El conocimiento de matrices es necesario para diversas ramas de las matemáticas. Las matrices son una de las herramientas más poderosas de las matemáticas. De las matrices surgen los Determinantes. Ahora vemos una de las propiedades del Determinante en este artículo.
En este artículo, vemos cómo encontrar el Adjunto de una matriz. Para saber sobre el Adjunto de una matriz tenemos que saber sobre el cofactor de una matriz.
Tabla de contenidos
- Adjunto de una definición de matriz
- Menor de una matriz
- Cofactor de una matriz
- Transposición de matriz
- ¿Cómo encontrar el adjunto de una matriz?
- Propiedades del adjunto de una matriz
- Encontrar la inversa usando el adjunto de una matriz
Adjunto de una definición de matriz
El adjunto de una matriz es la matriz transpuesta del cofactor de la matriz dada. Para cualquier matriz cuadrada A calcular su adj. matriz, primero tenemos que calcular la matriz cofactor de la matriz dada y luego encontrar su determinante. Para calcular la Ajunta de una matriz siga los siguientes pasos:
Paso 1 : Calcule el menor de todos los elementos de la matriz A dada.
Paso 2: Encuentre la matriz cofactor C usando los elementos menores.
Paso 3: Encuentre la matriz adjunta de A tomando la transpuesta de la matriz cofactor C.
Para cualquier matriz A de 2 × 2, la imagen de su adjunto se muestra a continuación,
Ahora aprendamos sobre el menor, el cofactor y la transpuesta de la matriz.
Menor de una matriz
El menor de la matriz es la matriz o el elemento que se calcula ocultando la fila y columna de la matriz del elemento para el cual se calcula el menor. Para la matriz de 2×2, el menor es el elemento que se muestra ocultando la fila y la columna del elemento para el cual se calcula el Menor.
Aprender más acerca de, Menores y Cofactores
Cofactor de una matriz
El cofactor es el número que obtenemos cuando eliminamos la columna y la fila de un elemento designado en una matriz. Significa tomar un elemento de una matriz y eliminar toda la fila y columna de ese elemento de la matriz, luego qué elementos están presentes en esa matriz, eso se llama cofactor.
Cómo encontrar el cofactor de una matriz
Para encontrar el cofactor de un elemento de una matriz, podemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1: Elimine toda la fila y columna que contiene el elemento bajo consideración.
Paso 2: Tome los elementos restantes tal como están en la matriz después del Paso 1.
Paso 3: Encuentre el determinante de la matriz formada en el Paso 2, que se llama menor del elemento.
Etapa 4: Ahora usa la fórmula para el cofactor del elemento a.yoes decir, (-1)i+jMETROyodonde Mij es el menor del elemento en ithfila y jthcolumna que ya está calculada en el Paso 3.
Paso 5: El resultado del paso 4 es el cofactor del elemento considerado y, de manera similar, podemos calcular el cofactor de cada elemento de la matriz para encontrar la matriz de cofactor de la matriz dada.
Ejemplo: encontrar la matriz de cofactores de
Solución:
La matriz dada es
A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix} Encontremos el cofactor del elemento en la primera fila, tercera columna, es decir, 3.
Paso 1: Elimine toda la fila y columna que contiene el elemento bajo consideración.
es decir.,
egin{bmatrix} sout{1} & sout{2} & sout{3} 7 & 4 & sout{5} 6 & 8 & sout{9} end{bmatrix} Paso 2: Tome los elementos restantes tal como están en la matriz después del Paso 1.
es decir.,
egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} Paso 3: Encuentre el determinante de la matriz formada en el Paso 2 que se llama menor del elemento.
Menor de 3 en
A = egin{vmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{vmatrix} = 56 – 24 = 32 Etapa 4: Ahora usa la fórmula para el cofactor del elemento a.yoes decir, (-1)i+jMETROyo
Cofactor del elemento 3 = (-1)1+3(32) = 32
Paso 5: Continúe el procedimiento para todos los elementos para encontrar la matriz cofactor de A,
es decir, Matriz de cofactores de A =
egin{bmatrix} -4&-33&32 6&9&4-2&16&-10 end{bmatrix}
Transposición de matriz
La transpuesta de una matriz es la matriz que se forma cambiando las filas y columnas de la matriz entre sí. La transpuesta de la matriz A se denota como Ato un‘. Si el orden de la matriz A es m×n, entonces el orden de la matriz transpuesta es n×m.
Aprender más acerca de, Transpuesta de una matriz
¿Cómo encontrar el adjunto de una matriz?
Para encontrar el adjunto de una matriz, primero tenemos que encontrar el cofactor de cada elemento y luego encontrar 2 pasos más. vea a continuación los pasos,
Paso 1: Encuentre el cofactor de cada elemento presente en la matriz.
Paso 2: Crea otra matriz con los cofactores como elementos.
Paso 3: Ahora encuentre la transpuesta de la matriz que viene después del Paso 2.
Cómo encontrar el adjunto de una matriz de 2 × 2
Consideremos un ejemplo para comprender el método para encontrar el adjunto de la matriz 2×2.
Ejemplo: encontrar el adjunto de
Solución:
La matriz dada es
ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix} Paso 1: Encuentra el cofactor de cada elemento.
Cofactor del elemento en A[1,1]: 5
Cofactor del elemento en A[1,2]: -4
Cofactor del elemento en A[2,1]: -3
Cofactor del elemento en A[2,2]: 2
Paso 2: Crear matriz a partir de cofactores
es decir.,
old{egin{bmatrix}5&-4 -3&2 end{bmatrix}} Paso 3: Transpuesta de la matriz cofactor,
old{Adj(A) = egin{bmatrix}5&-3 -4&2 end{bmatrix}}
Cómo encontrar el adjunto de una matriz de 3 × 3
Tomemos un ejemplo de una matriz de 3×3 para entender cómo calcular el adjunto de esa matriz.
Ejemplo: encontrar el adjunto de
Solución:
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} Paso 1: Encuentra el cofactor de cada elemento.
C_{12} = (-1)^{1+2} egin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix} = – (36 – 42) = 6 C_{13} = (-1)^{1+3} egin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix} = 3 – 28 = -25 C_{21} = (-1)^{2+1} egin{vmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{vmatrix} = – (18 – 24) = 6 C_{22} = (-1)^{2+2} egin{vmatrix} 1 & 3 7 & 9 end{vmatrix} = 9 – 21 = -12 C_{23} = (-1)^{2+3} egin{vmatrix} 1 & 2 7 & 8 end{vmatrix} = – (8 – 14) = 6 C_{31} = (-1)^{3+1} egin{vmatrix} 2 & 3 5 & 6 end{vmatrix} = 12 – 15 = -3 C_{32} = (-1)^{3+2} egin{vmatrix} 1 & 3 4 & 6 end{vmatrix} = – (6 – 12) = 6 C_{33} = (-1)^{3+3} egin{vmatrix} 1 & 2 4 & 5 end{vmatrix} = 5 – 8 = -3 Paso 2: Crear matriz a partir de cofactores
módulos de resorte
C = egin{bmatrix} -3 & 6 & -25 6 & -12 & 6 -3 & 6 & -3 end{bmatrix} Paso 3: Transponer la matriz C al adjunto de la matriz dada.
operatorname{adj}(A) = C^{T}= egin{bmatrix} -3 & 6 & -3 6 & -12 & 6 -25 & 6 & -3 end{bmatrix} Que es adjunto a la matriz A dada.
Propiedades del adjunto de una matriz
Los adjuntos de una matriz tienen varias propiedades, algunas de esas propiedades son las siguientes:
- A(Adj A) = (Adj A)A = |A| Inorte
- Ajuste(BA) = (Ajuste B) (Ajuste A)
- |Ajuste A| = |A|n-1
- Adj(kA) = kn-1(Ajuste A)
Encontrar la inversa usando el adjunto de una matriz
Encontrar la inversa es una de las aplicaciones importantes del Adjunto de la Matriz. Para encontrar la inversa de una Matriz usando Adjoint podemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1: Encuentra el determinante de la matriz .
Paso 2: Si el determinante es cero, entonces la matriz no es invertible y no existe inversa.
Paso 3: Si el determinante es distinto de cero, entonces encuentre el adjunto de la matriz.
Etapa 4: Divida el adjunto de la matriz por el determinante de una matriz.
Paso 5: El resultado del Paso 4 es la inversa de la Matriz dada.
Ejemplo: encontrar la inversa de
Solución:
matriz dada
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} |A| = 1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)
⇒ |A| = -3 -2(-6)+3(-3)
⇒ |A| = -3 + 12 – 9 = 0
Por tanto, la inversa de A no existe.
Aprender más acerca de, Inversa de una matriz
Ejemplos resueltos de adjunto de una matriz
Ejemplo 1: encontrar el adjunto de la matriz dada
Solución:
Paso 1: encontrar el cofactor de cada elemento
Para encontrar el cofactor de cada elemento, tenemos que eliminar la fila y la columna de cada elemento una por una y tomar los elementos actuales después de eliminarlos.
Cofactor de elementos en A[0,0] = 1 :
+egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} = +(4×9 – 8×5) = -4Cofactor de elementos en A[0,1] = 2 :
-egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} = -(7×9 – 6×5) = -33Cofactor de elementos en A[0,2] = 3 :
+egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} = +(7×8 – 6×4) = 32Cofactor de elementos en A[2,0] = 7 :
-egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} = -(2×9 – 8×3) = 6Cofactor de elementos en A[2,1] = 4 :
+egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} = +(1×9 – 6×3) = -9Cofactor de elementos en A[2,2] = 5 :
-egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} = -(1×8 – 6×2) = 4Cofactor de elementos en A[3,0] = 6 :
+egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} = +(2×5 – 4×3) = -2Cofactor de elementos en A[3,1] = 8 :
-egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} = -(1×5 – 7×3) = 16Cofactor de elementos en A[3,2] = 9 :
+egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} = +(1×4 – 7×2) = -10La matriz queda así con los cofactores:
A =egin{bmatrix} +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} end{bmatrix} La matriz de cofactor final:
A =egin{bmatrix} -4 & -33 & 32 6 & -9 & 4 -2 & 16 & -10 end{bmatrix} Paso 2: Encuentra la transpuesta de la matriz obtenida en el paso 1
adj(A) =egin{bmatrix} -4 & 6 & -2 -33 & -9 & 16 32 & 4 & -10 end{bmatrix} Este es el Adjunto de la matriz.
Ejemplo 2: encontrar el adjunto de la matriz dada
Solución:
Paso 1: encontrar el cofactor de cada elemento
Para encontrar el cofactor de cada elemento, tenemos que eliminar la fila y la columna de cada elemento una por una y tomar los elementos actuales después de eliminarlos.
Cofactor del elemento en A[0,0] = -1 :
+egin{bmatrix} 1 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = +(1×1 – (-2)x(-2)) = -3Cofactor de elementos en A[0,1] = -2 :
-egin{bmatrix} 2 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = -(2x1 – 2x(-2)) = -6Cofactor de elementos en A[0,2] = -2 :
+egin{bmatrix} 2 & 1 2 & -2 end{bmatrix} = +(2x(-2) – 2x1) = -6Cofactor de elementos en A[2,0] = 2 :
-egin{bmatrix} -2 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = -((-2)x1 – (-2)x(-2)) = 6Cofactor de elementos en A[2,1] = 1 :
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x1 – 2x(-2)) = 3Cofactor de elementos en A[2,2] = -2 :
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Cofactor de elementos en A[3,0] = 2 :
+egin{bmatrix} -2 & -2 1 & -2 end{bmatrix} = +((-2)x(-2) – 1x(-2)) = 6Cofactor de elementos en A[3,1] = -2 :
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Cofactor de elementos en A[3,2] = 1 :
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x(-1)- 2x(-2)) = 3La matriz de cofactor final:
A =egin{bmatrix} -3 & -6 & -6 6 & 3 & -6 6 & -6 & 3 end{bmatrix} Paso 2: Encuentre la transpuesta de la matriz obtenida en el Paso 1
adj(A) =egin{bmatrix} -3 & 6 & 6 -6 & 3 & -6 -6 & -6 & 3 end{bmatrix} Este es el Adjunto de la matriz.
Preguntas frecuentes sobre el adjunto de una matriz
¿Qué es el adjunto de una matriz?
El adjunto de una matriz cuadrada es la transpuesta de la matriz de cofactores de la matriz original. También se la conoce como matriz adjunta.
¿Cómo se calcula el adjunto de una matriz?
Para calcular el adjunto de una matriz, es necesario encontrar la matriz cofactor de la matriz dada y luego transponerla.
¿Cuál es el uso del adjunto de una matriz?
La aplicación o uso clave del adjunto de una matriz es encontrar la inversa de matrices invertibles.
¿Cuál es la relación entre la inversa de una matriz y su adjunto?
La inversa de una matriz se obtiene dividiendo su adjunto por su determinante. Es decir, si A es una matriz cuadrada y det(A) es distinto de cero, entonces
A -1 = adj(A)/det(A)
¿Qué es la matriz adjunta?
La matriz adjunta también se llama matriz adjunta. Es la transpuesta del cofactor de la matriz dada.
¿Cuál es la diferencia entre adjunto y transpuesto de una matriz?
El adjunto de una matriz es la transpuesta de la matriz de cofactores, mientras que la transpuesta de una matriz se obtiene intercambiando sus filas y columnas.
¿Es una matriz cuadrada siempre invertible?
No, las matrices cuadradas no siempre son invertibles. Una matriz cuadrada sólo es invertible si tiene un determinante distinto de cero.
¿Se puede calcular el adjunto de una matriz no cuadrada?
No, el adjunto de una matriz solo se puede calcular para una matriz cuadrada debido a la definición de la misma.