidades como el desplazamiento, la velocidad y la aceleración. Por ejemplo, cuando se recopilan datos experimentales en intervalos de tiempo discretos, se puede utilizar la regla trapezoidal para estimar el área bajo la curva, proporcionando una aproximación de la integral.

Economía y Finanzas:

La regla trapezoidal se puede aplicar en modelos financieros para estimar el valor presente de los flujos de efectivo futuros. Esto es especialmente útil en el análisis de flujo de efectivo descontado (DCF), donde el objetivo es calcular el valor actual neto de una inversión.

Estadísticas:

En estadística, la regla trapezoidal se puede utilizar para estimar el área bajo funciones de densidad de probabilidad o funciones de distribución acumulativa. Esto es particularmente útil en casos donde la forma exacta de la distribución es desconocida o compleja.

Preguntas frecuentes sobre la regla trapezoidal

P1: ¿Qué es la regla trapezoidal?

Respuesta:

La regla trapezoidal es la regla que se usa para encontrar la integral definida: divide el área bajo la curva en varios trapecios y luego se encuentra su área individual y luego se calcula la suma para obtener el valor de la integral definida.

P2: ¿Qué es la fórmula de la regla trapezoidal?

Respuesta:

La fórmula de la regla trapezoidal es,

∫ b a f(x) dx = (Δx/2) (f(x 0 )+2f(x 1 )+2f(x 2 )+2f(x 3 )+ … +2f(x n-1 ) + f(x norte ))

P3: ¿Por qué se llama fórmula de regla trapezoidal?

Respuesta:

La fórmula de la regla trapezoidal se llama regla trapezoidal porque divide el área bajo la curva en varios trapecios y luego su área se calcula encontrando la suma de los trapezoides.

P4: ¿Cuál es la diferencia entre la regla trapezoidal y la regla de las sumas de Riemann?

Respuesta:

La principal diferencia entre la regla trapezoidal y la regla de las sumas de Riemann es que la regla trapezoidal divide el área bajo la curva como los trapecios y luego encuentra el área tomando su suma, mientras que las sumas de Riemann dividen el área bajo la curva como el trapecio y luego encuentra el área tomando su suma.