Inversa de una matriz de 3 × 3 es un matriz que multiplicado por la Matriz original da como resultado matriz de identidad como el producto. La inversa de una matriz es un aspecto fundamental del álgebra lineal. Este proceso juega un papel crucial en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y diversas aplicaciones matemáticas. Para calcular la inversa, es necesario calcular la matriz adjunta, verificar la invertibilidad de la matriz examinando su determinante (que no debe ser igual a cero) y aplicar una fórmula para derivar la matriz inversa.

Este artículo cubre los diversos conceptos de la matriz inversa de 3 × 3 y cómo encontrar la matriz inversa de 3 × 3 calculando cofactores, adjuntos y determinantes de la matriz 3 × 3. Más adelante en este artículo, también encontrará ejemplos resueltos para una mejor comprensión y también se proporcionan preguntas de práctica para comprobar lo que hemos aprendido de esto.

Tabla de contenidos

• ¿Cuál es la inversa de la matriz 3 × 3?
• ¿Cómo encontrar la inversa de una matriz de 3 × 3?
• Elementos utilizados para encontrar la inversa de una matriz de 3 × 3
• Fórmula inversa de la matriz 3 × 3
• Encontrar la inversa de una matriz de 3 × 3 mediante operaciones de fila

¿Cuál es la inversa de la matriz 3 × 3?

La Inversa de una Matriz 3 × 3 es una matriz que, multiplicada por la matriz original, da como resultado la matriz identidad. Para encontrar la inversa, puedes calcular la matriz adjunta, determinar si la matriz es invertible (no singular) verificando su determinante (que no debe ser igual a cero) y luego aplicar la fórmula A.^-1= (adj A) / (det A). La Matriz Inversa le permite resolver sistemas de ecuaciones lineales y realizar diversas operaciones matemáticas.

¿Cómo encontrar la inversa de una matriz de 3 × 3?

Siga los pasos que se indican a continuación para encontrar la inversa de la matriz 3 × 3:

Paso 1: En primer lugar, verifique si la matriz se puede invertir. Para ello, calcule el determinante de la matriz. Si el determinante no es cero, entonces continúa con el siguiente paso.

Paso 2: Calcule el determinante de matrices más pequeñas de 2 × 2 dentro de la matriz más grande.

Paso 3: Crea la matriz de cofactores.

Etapa 4: Obtener el Adjugado o Adjunto de la matriz realizando la transposición de la matriz del cofactor.

Paso 5: Finalmente, divide cada elemento de la matriz adjunta por el determinante de la matriz original de 3 por 3.

Lectura relacionada

• Cofactor y Menores de Matrix
• Transposición de matriz

Elementos utilizados para encontrar la inversa de una matriz de 3 × 3

Se utilizan principalmente dos elementos para encontrar la inversa de una matriz de 3 × 3:

• Adjunto de Matrix
• Determinante de la matriz

Adjunto de una matriz de 3 × 3

El adjunto de una matriz A se encuentra tomando la transpuesta de la matriz cofactor de A. Para calcular el adjunto de una matriz en detalle, siga las instrucciones proporcionadas.

Para una matriz de 3 × 3, el cofactor de cualquier elemento es el determinante de una matriz de 2 × 2 formada eliminando la fila y la columna que contiene ese elemento. Al encontrar cofactores, alterna entre signos positivos y negativos.

Por ejemplo, dada la matriz A:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

La matriz menor se obtiene de la siguiente manera:

egin{bmatrix} egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} end{bmatrix}

Calcule los determinantes de las matrices de 2 × 2 formadas multiplicando en diagonal y restando los productos de izquierda a derecha, es decir, menor.

egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (2×2) – (4×1) = 4 – 4 = 0

egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (0×2) – (4×1) = 0 – 4 = -4

egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} = (0×1) – (2×1) = 0 – 2 = -2

egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} = (1×2) – (3×1) = 2 – 3 = -1

egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (3×1) = 4 – 3 = 1

egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} =(2×2) – (1×1) = 4 – 1 = 3

egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} =(1×4) – (3×2) = 4 – 6 = -2

egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} =(2×4) – (3×0) = 8 – 0 = 8

egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (1×0) = 4 – 0 = 4

Entonces la matriz de cofactores es:

egin{bmatrix} +(0) & -(-4) & +(-2) -(-1) & +(1) & -(1) +(-2) & -(8) & +(4) end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

Al transponer la matriz del cofactor, obtenemos la matriz adjunta.

egin{bmatrix} 0 & 1 & -2 4 & 1 & -8 -2 & -1 & 4 end{bmatrix}

Determinante de una matriz 3 × 3

Usando el mismo ejemplo que hemos discutido anteriormente, podemos calcular el Determinante de la Matriz A

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Calcule el determinante de la matriz usando la primera fila,

Det A = 2(cofactor de 2) + 1(cofactor de 1) + 3(cofactor de 3)

Que A = 2(0) + 1(4) + 3(-2)

Que A = 2 + 4 – 6

que A = 0

Puedes comprobar Truco para calcular determinante de una matriz de 3×3

Fórmula inversa de la matriz 3 × 3

Para encontrar la inversa de una Matriz A de 3 × 3, puedes usar la fórmula A-1 = (adj A) / (det A), donde:

• adj A es la matriz adjunta de A.
• det A es el determinante de A.

Para que exista A-1, det A no debe ser igual a cero. Esto significa:

• A^-1existe cuando det A no es cero (A es no singular).
• A^-1no existe cuando det A es cero (A es singular).

Estos son los pasos para encontrar la inversa de una matriz de 3 × 3, usando el mismo ejemplo:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Paso 1: Calcule la matriz adjunta (adj A).

Para encontrar la matriz adjunta, reemplace los elementos de A con sus cofactores correspondientes.

adj A= egin{bmatrix} 0 & -1 & -2 -4 & 1 & 8 -2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Paso 2: Encuentre el determinante de A (det A).

Para calcular el determinante de A, puedes usar la fórmula para una matriz de 3 × 3. En este caso, det A = -8.

Paso 3: aplica la fórmula A^-1= (adj A) / (det A) para encontrar la Matriz Inversa A^-1.

Divida cada elemento de la matriz adjunta por el determinante de A:

A ^-1 = adj A/ Det A

A^{-1} = egin{bmatrix} -frac{0}{8} & -frac{-1}{8} & -frac{-2}{8} -frac{-4}{8} & -frac{1}{8} & -frac{8}{8} -frac{-2}{8} & -frac{1}{8} & -frac{4}{8} end{bmatrix}

Al simplificar las fracciones,

cadena a entero

A^{-1} = egin{bmatrix} {0} & frac{1}{8} & frac{1}{4} frac{1}{2} & -frac{1}{8} & -{1} frac{1}{4} & -frac{1}{8} & -frac{1}{2} end{bmatrix}

Encontrar la inversa de una matriz de 3 × 3 mediante operaciones de fila

Para encontrar la inversa de una Matriz de 3×3, puedes seguir estos pasos:

Paso 1: Comience con la Matriz A de 3 × 3 dada y cree una matriz identidad I del mismo tamaño, colocando A en el lado izquierdo e I en el lado derecho de una matriz aumentada, separados por una línea.

Paso 2: Aplique una serie de operaciones de fila a la matriz aumentada en el lado izquierdo para transformarla en la matriz identidad I. La matriz en el lado derecho de la línea, que se convierte en A^-1, es la inversa de la matriz original A.

Aprende más, Operación elemental de matrices

Además, consulte

• Tipos de matrices
• Matriz invertible
• Rastro de una matriz

Ejemplos resueltos de inversa de matriz 3 × 3

Ejemplo 1: encontrar la inversa de

D = egin{bmatrix} 3 & 0 & 2 2 & 1 & 0 1 & 4 & 2 end {bmatrix}

Solución:

Matriz menor de D = egin{bmatrix}egin{pmatrix}1&04&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&01&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&11&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&24&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&21&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&01&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&21&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&22&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&02&1end{pmatrix}end{bmatrix}

Matriz menor de D =egin{bmatrix}left(2-0 ight)&left(4-0 ight)&left(8-1 ight)\left(0-8 ight)&left(6-2 ight)&left(12-0 ight)\left(0-2 ight)&left(0-4 ight)&left(3-0 ight)end{bmatrix}

Cofactor de Matrix, es decir, X =egin{bmatrix}+2&-left(-4 ight)&+7-left(-8 ight)&+4&-left(12 ight)+2&-left(-4 ight)&+3end{bmatrix}

Transpuesta de Matrix X = Adj D =egin{bmatrix}2&8&2-4&4&47&-12&3end{bmatrix}

Ahora encontraremos el Determinante de D usando la primera fila:

Que D = 3(2) + 0(-4) + 2(7)

⇒ Que D = 6+0+14

⇒ Que D = 20

Inversa de la Matriz D o D^-1= Ajuste D / Det D

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{2}{20}&frac{8}{20}&frac{2}{20}-frac{4}{20}&frac{4}{20}&frac{4}{20}\frac{7}{20}&-frac{12}{20}&frac{3}{20}end{bmatrix}

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{1}{20}&frac{2}{5}&frac{1}{10}-frac{2}{5}&frac{2}{5}&frac{2}{5}\frac{7}{20}&-frac{3}{5}&frac{3}{20}end{bmatrix}

Ejemplo 2: encontrar la inversa de

E = egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 end{bmatrix}

Menor de la Matriz E =egin{bmatrix}egin{pmatrix}3&22&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&21&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&31&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&12&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&13&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&3end{pmatrix}end{bmatrix}

Cofactor de la matriz E, es decir, X =egin{bmatrix}left(3-4 ight)&left(2-2 ight)&left(4-3 ight)\left(1-2 ight)&left(1-1 ight)&left(2-1 ight)\left(2-3 ight)&left(2-2 ight)&left(3-2 ight)end{bmatrix}

x=egin{bmatrix}-1&0&11&0&-1-1&0&1end{bmatrix}

Ajuste E =egin{bmatrix}-1&1&-1&0&01&-1&1end{bmatrix}

Encontremos ahora el determinante de la matriz E usando la primera fila:

Que E = 1(-1) + 1(0) + 1(1)

Que E= -1 + 0 + 1

que mi = 0

∴ Como el determinante de la matriz E es equivalente a 0, la Inversa de la Matriz E o E^-1no es posible.

Preguntas de práctica sobre la inversa de la matriz 3 × 3

P1. Calcule la inversa de la siguiente matriz de 3×3:

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 2 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 end{bmatrix}

P2. Encuentre la inversa de la matriz B:

B = egin{bmatrix} 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2 end{bmatrix}

P3. Determine si la Matriz C es invertible y, de ser así, encuentre su inversa:

C = egin{bmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

P4. Calcule la inversa de la matriz D:

D = egin{bmatrix} 1 & 2 & 0 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 end{bmatrix}

P5. Para la matriz E, verifique si es invertible y, si lo es, encuentre su inversa:

E = egin{bmatrix} 2 & 1 & 2 0 & 3 & 1 1 & 2 & 0 end{bmatrix}

Inversa de la matriz 3×3 – Preguntas frecuentes

1. ¿Cuál es la inversa de una matriz de 3×3?

La inversa de una matriz de 3 × 3 es otra matriz que, cuando se multiplica por la matriz original, da como resultado la matriz identidad.

2. ¿Por qué es importante encontrar la inversa?

Es esencial para resolver sistemas de ecuaciones lineales, transformaciones y diversas operaciones matemáticas.

3. ¿Cómo se calcula la inversa de una matriz de 3×3?

Por lo general, encuentra la matriz adjunta, verifica el valor distinto de cero del determinante y aplica una fórmula específica.

4. ¿Cuándo no existe la Inversa de una Matriz de 3×3?

No existe cuando el determinante de la matriz es cero, lo que la hace singular.

5. ¿Puede cualquier matriz de 3×3 tener una inversa?

No, sólo las matrices no singulares con un determinante distinto de cero tienen inversas.

6. ¿Cuál es el papel de la Matriz Adjunta para encontrar la Inversa?

La matriz adjunta ayuda a calcular la inversa proporcionando cofactores para cada elemento.

7. ¿En qué campos se utiliza mucho el concepto de inversión de matrices 3×3?

El concepto de inversión de matrices 3×3 se utiliza en ingeniería, física, gráficos por computadora y diversas disciplinas matemáticas.

8. ¿Cómo obtener la inversa de una matriz de 3×3?

Para encontrar la inversa de una matriz de 3×3, puedes seguir estos pasos:

• Primero, calcule el determinante de la matriz.
• Si el determinante no es igual a 0, continúe con el siguiente paso. Si es 0, la matriz no tiene inversa.
• Encuentre la matriz de menores creando matrices de 3 × 3 para cada elemento de la matriz original, excluyendo la fila y la columna del elemento en el que se está enfocando.
• Calcular la matriz de cofactores aplicando un patrón de signos más y menos a los elementos de la matriz de menores.
• Transponga la matriz de cofactores intercambiando filas con columnas.
• Finalmente, divide la matriz transpuesta de cofactores por el determinante para obtener la inversa de la matriz de 3×3.