Desviación Estándar es la medida de la dispersión de las estadísticas. La fórmula de desviación estándar se usa para encontrar la desviación del valor de los datos del valor medio, es decir, se usa para encontrar la dispersión de todos los valores en un conjunto de datos hasta el valor medio. Existen diferentes fórmulas de desviación estándar para calcular la desviación estándar de una variable aleatoria.
En este artículo aprenderemos sobre qué es la desviación estándar, las fórmulas de la desviación estándar, cómo calcular la desviación estándar y ejemplos de desviación estándar en detalle.
Tabla de contenidos
- ¿Qué es la desviación estándar?
- Fórmula de desviación estándar
- ¿Cómo calcular la desviación estándar?
- ¿Qué es la variación?
- Fórmula de varianza
- ¿Cómo calcular la varianza?
- Desviación estándar de datos no agrupados
- Desviación estándar de datos agrupados discretos
- Desviación estándar de datos agrupados continuos
- Desviación estándar de la distribución de probabilidad
- Desviación estándar de variables aleatorias
- Fórmula de desviación estándar Excel
- Estadísticas de fórmula de desviación estándar
¿Qué es la desviación estándar?
La desviación estándar se define como el grado de dispersión del punto de datos con respecto al valor medio del punto de datos. Nos dice cómo varía el valor de los puntos de datos con respecto al valor medio del punto de datos y nos informa sobre la variación del punto de datos en la muestra de datos.
La desviación estándar de una muestra determinada de un conjunto de datos también se define como la raíz cuadrada de la diferencia del conjunto de datos. Desviación media de los n valores (digamos x1, X2, X3, …, Xnorte) se calcula tomando la suma de los cuadrados de la diferencia de cada valor con respecto a la media, es decir
Desviación media = 1/n∑ i norte (X i - X) 2
La desviación media se utiliza para informarnos sobre la dispersión de los datos. El menor grado de desviación nos dice que las observaciones xi están cerca del valor medio y la depresión es baja, mientras que el mayor grado de desviación nos dice que las observaciones xi están lejos del valor medio y la dispersión es alta.
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Definición de desviación estándar
La desviación estándar es una medida utilizada en estadística para comprender cómo los puntos de datos de un conjunto se distribuyen desde el significar valor. Indica el alcance de la variación de los datos y muestra hasta qué punto los puntos de datos individuales se desvían del promedio.
Controlar: ¿Cómo encontrar la desviación estándar en estadística?
Fórmula de desviación estándar
La desviación estándar se utiliza para medir la dispersión de los datos estadísticos. Nos informa sobre cómo se distribuyen los datos estadísticos. Fórmula para calcular la desviación estándar se utiliza para encontrar la desviación de todos los conjuntos de datos de su posición media. Es posible que tenga preguntas sobre la desviación estándar, cómo calcular o cómo calcular una desviación estándar . Hay dos fórmulas de desviación estándar que se utilizan para encontrar la desviación estándar de cualquier conjunto de datos determinado. Ellos son,
- Fórmula de desviación estándar de la población
- Muestra de fórmula de desviación estándar
dónde,
- s es la desviación estándar de la población
- X i soy yo th observación
- x̄ es la media muestral
- N es el número de observaciones
dónde,
- σ es la desviación estándar de la población
- Xisoy yothObservación
- μ es la media poblacional
- N es el número de observaciones
Es evidente observar que ambas fórmulas tienen el mismo aspecto y solo tienen cambios de diapositiva en su denominador. El denominador en el caso de la muestra es n-1 pero en el caso del La población es N. Inicialmente el denominador en el desviación estándar de la muestra la fórmula tiene norte en su denominador pero el resultado de esta fórmula no fue apropiado. Entonces se hizo una corrección y la n se reemplaza con n-1 esta corrección se llama corrección de Bessel lo que a su vez produjo los resultados más apropiados.
Leer más: Diferencia entre varianza y desviación estándar
Fórmula para calcular la desviación estándar
La fórmula utilizada para calcular la desviación estándar se analiza en la siguiente imagen.
¿Cómo calcular la desviación estándar?
Generalmente, cuando hablamos de desviación estándar hablamos de desviación estándar de población . Los pasos para calcular la desviación estándar de un conjunto dado de valores son los siguientes:
Paso 1: Calcular la media de observación usando la fórmula.
(Media = Suma de Observaciones/Número de Observaciones)
Paso 2: Calcule las diferencias al cuadrado de los valores de los datos respecto de la media.
(Valor de los datos – Media)2
Paso 3: Calcular el promedio de diferencias al cuadrado.
(Varianza = Suma de Diferencias al Cuadrado / Número de Observaciones)
Paso 4: Calcule la raíz cuadrada de la varianza, esto da la desviación estándar.
(Desviación estándar = √Varianza)
¿Qué es la variación?
La varianza básicamente nos dice qué tan disperso está un conjunto de datos. Si todos los puntos de datos son iguales, la varianza es cero. Cualquier variación distinta de cero se considera positiva. . Una varianza baja significa que los puntos de datos están cerca del promedio (o media) y entre sí. Una varianza alta significa que los puntos de datos están separados del promedio y entre sí. En términos simples, la varianza es el promedio de qué tan lejos está cada punto de datos de la media, al cuadrado.
Diferencia entre varianza y desviación
| Aspecto | Diferencia | Desviación (desviación estándar) |
|---|---|---|
| Definición | Medida de propagación en un conjunto de datos. | Medida de distancia promedio de la media. |
| Cálculo | Promedio de diferencias al cuadrado de la media. | Raíz cuadrada de la varianza. |
| Símbolo | σ^2 (sigma al cuadrado) | σ (sigma) |
| Interpretación | Indica la desviación cuadrática promedio de los puntos de datos de la media. | Indica la distancia promedio de los puntos de datos a la media. |
Controlar:
- Diferencia entre varianza y desviación estándar
- Media, varianza y desviación estándar
Fórmula de variación
La fórmula para calcular la varianza de un conjunto de datos es la siguiente:
Varianza (σ^2) = Σ [(x – μ)^2] / N
Dónde:
- Σ denota suma (suma)
- x representa cada punto de datos individual
- μ (mu) es la media (promedio) del conjunto de datos
- N es el número total de puntos de datos
¿Cómo calcular la varianza?
Los pasos para calcular la varianza de un conjunto de datos:
Paso 1: Calcule la media (promedio):
Sume todos los valores del conjunto de datos y divídalos por el número total de valores. Esto te da la media (μ).
Media (μ) = (Suma de todos los valores) / (Número total de valores)
Paso 2: Encuentra las diferencias al cuadrado de la media:
Para cada valor del conjunto de datos, reste la media calculada en el primer paso de ese valor y luego eleve el resultado al cuadrado. Esto le da la diferencia al cuadrado para cada valor.
Diferencia al cuadrado para cada valor = (Valor – Media)^2
Paso 3: Calcule el promedio de las diferencias al cuadrado:
Sume todas las diferencias al cuadrado calculadas en el paso anterior y luego divida por el número total de valores en el conjunto de datos. Esto te da la varianza (σ^2).
Varianza (σ^2) = (Suma de todas las diferencias al cuadrado) / (Número total de valores)
Controlar: Varianza y desviación estándar
Desviación estándar de datos no agrupados
Método de media supuesta
Desviación estándar por método de media real
El método de desviación estándar por media real utiliza la fórmula de media básica para calcular la media de los datos dados. y utilizando este valor medio encontramos la desviación estándar de los valores de datos dados. Calculamos la media en este método con la fórmula,
μ = (Suma de Observaciones)/(Número de Observaciones)
y luego, la desviación estándar se calcula utilizando la fórmula de desviación estándar.
σ = √(∑ i norte (X i - X) 2 /norte)
Ejemplo: encontrar la desviación estándar del conjunto de datos. X = {2, 3, 4, 5, 6}
Solución:
Dado,
- norte = 5
- Xi= {2, 3, 4, 5, 6}
Sabemos,
Media(μ) = (Suma de observaciones)/(Número de observaciones)
⇒ µ = (2 + 3 + 4 + 5 + 6)/ 5
⇒ µ = 4
pag2= ∑inorte(Xi- X)2/norte
⇒p2= 1/norte[(2 – 4)2+ (3 – 4)2+ (4 – 4)2+ (5 – 4)2+ (6 – 4)2]
⇒p2= 10/5 = 2
Por tanto, σ = √(2) = 1,414
Desviación estándar según el método de la media supuesta
Para valores muy grandes de x, encontrar la media de los datos agrupados es una tarea tediosa, por lo que asumimos un valor arbitrario (A) como valor medio y luego calculamos la desviación estándar utilizando el método normal. Supongamos que para el grupo de n valores de datos ( x1, X2, X3, …, Xnorte), la media supuesta es A, entonces la desviación es,
d i =x i - A
Ahora, la fórmula media supuesta es,
σ = √(∑ i norte (d i ) 2 /norte)
Desviación estándar por método de desviación escalonada
También podemos calcular la desviación estándar de los datos agrupados utilizando el método de desviación escalonada. Como en el método anterior, también en este método elegimos algún valor de datos arbitrario como media supuesta (digamos A). Luego calculamos las desviaciones de todos los valores de datos (x 1 , X 2 , X 3 , …, X norte ), d i =x i - A
En el siguiente paso, Calculamos las desviaciones de paso (d') usando
d' = d/i
dónde ' i ' es un factor común de todos los valores 'd'
Entonces, la fórmula de la desviación estándar es,
σ = √[(∑(d’) 2 /n) – (∑d’n) 2 ] × yo
dónde ' norte 'es el número total de valores de datos
Desviación estándar de datos agrupados discretos
Primero, con los datos agrupados, hicimos una tabla de frecuencia y luego se realizaron los cálculos adicionales. Para datos agrupados discretos, la desviación estándar también se puede calcular utilizando tres métodos que son,
- Método de media real
- Método de media supuesta
- Método de desviación de paso
Fórmula de desviación estándar basada en distribución de frecuencia discreta
Para un conjunto de datos dado, si tiene n valores (x1, X2, X3, …, Xnorte) y la frecuencia correspondiente a ellos es (f1, f2, f3, …, fnorte) entonces su desviación estándar se calcula usando la fórmula,
σ = √(∑ i norte F i (X i - X) 2 /norte)
dónde,
- norte es la frecuencia total (n = f1+ f2+ f3+…+ fnorte)
- X es la media de los datos
Ejemplo: calcular la desviación estándar de los datos dados
Xi | Fi |
|---|---|
| 10 | 1 |
| 4 | 3 |
| 6 | 5 |
| 8 | 1 |
Solución:
Media (x̄) = ∑(fiXi)/∑(fi)
⇒ Media (μ) = (10×1 + 4×3 + 6×5 + 8×1)/(1+3+5+1)
⇒ Media (μ) = 60/10 = 6
norte = ∑(fi) = 1+3+5+1 = 10
| Xi | Fi | FiXi | (Xi- X) | (Xi- X)2 | Fi(Xi- X)2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 1 | 10 | 4 | 16 | 16 |
| 4 | 3 | 12 | -2 | 4 | 12 |
| 6 | 5 | 30 | 0 | 0 | 0 |
| 8 | 1 | 8 | 2 | 4 | 8 |
Ahora,
σ = √(∑ i norte F i (X i - X) 2 /norte)
⇒ σ = √[(16 + 12 + 0 +8)/10]
⇒ σ = √(3,6) = 1,897
Derivación estándar (σ) = 1,897
d i =x i - A
Ahora la fórmula para la desviación estándar mediante el método de la media supuesta es,
σ = √[(∑(f i d i ) 2 /n) – (∑f i d i /norte) 2 ]
dónde,
- ‘ F 'es la frecuencia del valor de los datos x
- ‘ norte ' es la frecuencia total [norte = ∑(f i )]
En el siguiente paso, Calculamos las desviaciones de paso (d') usando
d' = d/i
dónde ' i 'es factor común de todos' d ' valores
Entonces, la fórmula de la desviación estándar es,
σ = √[(∑(fd’) 2 /n) – (�’/n) 2 ] × yo
dónde ' norte 'es el número total de valores de datos
Desviación estándar de datos agrupados continuos
Para los datos agrupados continuos, podemos calcular fácilmente la desviación estándar usando las fórmulas de datos discretos reemplazando cada clase con su punto medio (como xi) y luego normalmente calculando las fórmulas.
El punto medio de cada clase se calcula mediante la fórmula,
X i (Punto medio) = (Límite superior + Límite inferior)/2
Por ejemplo, Calcule la desviación estándar de datos agrupados continuos como se indica en la tabla,
| Clase | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 |
|---|---|---|---|---|
Frecuencia(fi) | 2 | 4 | 2 | 2 |
Método de media real
- Método de media supuesta
- Método de desviación de paso
Podemos utilizar cualquiera de los métodos anteriores para encontrar la desviación estándar. Aquí encontramos la desviación estándar usando el método de la media real.
La solución a la pregunta anterior es,
| Clase | 5-15 | 15-25 | 25-35 | 35-45 |
|---|---|---|---|---|
| Xi | 10 | 20 | 30 | 40 |
Frecuencia(fi) | 2 | 4 | 2 | 2 |
Media (x̄) = ∑(fiXi)/∑(fi)
⇒ Media (μ) = (10×2 + 20×4 + 30×2 + 40×2)/(2+4+2+2)
⇒ Media (μ) = 240/10 = 24
norte = ∑(fi) = 2+4+2+2 = 10
| Xi | Fi | FiXi | (Xi- X) | (Xi- X)2 | Fi(Xi- X)2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 2 | 20 | 14 | 196 | 392 |
| 20 | 4 | 80 | -4 | 16 | 64 |
| 30 | 2 | 60 | 6 | 36 | 72 |
| 40 | 2 | 80 | 16 | 256 | 512 |
Ahora,
σ = √(∑ i norte F i (X i - X) 2 /norte)
⇒ σ = √[(392 + 64 + 72 +512)/10]
⇒ σ = √(104) = 10,198
Derivación estándar (σ) = 10,198
De manera similar, también se pueden utilizar otros métodos para encontrar la desviación estándar de datos agrupados continuos.
Controlar: Desviación estándar en series individuales
Desviación estándar de la distribución de probabilidad
La probabilidad de todos los resultados posibles es generalmente igual y hacemos muchas pruebas para encontrar la probabilidad experimental del experimento dado.
- Para una distribución normal, la media esperada es cero y la desviación estándar es 1.
- Para una distribución binomial, la desviación estándar viene dada por la fórmula,
σ = √(npq)
dónde,
- norte es el número de ensayos
- pag es la probabilidad de éxito del ensayo
- q es Probabilidad de fracaso del ensayo (q = 1 – p)
- Para una distribución de Poisson, la desviación estándar viene dada por
σ = √λt
dónde,
- yo es el número promedio de éxitos
- t se da un intervalo de tiempo
Desviación estándar de variables aleatorias
Variables aleatorias son los valores numéricos que denotan el posible resultado del experimento aleatorio en el espacio muestral. Calcular la desviación estándar de la variable aleatoria nos informa sobre la distribución de probabilidad de la variable aleatoria y el grado de diferencia con respecto al valor esperado.
Usamos X, Y y Z como función para representar las variables aleatorias. La probabilidad de la variable aleatoria se denota como P(X) y el valor esperado se denota con el símbolo μ.
Luego, la desviación estándar de la distribución de probabilidad se da mediante la fórmula,
σ = √(∑ (x i –m) 2 × P(X)/n)
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Leer más,
- Significar
- Modo
- Desviación media
Ejemplo de fórmula de desviación estándar
Ejemplo 1: Encuentre la desviación estándar de los siguientes datos,
Xi | 5 | 12 | 15 |
|---|---|---|---|
Fi | 2 | 4 | 3 |
Solución:
Primero haga la tabla de la siguiente manera, para que podamos calcular los valores adicionales fácilmente.
Xi | Fi | Xi×fi | Xi-m | (Xi-μ)2 | f×(Xi-metro)2 |
|---|---|---|---|---|---|
5 | 2 | 10 | -6.375 | 40.64 | 81.28 |
12 | 3 | 36 | 0.625 | 0.39 | 1.17 |
15 | 3 | 45 | 3.625 | 13.14 | 39.42 |
Total burlarse cuando sea | 8 | 91 |
|
| 121.87 |
Media (μ) = ∑(f i X i )/∑(f i )
⇒ Media (μ) = 91/8 = 11,375
σ = √(∑ i norte F i (X i –m) 2 /norte)
⇒ σ = √[(121,87)/(8)]
⇒ σ = √(15,234)
⇒ σ = 3,90
Derivación estándar (σ) = 3,90
Solución:
Clase | Xi | Fi | f×Xi | Xi-μ | (Xi-μ)2 | f×(Xi–m)2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
0-10 | 5 | 3 | 15 | -15 | 225 | 675 |
10-20 | 15 | 6 quien inventó la escuela | 90 | -5 | 25 | 150 |
20-30 | 25 | 4 | 100 | 5 | 25 | 100 |
30-40 | 35 | 2 | 70 | 15 | 225 | 450 |
40-50 | 45 | 1 | 45 | 25 | 625 | 625 |
Total |
| 16 | 320 |
|
| 2000 |
Media (μ) = ∑(fi xi)/∑(fi)
⇒ Media (μ) = 320/16 = 20
σ = √(∑ i norte F i (X i –m) 2 /norte)
⇒ σ = √[(2000)/(16)]
⇒ σ = √(125)
⇒ σ = 11,18
Derivación estándar (σ) = 11,18
Controlar: Métodos para calcular la desviación estándar en series discretas
Para una colección completa de fórmulas matemáticas en diferentes niveles de grado y conceptos, siga techcodeview.com.
Además, consulte:
- Media, mediana, moda
- Tendencia central
Fórmula de desviación estándar Excel
- Cálculo sencillo: utilice las funciones integradas de Excel
STDEV.P>para toda la población oSTDEV.S>para una muestra. - Guía paso a paso: ingrese su conjunto de datos en una sola columna, luego escriba
=STDEV.S(A1:A10)>(reemplace A1:A10 con su rango de datos) en una nueva celda para obtener la desviación estándar de una muestra. - Ayudas visuales: utilice las herramientas de gráficos de Excel para representar visualmente la variabilidad de los datos junto con la desviación estándar.
Controlar: Métodos de cálculo de la Desviación Estándar en series de distribución de frecuencia.
Estadísticas de fórmula de desviación estándar
- Concepto central: la desviación estándar mide la cantidad de variación o dispersión de un conjunto de valores.
- Información clave: una desviación estándar baja indica que los valores tienden a estar cerca de la media, mientras que una desviación estándar alta indica que los valores se distribuyen en un rango más amplio.
- Importancia estadística: se utiliza para determinar si las diferencias entre grupos se deben al azar, especialmente en pruebas de hipótesis y análisis de datos experimentales.
Conclusión: desviación estándar
La desviación estándar proporciona información valiosa sobre la variabilidad o consistencia dentro de un conjunto de datos. Se utiliza ampliamente en diversos campos, incluidos la estadística, las finanzas y la ciencia, para comprender la distribución de datos y tomar decisiones informadas basadas en el nivel de variabilidad presente.
Preguntas frecuentes sobre la desviación estándar
¿Qué es la desviación estándar en estadística?
La desviación estándar define la volatilidad en los valores de los datos con respecto al valor medio del conjunto de datos dado. Se define como la raíz cuadrada del cuadrado de la media de desviación.
¿Cómo calcular la desviación estándar?
La desviación estándar se calcula mediante la fórmula,
s =
¿Por qué se utiliza la desviación estándar? La desviación estándar se utiliza para una variedad de propósitos, algunos de sus usos importantes son,
- Se utiliza para encontrar la volatilidad en los valores de los datos con respecto al valor medio.
- Se utiliza para encontrar el rango de desviación de los datos.
- Predice la volatilidad máxima en el valor dado del conjunto de datos.
¿Cuál es la diferencia entre la desviación estándar y la varianza?
La varianza se calcula tomando el promedio de la desviación al cuadrado de la media, mientras que la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. La otra diferencia entre ellos está en su unidad. La desviación estándar se expresa en las mismas unidades que los valores originales, mientras que la varianza se expresa en unidades.2.
Método de media real
Método de media supuesta Método de desviación de paso ¿Puede la desviación estándar ser negativa?
No, la desviación estándar nunca puede ser negativa como podemos ver en la fórmula todos los términos que pueden ser negativos están al cuadrado.
¿Qué es la desviación estándar? ¿Explique con ejemplos?
La desviación estándar es la medida de la variación o dispersión de los valores dados del conjunto de datos.
Ejemplo: Para encontrar la media de 1, 2, 3 y 4
Media de datos = 13/4 = 3,25
Desviación estándar = √[(3.25-1)2 + (3-3.25)2 + (4-3.25)2 + (5-3.25)2]/4 = √2.06 = 1.43
¿Qué es la fórmula para la desviación estándar?
La fórmula de desviación estándar es,
Desviación estándar (σ) = √[ Σ(x – μ) 2 /N]
¿Cuándo la desviación estándar es 1?
La desviación estándar con 1 y media 0 se llama distribución normal estándar.
¿Qué es la desviación estándar de los primeros 10 números naturales?
La desviación estándar de los primeros 10 números naturales es 2,87
¿Qué es la desviación estándar de 40, 42 y 48?
La desviación estándar de 40, 42 y 48 es 3,399
¿Qué te dice la desviación estándar?
La desviación estándar es una medida de dispersión para una distribución normal. La desviación estándar nos indica la dispersión del conjunto de datos alrededor del valor medio del conjunto de datos.