Los valores propios y los vectores propios son las cantidades escalares y vectoriales asociadas con Matriz utilizado para la transformación lineal. El vector que no cambia incluso después de aplicar transformaciones se llama vector propio y el valor escalar adjunto a los vectores propios se llama Valores propios . Los vectores propios son los vectores asociados con un conjunto de ecuaciones lineales. Para una matriz, los vectores propios también se denominan vectores característicos, y podemos encontrar el vector propio solo de matrices cuadradas. Los vectores propios son muy útiles para resolver diversos problemas de matrices y ecuaciones diferenciales.

En este artículo, aprenderemos sobre valores propios, vectores propios para matrices y otros con ejemplos.

Tabla de contenidos

• ¿Qué son los valores propios?
• ¿Qué son los vectores propios?
• Ecuación del vector propio
• ¿Qué son los valores propios y los vectores propios?
• ¿Cómo encontrar un vector propio?
• Tipos de vectores propios
• Vector propio derecho
• Vector propio izquierdo
• Vectores propios de una matriz cuadrada
• Vector propio de una matriz de 2 × 2
• Vector propio de una matriz de 3 × 3
• Espacio propio
• Aplicaciones de los valores propios
• Diagonalizar matriz utilizando valores propios y vectores propios
• Ejemplos resueltos sobre vectores propios
• Preguntas frecuentes sobre vectores propios

¿Qué son los valores propios?

Los valores propios son los valores escalares asociados con los vectores propios en transformación lineal. La palabra 'Eigen' es de origen alemán y significa 'característica'. Por tanto, estos son los valores característicos que indican el factor por el cual los vectores propios se estiran en su dirección. No implica el cambio en la dirección del vector excepto cuando el valor propio es negativo. Cuando el valor propio es negativo, la dirección simplemente se invierte. La ecuación del valor propio está dada por

Apagado = λv

Dónde,

• A es la matriz,
• v es un vector propio asociado, y
• λ es valor propio escalar.

¿Qué son los vectores propios?

Los vectores propios para matrices cuadradas se definen como valores vectoriales distintos de cero que, cuando se multiplican por las matrices cuadradas, dan el múltiplo escalador del vector, es decir, definimos un vector propio para la matriz A como v si especifica la condición, Apagado = λv

El múltiplo escalador λ en el caso anterior se denomina valor propio de la matriz cuadrada. Siempre tenemos que encontrar primero los valores propios de la matriz cuadrada antes de encontrar los vectores propios de la matriz.

Para cualquier matriz cuadrada, A de orden n × n, el vector propio es la matriz columna de orden n × 1. Si encontramos el vector propio de la matriz A por, Av = λv, v en esto se llama vector propio derecho de la matriz A. y siempre se multiplica hacia el lado derecho ya que la multiplicación de matrices no es de naturaleza conmutativa. En general, cuando encontramos el vector propio siempre es el vector propio correcto.

También podemos encontrar el vector propio izquierdo de la matriz cuadrada A usando la relación, vA = vl

Aquí, v es el vector propio izquierdo y siempre se multiplica hacia el lado izquierdo. Si la matriz A es de orden n × n, entonces v es una matriz de columnas de orden 1 × n.

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Ecuación del vector propio

La ecuación de vector propio es la ecuación que se utiliza para encontrar el vector propio de cualquier matriz cuadrada. La ecuación del vector propio es,

Apagado = λv

Dónde,

• A es la matriz cuadrada dada,
• en es el vector propio de la matriz A, y
• yo es cualquier escalador múltiplo.

¿Qué son los valores propios y los vectores propios?

Si A es un matriz cuadrada de orden n × n entonces podemos encontrar fácilmente el vector propio de la matriz cuadrada siguiendo el método que se analiza a continuación,

Sabemos que el vector propio se da usando la ecuación Av = λv, para la matriz identidad de orden igual que el orden de A, es decir, n × n usamos la siguiente ecuación,

(A-λI)v = 0

Resolviendo la ecuación anterior obtenemos varios valores de λ como λ₁, yo₂, ..., yo_norteestos valores se denominan valores propios y obtenemos vectores propios individuales relacionados con cada valor propio.

Simplificando la ecuación anterior obtenemos v, que es una matriz de columnas de orden n × 1 y v se escribe como,

v = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}

¿Cómo encontrar un vector propio?

El vector propio de la siguiente matriz cuadrada se puede calcular fácilmente siguiendo los pasos siguientes:

Paso 1: Encuentre los valores propios de la matriz A, usando la ecuación det |(A – λI| =0, donde I es la matriz identidad de orden similar a la matriz A

Paso 2: El valor obtenido en el Paso 2 se denomina λ₁, yo₂, yo₃….

Paso 3: Encuentre el vector propio (X) asociado con el valor propio λ₁usando la ecuación, (A – λ₁Yo) X = 0

Etapa 4: Repita el paso 3 para encontrar el vector propio asociado con otros valores propios restantes λ₂, yo₃….

Siguiendo estos pasos se obtiene el vector propio relacionado con la matriz cuadrada dada.

Tipos de vectores propios

Los vectores propios calculados para la matriz cuadrada son de dos tipos que son,

• Vector propio derecho
• Vector propio izquierdo

Vector propio derecho

El vector propio que se multiplica por la matriz cuadrada dada del lado derecho se llama vector propio derecho. Se calcula utilizando la siguiente ecuación,

DE _R = λV _R

Dónde,

• A se da una matriz cuadrada de orden n×n,
• yo es uno de los valores propios, y
• EN _R es la matriz del vector columna

El valor de V._Res,

old{V_{R} = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}}

Vector propio izquierdo

El vector propio que se multiplica por la matriz cuadrada dada del lado izquierdo se llama vector propio izquierdo. Se calcula utilizando la siguiente ecuación,

EN _l A = V _l yo

Dónde,

• A se da una matriz cuadrada de orden n×n,
• yo es uno de los valores propios, y
• EN _l es la matriz vectorial fila.

El valor de V._les,

EN _l = [v ₁ , en ₂ , en ₃ ,…, en _norte ]

Vectores propios de una matriz cuadrada

Podemos encontrar fácilmente el vector propio de matrices cuadradas de orden n × n. Ahora, encontremos las siguientes matrices cuadradas:

• Vectores propios de una matriz de 2 × 2
• Vectores propios de una matriz de 3 × 3.

Vector propio de una matriz de 2 × 2

El vector propio de la matriz 2 × 2 se puede calcular utilizando los pasos mencionados anteriormente. Un ejemplo de lo mismo es,

Ejemplo: Encuentre los valores propios y el vector propio para la matriz A = egin{bmatrix} 1 & 2 5& 4 end{bmatrix}

Solución:

Si los valores propios se representan usando λ y el vector propio se representa como v =egin{bmatrix} a end{bmatrix}

Luego el vector propio se calcula usando la ecuación,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}1 & 2 5& 4end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 0& 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 1 – λ& 2 5& 4 – λ end{bmatrix} = 0

(1-λ)(4-λ) – 2,5 = 0

⇒ 4 – λ – 4λ + λ²– 10 = 0

⇒l²-5l -6 = 0

⇒l²-6λ + λ – 6 = 0

⇒ λ(λ-6) + 1(λ-6) = 0

⇒ (λ-6)(λ+1) = 0

λ = 6 y λ = -1

Por tanto, los valores propios son 6 y -1. Entonces los respectivos vectores propios son,

Para λ = 6

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – 6& 2 5& 4 – 6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-5& 2 5& -2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ -5a + 2b = 0

⇒ 5a – 2b = 0

Simplificando la ecuación anterior obtenemos,

5a=2b

El vector propio requerido es,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}

Para λ = -1

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – (-1)& 2 5& 4 – (-1)end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2 5& 5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ 2a + 2b = 0

⇒ 5a + 5b = 0

simplificando la ecuación anterior obtenemos,

a = -b

El vector propio requerido es,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix} 1-1end{bmatrix}

Entonces los vectores propios de la matriz 2 × 2 dada sonegin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}, egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}1-1end{bmatrix}

Estos son dos posibles vectores propios, pero muchos de los múltiplos correspondientes de estos vectores propios también pueden considerarse como otros posibles vectores propios.

Vector propio de una matriz de 3 × 3

El vector propio de la matriz 3 × 3 se puede calcular utilizando los pasos mencionados anteriormente. Un ejemplo de lo mismo es,

Ejemplo: Encuentre los valores propios y el vector propio para la matriz A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Solución:

Si los valores propios se representan usando λ y el vector propio se representa como v =egin{bmatrix} ac end{bmatrix}

Luego el vector propio se calcula usando la ecuación,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 2 – λ & 2 & 2 2 & 2 – λ & 2 2 & 2 & 2- λend{bmatrix} = 0

Simplificando el determinante anterior obtenemos

⇒ (2-l)(l)²) + 2 minutos²+ 2 minutos²= 0

⇒ (-l³) + 6 minutos²= 0

⇒l²(6 – λ) = 0

⇒ λ = 0, λ = 6

Para λ = 0

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 0& 2& 2 2& 2 – 0&22 & 2 & 2-0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2& 2 2& 2 &22 & 2 & 2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Simplificando la ecuación anterior obtenemos

2a + 2b + 2c = 0

⇒ 2(a+b+c) = 0

⇒ a+b+c = 0

Sea b = k₁y c = k₂

a+k₁+k₂= 0

a = -(k₁+k₂)

Por tanto, el vector propio es,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-(k_{1}+k_{2}) k_{1}k_{2}end{bmatrix}

tomando k₁= 1 y k₂= 0

el vector propio es,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 1end{bmatrix}

tomando k₁= 0 y k₂= 1

el vector propio es,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 01end{bmatrix}

Para λ = 6

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 6& 2& 2 2& 2 -6&22 & 2 & 2-6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-4& 2& 2 2& -4 &22 & 2 & -4end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Simplificando la ecuación anterior obtenemos,

-4a +2b +2c = 0

tupla java

⇒ 2 (-2a + b + c) = 0

⇒ -2a = – (b + c)

⇒ 2a = b + c

Sea b = k₁y c = k₂, y tomando k₁=k₂= 1,

obtenemos,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Por tanto, el vector propio es,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Espacio propio

Definimos el espacio propio de una matriz como el conjunto de todos los vectores propios de la matriz. Todos los vectores en el espacio propio son linealmente independientes entre sí.

Para encontrar el espacio propio de la matriz tenemos que seguir los siguientes pasos

Paso 1: Encuentre todos los valores propios de la matriz cuadrada dada.

Paso 2: Para cada valor propio encuentre el vector propio correspondiente.

Paso 3: Tome el conjunto de todos los vectores propios (digamos A). El conjunto resultante así formado se denomina espacio propio del siguiente vector.

Del ejemplo anterior de la matriz A de 3 × 3 dada, el espacio propio así formado es {egin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix} }

Aplicaciones de los valores propios

Algunas de las aplicaciones comunes de los valores propios son:

Álgebra lineal

Diagonalización: los valores propios se utilizan para diagonalizar matrices, simplificando los cálculos y resolviendo sistemas lineales de manera más eficiente.

Exponenciación de matrices: los valores propios desempeñan un papel crucial en el cálculo de la exponenciación de una matriz.

Mecánica cuántica

Ecuación de Schrödinger: Los valores propios del operador hamiltoniano corresponden a los niveles de energía de los sistemas cuánticos, proporcionando información sobre posibles estados.

Vibraciones y Análisis Estructural:

Vibraciones mecánicas: los valores propios representan las frecuencias naturales de los sistemas vibratorios. En el análisis estructural, ayudan a comprender la estabilidad y el comportamiento de las estructuras.

Estadísticas

Matriz de covarianza: en estadística multivariante, los valores propios se utilizan en el análisis de matrices de covarianza, proporcionando información sobre la distribución y orientación de los datos.

Gráficos de computadora

Análisis de componentes principales (PCA): los valores propios se utilizan en PCA para encontrar los componentes principales de un conjunto de datos, reduciendo la dimensionalidad y conservando información esencial.

Sistemas de control

Estabilidad del sistema: Los valores propios de la matriz del sistema son críticos para determinar la estabilidad de un sistema de control. El análisis de estabilidad ayuda a garantizar que la respuesta del sistema sea limitada.

Diagonalizar matriz utilizando valores propios y vectores propios

Los valores propios y los vectores propios se utilizan para encontrar matrices diagonales. A matriz diagonal es una matriz que se puede escribir como,

A=XDX ^-1

Dónde,

• D es la matriz que se forma reemplazando los unos en la matriz identidad por valores propios, y
• X es la matriz formada por vectores propios.

Podemos entender el concepto de matriz diagonal tomando el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Diagonalizar la matriz A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Solución:

Ya hemos resuelto los valores propios y los vectores propios de A. = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Los valores propios de A son λ = 0, λ = 0 y λ = -8

Los vectores propios de A sonegin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix}

De este modo,

re =egin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8end{bmatrix}

X=egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Podemos encontrar fácilmente la inversa de X como,

X^-1=egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Leer más,

• Operación elemental sobre matrices
• Matriz de identidad
• Inversa de una matriz

Ejemplos resueltos sobre vectores propios

Ejemplo 1: encontrar los vectores propios de la matriz A = egin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1end{bmatrix}

Solución:

Los valores propios de la matriz se encuentran usando,

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}1-λ & 1 & 0 & 1-λ & 1 & 0 & 1-λend{bmatrix} = 0

(1-l)³= 0

Por tanto, los valores propios son,

λ = 1, 1, 1

Como todos los valores propios son iguales, tenemos tres vectores propios idénticos. Encontraremos los vectores propios para λ = 1, usando (A – λI)v = O

egin{bmatrix}1-1 & 1 & 0 & 1-1 & 1 & 0 & 1-1end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

egin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

resolviendo la ecuación anterior obtenemos,

• a = k
• y = 0
• z = 0

Entonces el vector propio es,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix}= egin{bmatrix}k 0end{bmatrix} = kegin{bmatrix}1 0end{bmatrix}

Ejemplo 2: Encuentre los vectores propios de la matriz A = egin{bmatrix}5 & 0 & 5 end{bmatrix}

Solución:

Los valores propios de la matriz se encuentran usando,

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}5-λ & 0 & 5-λ end{bmatrix} = 0

(5-l)²= 0

Por tanto, los valores propios son,

λ = 5,5

Como todos los valores propios son iguales, tenemos tres vectores propios idénticos. Encontraremos los vectores propios para λ = 1, usando

(A – λI)v = O

egin{bmatrix}5-5 & 0 0 & 5-5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

Simplemente lo anterior obtenemos,

• a = 1, b = 0
• a = 0, b = 1

Entonces el vector propio es,

egin{bmatrix}a bend{bmatrix}= egin{bmatrix}1 0end{bmatrix} , egin{bmatrix}0 1end{bmatrix}

Preguntas frecuentes sobre vectores propios

¿Qué son los vectores propios?

Definimos el vector propio de cualquier matriz como el vector que al multiplicarse con la matriz da como resultado el múltiplo escalador de la matriz.

¿Cómo encontrar vectores propios?

El vector propio de cualquier matriz A se denota por en . El vector propio de la matriz se calcula encontrando primero el valor propio de la matriz.

• El valor propio de la matriz se encuentra usando la fórmula |A-λI| = 0 donde λ da los valores propios.
• Después de encontrar el valor propio, encontramos el vector propio mediante la fórmula Av = λv, donde v da el vector propio.

¿Cuál es la diferencia entre valor propio y vector propio?

Para cualquier matriz cuadrada A, los valores propios están representados por λ y se calculan mediante la fórmula |A – λI| = 0. Después de encontrar el valor propio encontramos el vector propio por, Av = λv.

¿Qué es la Matriz Diagonalizable?

Cualquier matriz que pueda expresarse como producto de las tres matrices como XDX^-1es una matriz diagonalizable aquí D se llama matriz diagonal.

¿Son iguales los valores propios y los vectores propios?

No, los valores propios y los vectores propios no son lo mismo. Los valores propios son el escalador que se utiliza para encontrar vectores propios, mientras que los vectores propios son los vectores que se utilizan para encontrar transformaciones de vectores matriciales.

¿Puede el vector propio ser un vector cero?

Podemos hacer que los valores propios sean cero, pero el vector propio nunca puede ser un vector cero.

¿Qué es la fórmula de vectores propios?

El vector propio de cualquier matriz se calcula mediante la fórmula,

Apagado = λv

dónde,
yo es el valor propio
en es el vector propio