El inversa de matriz es la matriz que al multiplicarse con la matriz original da como resultado una matriz identidad. Para cualquier matriz A, su inversa se denota como A-1.
Aprendamos sobre Matrix Inverse en detalle, incluida su definición, fórmula, métodos sobre cómo encontrar la inversa de una matriz y ejemplos.
Tabla de contenidos
- Matriz inversa
- Términos relacionados con la matriz inversa
- ¿Cómo encontrar la inversa de la matriz?
- Inversa de una fórmula matricial
- Método de matriz inversa
- Ejemplo de inversa de matriz 2 × 2
- Determinante de la matriz inversa
- Propiedades de la inversa de la matriz
- Ejemplos resueltos de matrices inversas
Matriz inversa
La inversa de una matriz es otra matriz que, cuando se multiplica por la matriz dada, da como resultado identidad multiplicativa .
Para la matriz A y su inversa de A-1, se mantiene la propiedad de identidad.
AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO -1 = Un -1 A = yo
dónde I es la matriz identidad.
Términos relacionados con la matriz inversa
La terminología que se enumera a continuación puede ayudarle a comprender la inversa de una matriz de forma más clara y sencilla.
| Términos | Definición | Fórmula/Proceso | Ejemplo con Matriz A |
|---|---|---|---|
| Menor | El menor de un elemento en una matriz es el determinante de la matriz formada al eliminar la fila y la columna de ese elemento. | Para el elemento ayo, elimine la i-ésima fila y la j-ésima columna para formar una nueva matriz y encuentre su determinante. | menor de a 11 es el determinante de |
| cofactor | El cofactor de un elemento es el menor de ese elemento multiplicado por (-1) i+j , donde i y j son los índices de fila y columna del elemento. | Cofactor de unyo= (-1)i+jmenor de unyo | Cofactor de a 11 = (-1) 1+1 × Menor de a 11 = Menor de a 11 |
| Determinante | El determinante de una matriz se calcula como la suma de los productos de los elementos de cualquier fila o columna y sus respectivos cofactores. | Para una fila (o columna), suma el producto de cada elemento y su cofactor. | Determinante de A = a 11 × Cofactor de a 11 + a 12 × Cofactor de a 12 + a 13 × Cofactor de a 13 . |
| Diputado | El adjunto de una matriz es la transpuesta de su matriz cofactor. | Cree una matriz de cofactores para cada elemento de la matriz original y luego transpóngala. | Adjunto de A es la transpuesta de la matriz formada por los cofactores de todos los elementos en A. |
Matriz singular
Una matriz cuyo valor del determinante es cero se llama matriz singular, es decir, cualquier matriz A se llama matriz singular si |A| = 0. La inversa de una matriz singular no existe.
Matriz no singular
Una matriz cuyo valor del determinante es distinto de cero se llama matriz no singular, es decir, cualquier matriz A se llama matriz no singular si |A| ≠ 0. Existe la inversa de una matriz no singular.
Matriz de identidad
Una matriz cuadrada en la que todos los elementos son cero excepto los elementos diagonales principales se llama matriz identidad. Se representa mediante I. Es el elemento identidad de la matriz como para cualquier matriz A,
A×I = A
Un ejemplo de una matriz de identidad es,
I3×3=
Esta es una matriz identidad de orden 3×3.
Leer más :
- Matriz de identidad
¿Cómo encontrar la inversa de la matriz?
Hay dos formas de encontrar la inversa de una matriz en matemáticas:
- Usando la fórmula matricial
- Usando métodos de matriz inversa
Inversa de una fórmula matricial
La inversa de la matriz A, es decir A-1se calcula utilizando la inversa de la fórmula matricial, que implica dividir el adjunto de una matriz por su determinante.
Inversa de una fórmula matricial
A^{-1}=frac{ ext{Adj A}}
dónde,
- adj A = adjunto de la matriz A, y
- |A| = determinante de la matriz A.
Nota : Esta fórmula sólo funciona en matrices cuadradas.
Para encontrar la inversa de una matriz usando la fórmula de la inversa de una matriz, siga estos pasos.
Paso 1: Determina los menores de todos los elementos A.
Paso 2: Luego, calcule los cofactores de todos los elementos y construya la matriz de cofactores sustituyendo los elementos de A con sus respectivos cofactores.
Paso 3: Tome la transpuesta de la matriz cofactor de A para encontrar su adjunto (escrito como adj A).
Etapa 4: Multiplicar adj A por el recíproco del determinante de A.
Ahora, para cualquier matriz cuadrada A no singular,
A -1 = 1 / |A| × Ajuste (A)
Ejemplo: Encuentra la inversa de la matriz.
Tenemos,
A=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight] Encuentre el adjunto de la matriz A calculando los cofactores de cada elemento y luego obteniendo la transpuesta de la matriz de cofactores.
adj A =
left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight] Encuentre el valor del determinante de la matriz.
|A| = 4(18–25) – 3(54–5) + 8(30–2)
⇒ |A| = 49
Entonces, la inversa de la matriz es,
A–1=
frac{1}{49}left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight] ⇒ Un–1=
left[egin{array}{ccc}- frac{1}{7} & frac{13}{49} & – frac{1}{49}-1 & frac{4}{7} & frac{4}{7}\frac{4}{7} & – frac{17}{49} & – frac{10}{49}end{array} ight]
Método de matriz inversa
Hay dos métodos de matriz inversa para encontrar la matriz inversa:
- Método determinante
- Método de transformación elemental
Método 1: método determinante
El método más importante para encontrar la inversa de la matriz es utilizar un determinante.
Java no
La matriz inversa también se encuentra usando la siguiente ecuación:
A -1 = adj(A) / det(A)
dónde,
- adj(A) es el adjunto de una matriz A, y
- eso(A) es el determinante de una matriz A.
Para encontrar el adjunto de una matriz A se requiere la matriz cofactor de A. Entonces el adjunto (A) es la transpuesta de la matriz cofactor de A, es decir,
adj (A) = [C yo ] t
- Para el cofactor de una matriz, es decir, Cyo, podemos utilizar la siguiente fórmula:
C yo = (-1) i+j eso (M yo )
dónde METRO yo se refiere a (yo, j) th matriz menor cuando i th fila y j th Se elimina la columna.
Método 2: Método de transformación elemental
Siga los pasos a continuación para encontrar una matriz inversa mediante el método de transformación elemental.
Paso 1 : Escriba la matriz dada como A = IA, donde I es la matriz identidad del mismo orden que A.
Paso 2 : Use la secuencia de operaciones de fila u operaciones de columna hasta que se logre la matriz de identidad en el LHS. También use operaciones elementales similares en el RHS de modo que obtengamos I = BA. Por tanto, la matriz B en RHS es la inversa de la matriz A.
Paso 3 : Asegúrese de usar la operación de fila o la operación de columna mientras realizamos operaciones elementales.
Podemos encontrar fácilmente la inversa de la Matriz 2 × 2 usando la operación elemental. Entendamos esto con la ayuda de un ejemplo.
Ejemplo: Encuentra el inverso del 2 × 2, A =
Solución:
Dado:
A = IA
egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} Ahora, R.1⇢R1/2
egin{bmatrix}1 & 1/2 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~A R2⇢R2–R1
egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 3/2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 -1/2 & 1end{bmatrix}~×~A R2⇢R2× 2/3
egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0-1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A R1⇢R1–R2/2
egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A Por tanto, la inversa de la matriz A =
egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} esA-1=
egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}
Ejemplo de inversa de matriz 2 × 2
La inversa de la matriz 2 × 2 también se puede calcular utilizando el método abreviado, además del método discutido anteriormente. Consideremos un ejemplo para comprender el método abreviado para calcular la inversa de una matriz 2 × 2.
Para una matriz dada A =
egin{bmatrix}a & b c & dend{bmatrix} Lo sabemos, |A| = (anuncio – antes de Cristo)
y adj A =
egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix} luego usando la fórmula para la inversa
A-1= (1 / |A|) × Ajuste A
⇒ Un-1=
[1 / (ad – bc)] × egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix} Así, se calcula la inversa de la matriz de 2 × 2.
Ejemplo de matriz inversa de 3X3
Tomemos cualquier matriz A de 3×3 =
La inversa de la matriz 3×3 se calcula usando la fórmula de matriz inversa ,
A -1 = (1 / |A|) × Ajuste A
Determinante de la matriz inversa
El determinante de la matriz inversa es el recíproco del determinante de la matriz original. es decir.,
eso (un -1 ) = 1 / it(A)
La prueba de la afirmación anterior se analiza a continuación:
det(A × B) = det (A) × det(B) (ya lo sé)
⇒ A × A-1= I (por propiedad de la matriz inversa)
⇒ it(A × A-1) = eso(yo)
⇒ it(A) × it(A-1) = det(I) [ pero, det(I) = 1]
⇒ it(A) × it(A-1) = 1
⇒ eso(A-1) = 1 / it(A)
Por lo tanto, probado.
Propiedades de la inversa de la matriz
La matriz inversa tiene las siguientes propiedades:
- Para cualquier matriz A no singular, (A -1 ) -1 = Un
- Para dos matrices no singulares A y B cualesquiera, (AB) -1 =B -1 A -1
- La inversa de una matriz no singular existe, para una matriz singular, la inversa no existe.
- Para cualquier A no singular, (A t ) -1 = (Un -1 ) t
Relacionado:
- Matriz invertible
- Matrices: Propiedades y Fórmulas
- Operación matemática sobre matrices
- Determinante de la matriz
- ¿Cómo encontrar el determinante de Matrix?
Ejemplos resueltos de matrices inversas
Resolvamos algunas preguntas de ejemplo sobre la inversa de Matrix.
Ejemplo 1: Encuentra la inversa de la matriz.
Solución:
Tenemos,
A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight] Encuentre el adjunto de la matriz A calculando los cofactores de cada elemento y luego obteniendo la transpuesta de la matriz de cofactores.
adj A =
left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight] Encuentre el valor del determinante de la matriz.
|A| = 2(4–6) – 3(4–4) + 1(3–2)
= –3
Entonces, la inversa de la matriz es,
A–1=
frac{1}{-3}left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}frac{2}{3} & 3 & – frac{5}{3} & -2 & 1- frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3}end{array} ight]
Ejemplo 2: Encuentra la inversa de la matriz A=old{ usando la fórmula.}
Solución:
Tenemos,
A=
left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight] Encuentre el adjunto de la matriz A calculando los cofactores de cada elemento y luego obteniendo la transpuesta de la matriz de cofactores.
adj A =
left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight] Encuentre el valor del determinante de la matriz.
|A| = 6(0–4) – 2(0–8) + 3(0–0)
= 16
Entonces, la inversa de la matriz es,
A–1=
frac{1}{16}left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}0 & 0 & frac{1}{2}\frac{1}{2} & – frac{3}{8} & – frac{3}{2} & frac{1}{4} & 0end{array} ight]
Ejemplo 3: Encuentra la inversa de la matriz A=
Solución:
Tenemos,
A=
left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight] Encuentre el adjunto de la matriz A calculando los cofactores de cada elemento y luego obteniendo la transpuesta de la matriz de cofactores.
adj A =
left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight] Encuentre el valor del determinante de la matriz.
|A| = 1(1–0) – 2(0–0) + 3(0–0)
= 1
Entonces, la inversa de la matriz es,
A–1=
frac{1}{1}left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]
Ejemplo 4: Encuentra la inversa de la matriz A=
Solución:
Tenemos,
A=
left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight] Encuentre el adjunto de la matriz A calculando los cofactores de cada elemento y luego obteniendo la transpuesta de la matriz de cofactores.
adj A =
left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight] Encuentre el valor del determinante de la matriz.
|A| = 1(1–16) – 2(2–12) + 3(8–3)
= 20
Entonces, la inversa de la matriz es,
A–1=
frac{1}{20}left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}- frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4}\frac{1}{2} & – frac{2}{5} & frac{1}{10}\frac{1}{4} & frac{1}{10} & – frac{3}{20}end{array} ight]
Preguntas frecuentes sobre la inversa de la matriz
¿Qué es la inversa de la matriz?
El recíproco de una matriz se llama inverso de una matriz. Sólo las matrices cuadradas con determinantes distintos de cero son invertibles. Supongamos que para cualquier matriz cuadrada A con matriz inversa B su producto es siempre una matriz identidad (I) del mismo orden.
[A]×[B] = [Yo]
¿Qué es Matrix?
Una matriz es una matriz rectangular de números que se dividen en un número definido de filas y columnas. El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión u orden.
¿Cuál es la inversa de la matriz 2 × 2?
Para cualquier matriz A o de orden 3 × 3, su inversa se encuentra usando la fórmula,
A -1 = (1 / |A|) × Ajuste A
¿Cuál es la inversa de la matriz 3 × 3?
La inversa de cualquier matriz cuadrada de 3 × 3 (digamos A) es la matriz del mismo orden denotada por A-1tal que su producto es una matriz de identidad de orden 3×3.
[A] 3×3 × [Un -1 ] 3×3 = [yo] 3×3
¿Son iguales el adjunto y el inverso de la matriz?
No, el adjunto de una matriz y el inverso de una matriz no son lo mismo.
¿Cómo utilizar la inversa de Matrix?
La inversa de una matriz se utiliza para resolver expresiones algebraicas en forma matricial. Por ejemplo, para resolver AX = B, donde A es la matriz de coeficientes, X es la matriz variable y B es la matriz constante. Aquí la matriz variable se encuentra usando la operación inversa como,
cómo acceder a fotos de icloudX=A -1 B
¿Qué son las matrices invertibles?
Las matrices cuya inversa existe se llaman invertibles. Las matrices invertibles son matrices que tienen un determinante distinto de cero.
¿Por qué no existe la inversa de la matriz 2 × 3?
Sólo existe la inversa de una matriz cuadrada. Como la matriz de 2 × 3 no es una matriz cuadrada sino rectangular, su inversa no existe.
De manera similar, la matriz 2 × 1 tampoco es una matriz cuadrada sino rectangular, por lo que su inversa no existe.
¿Qué es la inversa de la matriz de identidad?
La inversa de una matriz identidad es la propia matriz identidad. Esto se debe a que la matriz identidad, denotada como I (o I norte por un norte × norte matriz), es la única matriz para la cual cada elemento a lo largo de la diagonal principal es 1 y todos los demás elementos son 0. Cuando multiplicamos una matriz identidad por sí misma (o su inversa), obtenemos la matriz identidad nuevamente.