Integración por partes: La integración por partes es una técnica utilizada en cálculo para encontrar la integral del producto de dos funciones. Es esencialmente una inversión de la regla del producto para la diferenciación.

Integrar una función no siempre es fácil a veces tenemos que integrar una función que es múltiplo de dos o más funciones en este caso si tenemos que encontrar la integración tenemos que usar el concepto de integración por parte, que usa dos productos de dos funciones y nos dice cómo encontrar su integración.

Ahora aprendamos sobre Integración por partes, su fórmula, derivación y otros en detalle en este artículo.

¿Qué es la integración por partes?

La integración por parte es la técnica utilizada para encontrar la integración del producto de dos o más funciones donde la integración no se puede realizar utilizando técnicas normales. Supongamos que tenemos dos funciones f(x) y g(x) y tenemos que encontrar la integración de su producto, es decir, ∫ f(x).g(x) dx donde no es posible resolver más el producto de este producto. f(x).g(x).

Esta integración se logra mediante la fórmula:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

donde f'(x) es la primera diferenciación de f(x).

10 por ciento de 60

Esta fórmula se lee como:

Integración de la Primera Función multiplicada por la Segunda Función es igual a (Primera Función) multiplicada por (Integración de la Segunda Función) - Integración de (Diferenciación de la Primera Función multiplicada por Integración de la Segunda Función).

De la fórmula anterior, podemos observar fácilmente que elegir la primera función y la segunda función es muy importante para el éxito de esta fórmula, y cómo elegimos la primera función y la segunda función se analiza con más detalle en este artículo.

¿Qué es la integración parcial?

La integración parcial, también conocida como integración por partes, es una técnica utilizada en cálculo para evaluar la integral de un producto de dos funciones. La fórmula para la integración parcial viene dada por:

∫ u dv = uv – ∫ v du

donde u y v son funciones diferenciables de x. Esta fórmula nos permite simplificar la integral de un producto dividiéndola en dos integrales más simples. La idea es elegir u y dv de modo que la nueva integral del lado derecho sea más fácil de evaluar que la original del lado izquierdo. Esta técnica es particularmente útil cuando se trata de productos de funciones que no tienen antiderivadas simples.

Historia de la integración parcial

El concepto de integración por parte fue propuesto por primera vez por el famoso Brook Taylor en su libro de 1715. Escribió que podemos encontrar la integración del producto de dos funciones cuyas fórmulas de diferenciación existen. Algunas funciones importantes no tienen fórmulas de integración y su integración se logra mediante la integración tomándolas como producto de dos funciones. Por ejemplo, ∫ln x dx no se puede calcular utilizando técnicas de integración normales. Pero podemos integrarlo usando la técnica de Integración por partes y tomándolo como producto de dos funciones, es decir, ∫1.ln x dx.

Fórmula de integración por partes

La fórmula de integración por partes es la fórmula que nos ayuda a conseguir la integración del producto de dos o más funciones. Supongamos que tenemos que integrar el producto de dos funciones como

∫u.v dx

donde u y v son las funciones de x, entonces esto se puede lograr usando,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

El orden para elegir la Primera función y la Segunda función es muy importante y el concepto utilizado en la mayoría de los casos para encontrar la primera función y la segunda función es el concepto ILATE.

Usando la fórmula anterior y el concepto ILATE podemos encontrar fácilmente la integración del producto de dos funciones. La fórmula de integración por parte se muestra en la siguiente imagen,

Derivación de la fórmula de integración por partes

La fórmula de integración por partes se deriva utilizando la regla de diferenciación del producto. Supongamos que tenemos dos funciones en y en y x entonces la derivada de su producto se logra usando la fórmula,

d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)

Ahora para derivar la fórmula de integración por partes usando la regla de diferenciación del producto.

Reorganizando los términos

u (dv/dx) = d/dx (uv) – v (du/dx)

Integrando ambos lados con respecto a x,

∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx – ∫ v (du/dx) dx

simplificando,

∫ u dv = uv – ∫ v du

Así, se deriva la fórmula de integración por partes.

Regla ILATE

La regla ILATE nos dice cómo elegir la primera función y la segunda función mientras se resuelve la integración del producto de dos funciones. Supongamos que tenemos dos funciones de x u y v y tenemos que encontrar la integración de su producto, luego elegimos la primera función y la regla ILATE.

El formulario completo de ILATE se analiza en la imagen a continuación,

Regla de Integración Parcial del ILATE

Las reglas de ILATE nos dan la jerarquía para tomar la primera función, es decir, si en el producto dado de la función, una función es una función logarítmica y otra función es una función trigonométrica. Ahora tomamos la función logarítmica como la primera función tal como aparece arriba en la jerarquía de la regla ILATE de manera similar, elegimos la primera y segunda funciones en consecuencia.

NOTA: No siempre es apropiado utilizar la regla ILATE, a veces también se utilizan otras reglas para encontrar la primera función y la segunda función.

¿Cómo encontrar la integración por parte?

La integración por parte se utiliza para encontrar la integración del producto de dos funciones. Podemos lograr esto usando los pasos que se describen a continuación,

Supongamos que tenemos que simplificar ∫uv dx

Paso 1: Elija la primera y la segunda función según la regla ILATE. Supongamos que tomamos u como primera función yv como segunda función.

Paso 2: Diferenciar u(x) con respecto a x es decir, Evaluar du/dx.

Paso 3: Integrar v(x) con respecto a x es decir, Evalúe ∫v dx.

Utilice los resultados obtenidos en el Paso 1 y el Paso 2 en la fórmula,

∫uv dx = u∫v dx − ∫((du/dx)∫v dx) dx

Etapa 4: Simplifique la fórmula anterior para obtener la integración requerida.

Integración repetida por partes

La integración repetida por partes es una extensión de la técnica de integración por partes en cálculo. Se utiliza cuando tienes un producto de funciones que requiere integración varias veces para encontrar la antiderivada. El proceso implica aplicar la fórmula de integración por partes de forma iterativa hasta llegar a un punto en el que la integral resultante sea fácil de evaluar o tenga una forma conocida.

Al aplicar esta fórmula repetidamente, comenzarías con una integral que involucre un producto de dos funciones y luego aplicarías la integración por partes para descomponerla en integrales más simples. Luego continuaría este proceso en las integrales resultantes hasta llegar a un punto en el que no sean necesarias más aplicaciones o en el que las integrales se vuelvan manejables.

A continuación se muestra un ejemplo paso a paso de cómo funciona la integración repetida por partes:

1. Comience con una integral de un producto de dos funciones: ∫ u dv.
2. Aplique la fórmula de integración por partes para obtener: uv – ∫ v du.
3. Si la nueva integral obtenida en el lado derecho todavía involucra un producto de funciones, aplica la integración por partes nuevamente para descomponerla aún más.
4. Continúe este proceso hasta que obtenga una integral más simple que pueda evaluarse fácilmente o una que coincida con una forma integral conocida.

Integración tabular por partes

La integración tabular, también conocida como método tabular o método de integración tabular, es una técnica alternativa para evaluar integrales que implican la aplicación repetida de integración por partes. Este método es particularmente útil cuando se trata de integrales donde el producto de funciones se puede integrar varias veces para llegar a un resultado simple.

El método tabular organiza el proceso de integración repetida por partes en una tabla, lo que facilita el seguimiento de los términos y simplifica la integral de manera eficiente. Así es como funciona el método tabular:

1. Comienza anotando las funciones involucradas en la integral en dos columnas: una para la función a diferenciar (u) y otra para la función a integrar (dv).
   • Comience con la función para integrar (dv) en la columna de la izquierda y la función para diferenciar (u) en la columna de la derecha.
2. Continúe derivando la función en la columna u hasta llegar a cero o una constante. En cada paso, integre la función en la columna dv hasta llegar a un punto donde no sea necesaria una mayor integración.
3. Multiplica los términos en diagonal y alterna los signos (+ y -) para cada término. Sume estos productos para encontrar el resultado de la integración.

He aquí un ejemplo para ilustrar el método de integración tabular :

Evaluamos la integral ∫x sen(x) dx.

• Paso 1: Crea una tabla con dos columnas para u (función para diferenciar) y dv (función para integrar):

• Paso 2: Diferenciar la función en la columna u e integrar la función en la columna dv:

• Paso 3: Multiplica los términos en diagonal y alterna los signos:

(x)(-cos(x)) – (1)(-sin(x)) + (0)(cos(x)) = -x cos(x) + sin(x)

Entonces, el resultado de la integral ∫x pecado(x) dx es -x cos(x) + sin(x).

El método de integración tabular es especialmente útil cuando se trata de integrales que involucran funciones que se repiten tras la diferenciación o integración, lo que permite un enfoque sistemático y organizado para encontrar la antiderivada.

Aplicaciones de la Integración por Partes

La integración por partes tiene varias aplicaciones en el cálculo integral; se utiliza para encontrar la integración de la función donde fallan las técnicas de integración normales. Podemos encontrar fácilmente la integración de funciones inversas y logarítmicas utilizando el concepto de integración por partes.

Encontraremos la integración de la función logarítmica y la función arctan usando la regla de integración por parte,

Integración de la función logarítmica (log x)

La integración de la función logarítmica inversa (log x) se logra utilizando la fórmula de integración por parte. La integración se analiza a continuación,

∫ logx.dx = ∫ logx.1.dx

Tomando log x como primera función y 1 como segunda función.

Usando ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx. ∫1.dx – ∫ ((logx)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx.x -∫ (1/x .x).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = xlogx – ∫ 1.dx

⇒ ∫ logx.dx = x logx – x + C

Cuál es la integración requerida de la función logarítmica.

Integración de la función trigonométrica inversa (tan^-1X)

Integración de la función trigonométrica inversa (tan^-1x) se logra utilizando la fórmula de integración por partes. La integración se analiza a continuación,

∫ tan^-1x.dx = ∫tan^-1x.1.dx

tomando bronceado^-1x como primera función y 1 como segunda función.

Usando ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = tan^-1x.∫1.dx – ∫((tan^-1x)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = tan^-1X. x – ∫(1/(1 + x²).x).dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = x. tan^-1x – ∫ 2x/(2(1 + x²)).dx

⇒ ∫tan^-1x.dx = x. tan^-1x – ½.log(1 + x2) + C

¿Cuál es la integración requerida de la función trigonométrica inversa?

Aplicaciones de la integración parcial en la vida real

Algunas de las aplicaciones comunes de la integración parcial en la vida real son:

• Encontrar antiderivadas
  • En ingeniería y física, la integración parcial se utiliza para encontrar antiderivadas de funciones que representan cantidades físicas. Por ejemplo, en mecánica, se utiliza para derivar ecuaciones de movimiento a partir de las ecuaciones de fuerza y ​​aceleración.
• Producto Wallis
  • El producto de Wallis, una representación de producto infinito de pi, se puede derivar utilizando técnicas de integración parcial. Este producto tiene aplicaciones en campos como la teoría de números, la teoría de la probabilidad y el procesamiento de señales.
• Identidad de la función gamma
  • La función gamma, que extiende la función factorial a números complejos, tiene diversas aplicaciones en matemáticas, física e ingeniería. La integración parcial se utiliza para probar identidades que involucran la función gamma, que son cruciales en áreas como la teoría de la probabilidad, la mecánica estadística y la mecánica cuántica.
• Uso en análisis armónicos
  • La integración parcial juega un papel importante en el análisis armónico, particularmente en el análisis de Fourier. Se utiliza para derivar propiedades de las transformadas de Fourier, como el teorema de convolución y las propiedades de las series de Fourier. Estos resultados se aplican en campos como el procesamiento de señales, el análisis de imágenes y las telecomunicaciones.

Fórmulas de integración por partes

Podemos derivar la integración de varias funciones utilizando el concepto de integración por partes. Algunas de las fórmulas importantes derivadas de esta técnica son

• ∫ y^X(f(x) + f'(x)).dx = e^Xf(x) + C
• ∫√(x²+ un²).dx = ½ . x.√(x²+ un²)+ un²/2. Iniciar sesión|x + √(x²+ un²)| +C
• ∫√(x²- a²).dx =½ . x.√(x²- a²) - a²/2. iniciar sesión|x +√(x²- a²) | C
• ∫√(un²- X²).dx = ½ . x.√(a²- X²) + un²/2. sin^-1x/a + C

Ejemplos de integración por partes

Ejemplo 1: encontrar ∫ e ^X xdx.

Solución:

que meses son q3

Sea I = ∫ mi^Xxdx

Elegir u y v usando la regla ILATE

tu = x
v = mi^X

Diferenciandote

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

∫v dx = ∫e^Xdx = mi^X

Usando la fórmula de integración por partes,

⇒ yo = ∫ mi^Xxdx

⇒ Yo = x ∫e^Xdx − ∫1 (∫ mi^Xdx) dx

⇒ I = xe^X− y^X+C

⇒ yo = mi^X(x-1) + C

Ejemplo 2: Calcular ∫ x sen x dx.

Solución:

Sea I = ∫ x sen x dx

Elegir u y v usando la regla ILATE

tu = x
v = sin x

Diferenciandote

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

Usando la fórmula de integración por partes,

⇒ I = ∫ x sen x dx

⇒ I = x ∫sen x dx − ∫1 ∫(sen x dx) dx

⇒ I = − x cos x − ∫−cos x dx

⇒ I = − x cos x + sin x + C

Ejemplo 3: Encuentra ∫ pecado ⁻¹ xdx.

Solución:

Sea I= ∫ pecado⁻¹xdx

⇒ I = ∫ 1.sin⁻¹xdx

Elegir u y v usando la regla ILATE

u = sin⁻¹X
v = 1

Diferenciandote

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(sin⁻¹x )/dx

⇒ u'(x) = 1/√(1 − x²)

Usando la fórmula de integración por partes,

⇒ I = ∫ sin⁻¹xdx

⇒ I = sin⁻¹x ∫ 1 dx − ∫ 1/√(1 − x²) ∫(1 dx) dx

⇒ I = x sin⁻¹x − ∫( x/√(1 − x²) )dx

Sea t = 1 − x²

Diferenciando ambos lados

dt = −2x dx

⇒ −dt/2 = x dx

⇒ I = ∫ sin⁻¹x dx = x sin⁻¹x − ∫−(1/2√t ) dt

⇒ I = x sin⁻¹x + 1/2∫t^−1/2dt

⇒ I = x sin⁻¹x+t^1/2+C

⇒ I = x sin⁻¹x + √(1 − x²) + C

Problemas de práctica sobre integración por partes

1. Integrate xe ^X

2. Integrate x sin(x)

3. Integrar x ² en(x)

4. Integrar e ^X cos(x)

5. Integrar ln(x)

Preguntas frecuentes sobre integración por partes

¿Qué es la integración por partes?

La integración por partes es la técnica para encontrar la integración del producto de dos funciones donde las técnicas normales de integración fallan. La integración por la fórmula de la parte es la,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

¿Qué es la fórmula de integración por partes?

Para dos funciones f(x) y g(x), la fórmula de integración por partes es,

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

dónde f'(x) es la diferenciación de f(x).

¿Cómo derivar la fórmula de integración por partes?

La fórmula de integración por partes se deriva utilizando la regla de diferenciación del producto.

¿Por qué utilizamos la fórmula de integración por partes?

La fórmula de integración por parte se utiliza para encontrar la integración de la función cuando fallan las técnicas de diferenciación normales. Podemos encontrar la integración de funciones trigonométricas inversas y funciones logarítmicas usando la fórmula de integración por partes.

¿Cuál es la aplicación de la integración por partes?

La integración por parte tiene varias aplicaciones y su aplicación básica es que se utiliza para encontrar la integración de la función cuando la función se da como el producto de funciones que no se pueden simplificar más. Por ejemplo, ∫ f(x).g(x) dx se logra mediante Integración por partes.