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Fórmulas de integración

Fórmulas de integración son las fórmulas básicas que se utilizan para resolver diversos problemas integrales. Se utilizan para encontrar la integración de expresiones algebraicas, razones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas y funciones logarítmicas y exponenciales. Estas fórmulas de integración son muy útiles para encontrar la integración de varias funciones.

La integración es el proceso inverso de la diferenciación, es decir, si d/dx (y) = z, entonces ∫zdx = y. La integración de cualquier curva da el área bajo la curva. Encontramos la integración por dos métodos: Integración Indefinida e Integración Definida. En la integración indefinida, no hay límite para la integración, mientras que en la integración definida hay un límite bajo el cual se integra la función.



Aprendamos sobre estos integral formulas, y ellos clasificación, en detalle en este artículo.

Tabla de contenidos

Integral Calculus

Integral calculus Es una rama del cálculo que se ocupa de la teoría y aplicaciones de las integrales. El proceso de encontrar integrales se llama integración. El cálculo integral ayuda a encontrar las antiderivadas de una función. Las antiderivadas también se llaman integrales de una función. Se denota por ∫f(x)dx. El cálculo integral se ocupa del valor total, como longitudes, áreas y volúmenes. La integral se puede utilizar para encontrar soluciones aproximadas a ciertas ecuaciones de datos dados. El cálculo integral implica dos tipos de integración:



  • Indefinido Integrales
  • Integrales definidas

¿Qué son las fórmulas de integración?

Las fórmulas de integración se han presentado ampliamente como los siguientes conjuntos de fórmulas. Las fórmulas incluyen fórmulas de integración básicas, integración de razones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas, producto de funciones y algunos conjuntos avanzados de fórmulas de integración. La integración es una forma de unir las partes para encontrar un todo. Es la operación inversa de la diferenciación. Por tanto, la fórmula básica de integración es

∫ f'(x) dx = f(x) + C

Fórmulas de integración



Usando esto, se derivan las siguientes fórmulas de integración.

Las diversas fórmulas de cálculo integral son

  1. d/dx {φ(x)} = f(x) ∫f(x) dx = φ(x) + C
  2. ∫xnortedx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C, norte ≠ -1
  3. ∫(1/x) dx = iniciar sesiónEs|x| +C
  4. ∫eXdx = miX+C
  5. ∫aXdx = (unX/ registroEsa) +C

Más adelante se analizan fórmulas integrales en el artículo,

Nota:

  • d/dx [∫f(x) dx] = f(x)
  • ∫k. f(x) dx = k ∫f(x) dx , donde k es constante
  • ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

Fórmulas básicas de integración

A continuación se analizan algunas de las fórmulas básicas de integración que se utilizan para resolver problemas de integración. Se derivan del teorema fundamental de la integración. La lista de fórmulas integrales básicas se proporciona a continuación:

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫xnortedx=x(n+1)/(norte + 1)+ C
  • ∫ 1/xdx = log |x| +C
  • ∫ yXdx = miX+C
  • ∫ unXdx=aX/log a+ C
  • ∫ yX[f(x) + f'(x)] dx = eXf(x) + C {donde, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Clasificación de fórmulas integrales

Las fórmulas integrales se clasifican en varias categorías según la siguiente función.

  • Funciones racionales
  • Funciones irracionales
  • Funciones hiperbólicas
  • Funciones hiperbólicas inversas
  • Funciones trigonométricas
  • Funciones trigonométricas inversas
  • Funciones exponenciales
  • Funciones logarítmicas

Fórmulas de integración de funciones trigonométricas.

Las fórmulas de integración de funciones trigonométricas se utilizan para resolver ecuaciones integrales que involucran funciones trigonométricas. A continuación se proporciona una lista de fórmulas integrales que involucran funciones trigonométricas y trigonométricas inversas,

  • ∫ cos x dx = sin x + C
  • ∫ sin x dx = -cos x + C
  • ∫ seg2x dx = tan x + C
  • ∫ cosec2x dx = -cot x + C
  • ∫ sec x tan x dx = sec x + C
  • ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
  • ∫ tan x dx = log |sec x| + C
  • ∫ cot x dx = log |sen x| +C
  • ∫ sec x dx = log |sec x + tan x| +C
  • ∫ cosec x dx = log |cosec x – cot x| +C

Fórmulas de integración de funciones trigonométricas inversas

A continuación se proporcionan varias fórmulas de integración de funciones trigonométricas inversas que se utilizan para resolver preguntas integrales.

  • ∫1/√(1 – x2) dx = sin-1x + C
  • ∫ -1/√(1 – x2) dx = porque-1x + C
  • ∫1/(1 + x2) dx = tan-1x + C
  • ∫ -1/(1 + x2) dx = cuna-1x + C
  • ∫ 1/x√(x2– 1) dx = seg-1x + C
  • ∫ -1/x√(x2– 1) dx = cosec-1x + C

Fórmulas de integración avanzadas

A continuación se analizan algunas otras fórmulas de integración avanzadas que son de gran importancia para resolver integrales.

  • ∫1/(x2- a2) dx = 1/2a log|(x – a)(x + a| + C
  • ∫ 1/(un2- X2) dx =1/2a log|(a + x)(a – x)| +C
  • ∫1/(x2+ un2) dx = 1/a tan-1x/a + C
  • ∫1/√(x2- a2)dx = iniciar sesión |x +√(x2- a2)| +C
  • ∫ √(x2- a2) dx = x/2 √(x2- a2) -a2/2 log |x + √(x2- a2)| +C
  • ∫1/√(a2- X2) dx = sin-1x/a + C
  • ∫√(un2- X2) dx = x/2 √(a2- X2) dx+a2/2 sin-1x/a + C
  • ∫1/√(x2+ un2) dx = iniciar sesión |x + √(x2+ un2)| +C
  • ∫ √(x2+ un2) dx = x/2 √(x2+ un2)+ un2/2 log |x + √(x2+ un2)| +C

Diferentes fórmulas de integración

Se utilizan varios tipos de métodos de integración para resolver diferentes tipos de preguntas integrales. Cada método es un resultado estándar y puede considerarse una fórmula. Algunos de los métodos importantes se analizan a continuación en este artículo. Revisemos los tres métodos de integración importantes.

  • Fórmula de integración por partes
  • Integración por fórmula de sustitución
  • Fórmula de integración por fracciones parciales

Fórmula de integración por partes

Integración por partes La fórmula se aplica cuando la función dada se describe fácilmente como el producto de dos funciones. La fórmula de integración por partes utilizada en matemáticas se proporciona a continuación,

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

Ejemplo: Calcular ∫ xe X dx

Solución:

∫ cocheXdx tiene la forma ∫ f(x) g(x) dx

sean f(x) = x y g(x) = eX

sabemos que, ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

∫ cocheXdx = x ∫eXdx – ∫( 1 ∫eXdx) dx+ c

= cocheX- EsX+c

Integración por fórmula de sustitución

Integración por fórmula de sustitución Se aplica cuando una función es función de otra función. es decir, sea I = ∫ f(x) dx, donde x = g(t) tal que dx/dt = g'(t), entonces dx = g'(t)dt

Ahora, I = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt

Ejemplo: Evaluar ∫ (4x +3) 3 dx

Solución:

Sea u = (4x+3) ⇒ du = 4 dx

∫ (4x +3)3dx

ejemplo de datos json

= 1/4 ∫(tu)3de

= 1/4. en4/5

= tu4/20

= 4x ​​​​+3)4/20

Fórmula de integración por fracciones parciales

Integración por fracciones parciales La fórmula se utiliza cuando se requiere la integral de P(x)/Q(x) y P(x)/Q(x) es una fracción impropia, tal que el grado de P(x) es menor que (<) el grado de Q(x), entonces la fracción P(x)/Q(x) se escribe como

P(x)/Q(x) = R(x) + P 1 (x)/Q(x)

dónde

  • R(x) es un polinomio en x
  • PAG 1 (x)/Q(x) es una función racional propia

Ahora la integración de R(x) + P1(x)/Q(x) se calcula fácilmente utilizando las fórmulas analizadas anteriormente.

Aplicación de Integrales

Las fórmulas integrales son fórmulas muy útiles en matemáticas que se utilizan para una variedad de tareas. Varios aplicaciones de integrales incluye:

  • Encontrar la longitud de la curva
  • Encontrar el área bajo la curva
  • Encontrar valores aproximados de la función.
  • Determinar el camino de un objeto y otros.
  • Para encontrar el área bajo la curva.
  • Para encontrar el área de superficie y el volumen de formas irregulares.
  • Para encontrar el centro de masa o centro de gravedad.

Estas fórmulas se clasifican básicamente en dos categorías,

  • Fórmulas de integración definitiva
  • Fórmulas de integración indefinida

Fórmula de integración definitiva

Las fórmulas integrales definidas se utilizan cuando se da el límite de la integración. En integración definida, la solución a la pregunta es un valor constante. Generalmente, la integración definida se resuelve como,

∫ a b f(x) dx = F(b) – F(a)

Fórmula de integración indefinida

Las fórmulas de integración indefinida se utilizan para resolver la integración indefinida cuando no se da el límite de integración. En integración indefinida, utilizamos la constante de integración que generalmente se denota por C

∫f(x) = F(x) + C

  • Integrales indefinidas
  • Definite Integral Properties
  • Integración de funciones trigonométricas

Ejemplos de fórmulas integrales

Ejemplo 1: evaluar

  • ∫x 6 dx
  • ∫1/x 4 dx
  • ∫ 3 √xdx
  • ∫3 X dx
  • ∫4e X dx
  • ∫(sin x/cos 2 x) dx
  • ∫(1/sin 2 x) dx
  • ∫[1/√(4 – x 2 )] dx
  • ∫[1/3√(x 2 – 9)] dx
  • ∫(1 /cos x tan x) dx

Solución:

(i)∫x 6 dx

= (x6+1)/(6 + 1) + C [∫x norte dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x7/7) + C

(ii) ∫1/x 4 dx

= ∫x-4dx [∫x norte dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x-4+1)/(-4 + 1) + C

= -(x-3/ 3) +C

= -(1/3x3) + C

(iii) ∫ 3 √xdx

= ∫x1/3dx [∫x norte dx = {x n+1 /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= (x(1/3)+1/((1/3)+ 1) + C

=x4/3/ (4/3) + C

= (3/4)(x4/3) + C

(v) ∫3 X dx

= (3X/ registroEs3) +C [ ∫a X dx = (un X / registro Es a) +C]

(v) ∫4e X dx

= 4∫eXdx [∫k. f(x) dx = k f(x) dx , donde k es constante]

= 4 yX+C [∫e X dx = mi X +C]

(vi) ∫(sin x/cos 2 x) dx

= ∫[(sin x/cos x) .(1/cos x)] dx

= ∫ tan x . segundo x dx [ ∫tan x .sec x dx = sec x + C ]

= segundo x + C

(vii) ∫(1/pecado 2 x) dx

= ∫cosec2xdx [∫cosec 2 x dx = -cot x + C ]

= -cuna x + C

(viii) ∫[1/√(4 – x 2 )] dx

= ∫[1/√(22- X2)] dx [sabemos que, dx = pecado -1 (x/a) + C]

= sin-1(x/2) + C

(ix) ∫[1/{3√(x) 2 – 9)}] dx

= ∫[1/{3√(x2– 32)}] dx [sabemos que,intfrac{1}{xsqrt{x^2-a^2}} dx = (1/a)seg-1(x/a) + C]

= (1/3)seg-1(x/3) + C

(x) ∫(1 /cos x tan x) dx

= ∫[cos x /(cos x sin x)] dx

= ∫(1/ sin x) dx

= ∫cosec x dx [sabemos que, ∫cosec x dx = log |cosec x – cot x| +C]

= log |cosec x – cot x| +C

Ejemplo 2: Evaluar ∫{e 9log Es X + y 8log Es X }/{Es 6log Es X + y 5 registro Es X } dx

Solución:

Desde, Es sacudida Es X =x a

∫{mi 9log Es X + y 8log Es X }/{Es 6log Es X + y 5 registro Es X } dx

= ∫{x9+x8}/{X6+x5} dx

= ∫[x8(x+1)]/[x5(x + 1)]dx

=∫x8/X5dx

= ∫x3dx [sabemos que, ∫x norte dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x4/4) + C

Ejemplo 3: Evaluar ∫ sen x + cos x dx

Solución:

∫(sin x + cos x) dx

= ∫sen x dx + ∫cos x dx [sabemos que, ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx]

= -cos x + sin x + C [sabemos que, ∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C ]

Ejemplo 4: Evaluar ∫4 x+2 dx

Solución:

∫4 x+2 dx = ∫4X. 42dx

= ∫16. 4Xdx [sabemos que∫k.f(x) dx = k∫f(x) dx, donde k es constante]

= 16∫ 4Xdx [∫a X dx = (un X / registro Es a) +C]

= 16 (4X/log 4) + C

Ejemplo 5: Evaluar ∫(x 2 + 3x + 1) dx

Solución:

∫(x 2 + 3x + 1) dx

= ∫x2dx+ 3∫x dx + 1∫ x0dx [Sabemos que, ∫x norte dx = {x n+1 /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= [x2+1/2+1] + 3[[x1+1/1+1]] + [x0+1/0+1] + C

= [x3/3] + 3[x2/2] + x + C

Ejemplo 6: Evaluar ∫[4/(1 + cos 2x)] dx

Solución:

1 + porque 2x = 2cos 2 X

∫[4/(1 + cos 2x)] dx

= ∫[4/(2cos2x)] dx

= ∫(2/cos2x) dx

= ∫2 segundos2xdx

= 2∫sec2xdx [Sabemos que, ∫seg 2 x dx = tan x + C ]

= 2 tan x + C

Ejemplo 7: Evaluar ∫(3cos x – 4sen x + 5 seg 2 x) dx

Solución:

∫(3cos x – 4sen x + 5 seg 2 x) dx

= ∫3cos x dx – ∫4sin x dx + ∫5seg2xdx [∫k.f(x) dx = k ∫f(x) dx, donde k es constante]

= 3∫cos x dx – 4∫sen x dx + 5∫seg2xdx

= 3sin x – 4(-cos x) + 5 tan x + C

= 3sin x + 4cos x + 5 tan x + C

Problemas de práctica sobre fórmulas de integración

P1. int x^2 , dx

P2. int e^x , dx

P3. int frac{1}{x} , dx

P4. int sin(x) , dx

P5. int (2x^3 + 3x^2 + x + 1) , dx

Preguntas frecuentes sobre fórmulas de integración

¿Qué son todas las fórmulas de integración?

Las fórmulas de integración son las fórmulas que se utilizan para resolver diversos problemas de integración,

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫xnortedx=x(n+1)/(norte + 1)+ C
  • ∫ 1/xdx = log |x| +C
  • ∫ yXdx = miX+C
  • ∫ unXdx=aX/log a+ C
  • ∫ yX[f(x) + f'(x)] dx = eXf(x) + C {donde, f'(x) = d/dx[f(x)]}

¿Cuáles son las fórmulas de integración de uv?

La fórmula de integración de uv es,

∫uvdx = u∫vdx – ∫[d/dx(u) × ∫vdx] dx

¿Qué significa la integración en matemáticas?

Si la derivada de la función g(x) es f(x), entonces la integración de f(x) es g(x), es decir, ∫f(x)dx = g(x). La integración está representada por el símbolo ∫

¿Cómo nos integramos utilizando fórmulas de integración?

La integración se puede lograr utilizando las fórmulas,

  • Defina una pequeña parte de un objeto en ciertas dimensiones que, al sumar infinitamente veces, forma el objeto completo.
  • El uso de fórmulas de integración sobre esa pequeña parte a lo largo de las diferentes dimensiones nos da el objeto completo.

¿Qué es la fórmula integral por parte?

La fórmula integral por parte se utiliza para resolver la integral donde se da la fracción impropia.

¿Cuál es el uso de las fórmulas de integración?

Las fórmulas de integración se utilizan para resolver varios problemas integrales. Varios problemas que encontramos en nuestra vida diaria se pueden resolver fácilmente con la ayuda de la integración, como encontrar el centro de masa de cualquier objeto, encontrar la trayectoria de misiles, cohetes, aviones y otros.