Una matriz es una matriz rectangular de números, símbolos, puntos o caracteres, cada uno de los cuales pertenece a una fila y columna específicas. Una matriz se identifica por su orden, que se da en forma de filas ⨯ y columnas. Los números, símbolos, puntos o caracteres presentes dentro de una matriz se denominan elementos de una matriz. La ubicación de cada elemento viene dada por la fila y columna a la que pertenece.

Las matrices son importantes para los estudiantes de la clase 12 y también tienen gran importancia en matemáticas de ingeniería. En este artículo introductorio sobre matrices, aprenderemos sobre los tipos de matrices, la transpuesta de matrices, el rango de matrices, el adjunto y el inverso de matrices, los determinantes de matrices y mucho más en detalle.

Tabla de contenidos

• ¿Qué son las matrices?
• Orden de Matrix
• Ejemplos de matrices
• Operación sobre matrices
• Adición de matrices
• Multiplicación escalar de matrices
• Multiplicación de matrices
• Propiedades de la suma y multiplicación de matrices
• Transposición de matriz
• Rastro de matriz
• Tipos de matrices
• Determinante de una matriz
• Inversa de una matriz
• Resolver ecuaciones lineales usando matrices
• Rango de una matriz
• Valor propio y vectores propios de matrices

¿Qué son las matrices?

Las matrices son matrices rectangulares de números, símbolos o caracteres donde todos estos elementos están organizados en cada fila y columna. Una matriz es una colección de elementos dispuestos en diferentes ubicaciones.

Supongamos que los puntos están dispuestos en el espacio y cada uno de ellos pertenece a una ubicación específica y luego se forma una serie de puntos. Este conjunto de puntos se llama matriz. Los elementos contenidos en una matriz se denominan Elementos de la Matriz. Cada matriz tiene un número finito de filas y columnas y cada elemento pertenece únicamente a esas filas y columnas. El número de filas y columnas presentes en una matriz determina el orden de la matriz. Digamos que una matriz tiene 3 filas y 2 columnas, entonces el orden de la matriz se da como 3⨯2.

Definición de matrices

Una matriz rectangular de números, símbolos o caracteres se llama matriz. Las matrices se identifican por su orden. El orden de las matrices se da en forma de número de filas ⨯ número de columnas. Una matriz se representa como [P]_m⨯ndonde P es la matriz, m es el número de filas y n es el número de columnas. Las matrices en matemáticas son útiles para resolver numerosos problemas de ecuaciones lineales y muchos más.

Orden de Matrix

Orden de una matriz informa sobre el número de filas y columnas presentes en una matriz. El orden de una matriz se representa como el número de filas multiplicado por el número de columnas. Digamos que si una matriz tiene 4 filas y 5 columnas, entonces el orden de la matriz será 4⨯5. Recuerde siempre que el primer número en el orden significa el número de filas presentes en la matriz y el segundo número significa el número de columnas en la matriz.

Ejemplos de matrices

A continuación se mencionan ejemplos de matrices:

Ejemplo: egin{bmatrix} 1 & 2 3 &4 end{bmatrix}_{2 imes 2},egin{bmatrix} 1 & -1 & 2 3 & 2 & 6 4 & -2& 5\end{bmatrix}_{3 imes3}

Operación sobre matrices

Las matrices se someten a diversas operaciones matemáticas como suma, resta, multiplicación escalar y multiplicación. Estas operaciones se realizan entre los elementos de dos matrices para dar una matriz equivalente que contiene los elementos que se obtienen como resultado de la operación entre elementos de dos matrices. Aprendamos el operación de matrices .

Adición de matrices

En suma de matrices , los elementos de dos matrices se suman para producir una matriz que contiene elementos obtenidos como la suma de dos matrices. La suma de matrices se realiza entre dos matrices del mismo orden.

Ejemplo: Encuentre la suma de old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} y old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}}

Solución:

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Aquí tenemos A =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}y B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

A + B =egin{bmatrix} 1& 2 4& 5 end{bmatrix}+egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ A + B =egin{bmatrix} 1 + 2 & 2 + 3 4 + 6& 5 + 7 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 3 & 5 10& 12 end{bmatrix}

Resta de matrices

La resta de matrices es la diferencia entre los elementos de dos matrices del mismo orden para dar una matriz equivalente del mismo orden cuyos elementos son iguales a la diferencia de elementos de dos matrices. La resta de dos matrices se puede representar en términos de la suma de dos matrices. Digamos que tenemos que restar la matriz B de la matriz A y luego podemos escribir A – B. También podemos reescribirla como A + (-B). Resolvamos un ejemplo.

Ejemplo: restar old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} de old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix} }.

Supongamos A =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}y B =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}

A – B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}–egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}

⇒ A – B =egin{bmatrix} 2 – 1 & 3 – 2 6 – 4 & 7 – 5 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 1 & 1 2 & 2 end{bmatrix}

Multiplicación escalar de matrices

La multiplicación escalar de matrices se refiere a la multiplicación de cada término de una matriz por un término escalar. Si un escalar, vamos a 'k', se multiplica por una matriz, entonces la matriz equivalente contendrá elementos iguales al producto del escalar y el elemento de la matriz original. Veamos un ejemplo:

Ejemplo: multiplicar 3 por old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}}.

3[A] =egin{bmatrix} 3 imes1 & 3 imes 2 3 imes4& 3 imes5 end{bmatrix}

⇒ 3[A] =egin{bmatrix} 3 & 6 12& 15 end{bmatrix}

Multiplicación de matrices

En el multiplicación de matrices , se multiplican dos matrices para obtener una única matriz equivalente. La multiplicación se realiza de manera que los elementos de la fila de la primera matriz se multiplican con los elementos de las columnas de la segunda matriz y el producto de los elementos se suma para obtener un solo elemento de la matriz equivalente. Si una matriz [A]_i⨯jse multiplica por la matriz [B]_j⨯kentonces el producto se da como [AB]_i⨯k.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo: Encuentre el producto de old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} y old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}}

Solución:

Sea A =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}y B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ AB =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ AB =egin{bmatrix} 1 imes2+2 imes6 & 1 imes3+2 imes7 4 imes2+5 imes6& 4 imes3+5 imes7 end{bmatrix}

⇒AB = egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix}

Propiedades de la suma y multiplicación de matrices

Las propiedades seguidas de la multiplicación y suma de matrices se enumeran a continuación:

• A + B = B + A (Conmutativo)
• (A + B) + C = A + (B + C) (Asociativo)
• AB ≠ BA (No Conmutativo)
• (AB) C = A (BC) (Asociativo)
• A (B+C) = AB + AC (Distributivo)

Transposición de matriz

Transposición de matriz es básicamente la reorganización de elementos de fila en columna y elementos de columna en una fila para producir una matriz equivalente. Una matriz en la que los elementos de la fila de la matriz original están ordenados en columnas o viceversa se llama Matriz Transpuesta. La matriz transpuesta se representa como A^t. si A = [a_yo]_mxn, Entonces un^t= [b_yo]_nxmdonde b_yo= un_{desde el}.

Veamos un ejemplo:

Ejemplo: Encuentra la transpuesta de egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix} .

Solución:

Sea A =egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix}

⇒ Un^t=egin{bmatrix} 18 & 38 17& 47 end{bmatrix}

Propiedades de la transpuesta de una matriz

Las propiedades de la transpuesta de una matriz se mencionan a continuación:

• (A^t)^t= Un
• (A+B)^t= Un^t+B^t
• (AB)^t=B^tA^t

Rastro de matriz

Rastro de una matriz es la suma de los elementos diagonales principales de una matriz cuadrada. La traza de una matriz sólo se encuentra en el caso de una matriz cuadrada porque los elementos diagonales sólo existen en matrices cuadradas. Veamos un ejemplo.

Ejemplo: encontrar la traza de la matriz. egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Solución:

Supongamos A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Traza(A) = 1 + 5 + 9 = 15

Tipos de matrices

Según el número de filas y columnas presentes y las características especiales mostradas, las matrices se clasifican en varios tipos.

• Matriz de filas : Una Matriz en la que solo hay una fila y ninguna columna se llama Matriz de Filas.
• Matriz de columnas : Una Matriz en la que solo hay una columna y ahora una fila se llama Matriz de Columnas.
• Matriz horizontal: Una matriz en la que el número de filas es menor que el número de columnas se llama matriz horizontal.
• Matriz vertical: Una matriz en la que el número de columnas es menor que el número de filas se llama matriz vertical.
• Matriz rectangular : Una matriz en la que el número de filas y columnas no es igual se llama matriz rectangular.
• Matriz cuadrada : Una matriz en la que el número de filas y columnas es el mismo se llama matriz cuadrada.
• Matriz diagonal : Una matriz cuadrada en la que los elementos no diagonales son cero se llama matriz diagonal.
• Matriz cero o nula : Una matriz cuyos elementos son cero se llama Matriz Cero. Una matriz cero también se llama matriz nula.
• Unidad o Matriz de Identidad : Una matriz diagonal cuyos elementos diagonales son 1 se llama matriz unitaria. Una matriz unitaria también se llama matriz de identidad. Una matriz identidad está representada por I.
• matriz simétrica : Se dice que una matriz cuadrada es simétrica si la transpuesta de la matriz original es igual a su matriz original. es decir (Un^t) = A.
• Matriz sesgada y simétrica : Una matriz sesgada simétrica (o antisimétrica o antimétrica[1]) es una matriz cuadrada cuya transpuesta es igual a su negativo, es decir, (A^t) = -A.
• Matriz ortogonal: Se dice que una matriz es ortogonal si AA^t= Un^tA = yo
• Matriz idempotente: Se dice que una matriz es idempotente si A²= Un
• Matriz Involutiva: Se dice que una matriz es involutiva si A²= yo.
• Matriz triangular superior : Una matriz cuadrada en la que todos los elementos debajo de la diagonal son cero se conoce como matriz triangular superior.
• Matriz triangular inferior : Una matriz cuadrada en la que todos los elementos encima de la diagonal son cero se conoce como matriz triangular inferior.
• Matriz singular : Una matriz cuadrada se dice que es una matriz singular si su determinante es cero, es decir, |A|=0
• Matriz no singular: Una matriz cuadrada se dice que es no singular si su determinante es distinto de cero.

Nota: Cada matriz cuadrada se puede expresar únicamente como la suma de una matriz simétrica y una matriz sesgada-simétrica. Un = 1/2 (Un^t+ A) + 1/2 (A – A^t).

Aprende más, Tipos de matrices

Determinante de una matriz

Determinante de una matriz es un número asociado con esa matriz cuadrada. El determinante de una matriz sólo se puede calcular para una matriz cuadrada. Está representado por |A|. El determinante de una matriz se calcula sumando el producto de los elementos de una matriz por sus cofactores.

Determinante de una matriz

Veamos cómo encontrar el determinante de una matriz cuadrada.

Ejemplo 1: ¿Cómo encontrar el determinante de una matriz cuadrada 2⨯2?

Digamos que tenemos la matriz A =egin{bmatrix} a & b c & d end{bmatrix}

Entonces, el determinante de A es |A| = anuncio – antes de Cristo

Ejemplo 2: ¿Cómo encontrar el determinante de una matriz cuadrada de 3⨯3?

Digamos que tenemos una matriz 3⨯3 A =egin{bmatrix} a & b& c d & e & f g & h &i end{bmatrix}

Entonces |A| = un(-1)¹⁺¹egin{vmatrix} e& f h & i end{vmatrix}+b(-1)¹⁺²egin{vmatrix} d& f g & i end{vmatrix}+c(-1)¹⁺³egin{vmatrix} d& e g & h end{vmatrix}

Menor de una matriz

El menor de una matriz para un elemento viene dado por el determinante de una matriz obtenido después de eliminar la fila y la columna a la que pertenece el elemento en particular. El menor de Matrix está representado por Mij. Veamos un ejemplo.

Ejemplo: Encuentra el menor de la matriz.egin{bmatrix} a & b& c d & e & f g & h &i end{bmatrix}para el elemento 'a'.

El menor del elemento 'a' se da como M₁₂=egin{vmatrix} e& f h & i end{vmatrix}

Cofactor de matriz

El cofactor de una matriz se encuentra multiplicando el menor de la matriz para un elemento dado por (-1)i+j. El cofactor de una matriz se representa como Cij. Por tanto, la relación entre el menor y el cofactor de una matriz viene dada como Mij = (-1)^i+jMij. Si ordenamos todos los cofactores obtenidos para un elemento, obtenemos una matriz de cofactores dada como C =egin{bmatrix} c_{11} & c_{12}& c_{13} c_{21} & c_{22} & c_{23} c_{31} & c_{32} &c_{33} end{bmatrix}

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Aprende más , Menores y Cofactores

Adjunto de una matriz

El adjunto se calcula para una matriz cuadrada. Adjunto de una matriz es la transpuesta del cofactor de la matriz. El adjunto de una matriz se expresa así como adj(A) = C_tdonde C es la matriz de cofactores.

Digamos por ejemplo que tenemos matriz
A = egin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end{bmatrix}
entonces
mathrm{adj(A)} = egin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1 A_2 & B_2 & C_2 A_3 & B_3 & C_3 end{bmatrix}^T Rightarrow mathrm{adj(A)} =egin{bmatrix} A_1 & A_2 & A_3 B_1 & B_2 & B_3 C_1 & C_2 & C_3 end{bmatrix}
dónde,
egin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1 A_2 & B_2 & C_2 A_3 & B_3 & C_3 end{bmatrix}es cofactor de la Matriz A.

Propiedades del adjunto de la matriz

Las propiedades del adjunto de una matriz se mencionan a continuación:

• A(Adj A) = (Adj A) A = |A| I_norte
• Ajuste(AB) = (Ajuste B) . (Ajuste A)
• |Ajuste A| = |A|^n-1
• Adj(kA) = k^n-1Ajuste(A)
• |adj(adj(A))| =|A| ^ (n-1) ^ 2
• adj(adj(A)) = |A|^(n-2)×A
• Si A = [L,M,N] entonces adj(A) = [MN, LN, LM]
• adj(I) = I {donde I es la Matriz de Identidad}

Donde, n = número de filas = número de columnas

Inversa de una matriz

Se dice que una matriz es una inversa de la matriz 'A' si la matriz se eleva a la potencia -1, es decir, A-1. La inversa sólo se calcula para una matriz cuadrada cuyo determinante es distinto de cero. La fórmula para la inversa de una matriz se da como:

A^-1= adj(A)/det(A) = (1/|A|)(Adj A), donde |A| no debe ser igual a cero, lo que significa que la matriz A debe ser no singular.

Propiedades inversas de la matriz

• (A^-1)^-1= Un
• (AB)^-1=B^-1A^-1
• sólo una matriz cuadrada no singular puede tener inversa.

Operación elemental sobre matrices

Operaciones elementales sobre matrices se realizan para resolver la ecuación lineal y encontrar la inversa de una matriz. Las operaciones elementales son entre filas y entre columnas. Hay tres tipos de operaciones elementales realizadas para filas y columnas. Estas operaciones se mencionan a continuación:

Las operaciones elementales en filas incluyen:

• Intercambiando dos filas
• Multiplicar una fila por un número distinto de cero
• Agregando dos filas

Las operaciones elementales en columnas incluyen:

• Intercambiando dos columnas
• Multiplicar una columna por un número distinto de cero
• Agregar dos columnas

Matriz aumentada

Una matriz formada por la combinación de columnas de dos matrices se llama Matriz aumentada . Una matriz aumentada se utiliza para realizar operaciones elementales con renglones, resolver una ecuación lineal y encontrar la inversa de una matriz. Entendamos a través de un ejemplo.

Digamos que tenemos una matriz A =egin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end{bmatrix}, X =egin{bmatrix} x y z end{bmatrix}y B =egin{bmatrix} p_{1} p_{2} p_{3} end{bmatrix}luego se forma una matriz aumentada entre A y B. La matriz aumentada para A y B viene dada como

[A|B] =left[egin{array}lll a_1 & b_1 & c_1&p_1 a_2 & b_2 & c_2&p_2 a_3 & b_3 & c_3 &p_3end{array} ight]

Resolver ecuaciones lineales usando matrices

Las matrices se utilizan para resolver ecuaciones lineales. Para resolver ecuaciones lineales necesitamos hacer tres matrices. La primera matriz es de coeficientes, la segunda matriz es de variables y la tercera matriz es de constantes. Entendámoslo a través de un ejemplo.

Digamos que tenemos dos ecuaciones dadas como₁x+b₁y = c₁y un₂x+b₂y = c₂. En este caso, formaremos la primera matriz de coeficiente, digamos A =egin{bmatrix}a_{1} & b_{1}a_{2} & b_{2}end{bmatrix}, la segunda matriz es de variables digamos X =egin{bmatrix}xyend{bmatrix}y la tercera matriz es de coeficiente B =egin{bmatrix}c_{1}c_{2}end{bmatrix}entonces la ecuación matricial viene dada como

HACHA = B

⇒X = A ^-1 B

dónde,

• A es matriz de coeficientes
• X es matriz variable
• B es matriz constante

Por tanto, podemos ver que el valor de la variable X se puede calcular multiplicando la inversa de la matriz A por B y luego igualando el producto equivalente de dos matrices con la matriz X.

Rango de una matriz

El rango de la matriz viene dado por el número máximo de filas o columnas linealmente independientes de una matriz. El rango de una matriz es siempre menor o igual que el número total de filas o columnas presentes en una matriz. Una matriz cuadrada tiene filas o columnas linealmente independientes si la matriz no es singular, es decir, el determinante no es igual a cero. Dado que una matriz cero no tiene filas o columnas linealmente independientes, su rango es cero.

El rango de una matriz se puede calcular convirtiendo la matriz en forma escalonada por filas. En forma escalonada por filas, intentamos convertir todos los elementos que pertenecen a una fila a cero usando la operación elemental en fila. Después de la operación, el número total de filas que tienen al menos un elemento distinto de cero es el rango de la matriz. El rango de la matriz A está representado por ρ(A).

Valor propio y vectores propios de matrices

Los valores propios son el conjunto de escalares asociados a la ecuación lineal en forma matricial. Los valores propios también se denominan raíces características de las matrices. Los vectores que se forman utilizando el valor propio para indicar la dirección en esos puntos se denominan vectores propios. Los valores propios cambian la magnitud de los vectores propios. Como cualquier vector, el vector propio no cambia con la transformación lineal.

Para una matriz cuadrada A de orden 'n', se forma otra matriz cuadrada A - λI del mismo orden, donde I es la matriz de identidad y λ es el valor propio. El valor propio λ satisface una ecuación Av = λv donde v es un vector distinto de cero.

Aprender más acerca de Valores propios y vectores propios en nuestro sitio web.

Fórmulas de matrices

La fórmula básica de las matrices se analiza a continuación:

• A^-1= adj(A)/|A|
• A(adj A) = (adj A)A = I, donde I es una Matriz de Identidad
• |adj A| = |A|n-1 donde n es el orden de la matriz A
• adj(adj A) = |A|n-2A donde n es el orden de la matriz
• |adj(adj A)| = |A|^{(n-1)^2}
• adj(AB) = (adj B)(adj A)
• adj(A^pag) = (ajustar A)^pag
• adj(kA) = kn-1(adj A) donde k es cualquier número real
• adj(yo) = yo
• ajuste 0 = 0
• Si A es simétrico entonces adj(A) también es simétrico
• Si A es una matriz diagonal, entonces adj(A) también es una matriz diagonal
• Si A es una matriz triangular entonces adj(A) también es una matriz triangular
• Si A es una matriz singular, entonces |adj A| = 0
• (AB)^-1=B^-1A^-1

Leer más,

• Teoría de conjuntos
• Cálculo
• Trigonometría

Matrices JEE Preguntas principales

P1. El número de matrices cuadradas de orden 5 con entradas del conjunto {0, 1}, tales que la suma de todos los elementos de cada fila es 1 y la suma de todos los elementos de cada columna también es 1, es

P2. Sea A una matriz de 3 × 3 tal que |adj(adj(adj A))| = 12 ⁴ . Entonces |A ^-1 adj A| es igual a,

P3. Sean α y β el número real. Considere una matriz A de 3 × 3 tal que A ² = 3A + αI. si un ⁴ = 21A + βI, luego encuentra el valor de α y β.

P4. Sea A = [a]ij, aij ϵ Z ∩ [0, 4], 1 ≤ i, j ≤ 2. El número de la matriz A tal que la suma de todas las entradas sea un número primo p ϵ (2, 13) es

P5. Sea A una matriz n × n tal que |A| = 2. Si el determinante de la matriz Adj (2. Adj(2A ^-1 )) es 2 ⁸⁴ entonces n es igual a,

Matrices – Preguntas frecuentes

¿Qué es Matrix en matemáticas?

Las matrices en matemáticas son disposiciones de matrices rectangulares de números o variables que se ubican en filas y columnas específicas y se someten a diversas operaciones.

¿Cómo resolver matrices?

Resolvemos matrices para diferentes operaciones como suma, resta, multiplicación, transposición, etc. Estos métodos se analizan bajo el título Operaciones con matrices.

¿Cuáles son los diferentes tipos de matrices?

Los diferentes tipos de matrices son: matriz de filas, matriz de columnas, matriz horizontal, matriz vertical, matriz cuadrada, matriz diagonal, matriz nula, matriz identidad, matrices triangulares, matrices simétricas y simétricas sesgadas, matrices hermitianas y hermitianas sesgadas, etc. Estos tipos tienen discutido bajo el título 'Tipos de matrices'

¿Qué es el rango de una matriz?

El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes presentes en una matriz.

¿Qué es la transpuesta de una matriz?

La transposición de una matriz es la reordenación de elementos de filas en columnas y viceversa.

¿Cuál es la fórmula para encontrar la inversa de una matriz?

La inversa de la matriz se puede encontrar usando la fórmula A.^-1= (1/|A|)(ajustar A)

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¿Cuál es la condición para multiplicar dos matrices?

Dos matrices sólo se pueden multiplicar si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz.

¿Cómo encontrar el determinante de la matriz 2⨯2?

El determinante de una matriz 2⨯2 se puede encontrar restando el producto de los elementos diagonales de la matriz.

¿Cuál es la diagonal principal de una matriz?

La diagonal de una matriz cuadrada que va desde las entidades superiores izquierdas hasta las entidades inferiores derechas es la diagonal principal de una matriz.