El fructum de un cono es una forma especial que se forma cuando cortamos el cono con un plano paralelo a su base. El cono es una forma tridimensional que tiene una base circular y un vértice. Entonces el tronco de un cono es un volumen sólido que se forma quitando una parte del cono con un plano paralelo a la base circular. El tronco no sólo se define para los conos sino que también se puede definir para los diferentes tipos de pirámides (pirámide cuadrada, pirámide triangular, etc.).

Algunas de las formas comunes de un tronco de cono que descubrimos en nuestra vida diaria son cubos, pantallas de lámparas y otras. Aprendamos más sobre el tronco de conos en este artículo.

¿Qué es el fruto del cono?

Frustum es una palabra latina que significa pedazos, por lo tanto tronco de cono es una pieza sólida del cono. Cuando un cono circular recto es cortado por un plano paralelo a la base del cono la forma así obtenida se llama tronco de cono. La figura que se muestra a continuación nos muestra cómo un plano corta el cono paralelo a su base para formar el tronco del cono.

Ahora, el tronco del cono se define fácilmente como,

Si un cono circular recto es cortado por un plano paralelo a su base, la forma de la porción entre el plano de corte y el plano base se llama tronco de cono.

Red de trozo de cono

Si se corta una forma tridimensional (3D) y se convierte en una forma bidimensional, la forma así obtenida se llama red. Se puede suponer que cuando la red de la figura se pliega correctamente de manera correcta, forma la forma 3D deseada. La imagen que se muestra a continuación muestra la red del tronco del cono.

Propiedades de un trozo de cono

Las propiedades del Frustum de un cono son muy similares a las del cono, algunas de las propiedades importantes del Frustum de un cono son:

• Base del cono el cono original está contenido en el tronco de un cono pero su vértice no está contenido en el tronco.
• Las fórmulas del tronco de un cono dependen de su altura y de dos radios (correspondientes a las bases superior e inferior).
• La altura del tronco del cono es la distancia perpendicular entre los centros de sus dos bases.

Fórmulas de trozo de cono

Frustum of Cone es una forma que se ve con frecuencia en nuestra vida diaria, por ejemplo, lámparas de mesa, cubos, etc. Las fórmulas importantes para el tronco de un cono son,

• Volumen del trozo de cono
• Área de superficie del fruto del cono

Aprendamos sobre estas fórmulas en detalle a continuación,

Volumen del trozo de cono

Frustum de cono es una parte cortada de un cono, donde se retira un cono pequeño del cono más grande. Por lo tanto, para calcular el volumen del tronco del cono, sólo hay que calcular la diferencia entre el volumen del cono más grande y el más pequeño.

Asumamos,

• La altura total del cono debe ser H + h
• La altura total de inclinación será l' + L
• El radio de un cono completo es r.
• El radio del cono cortado es r’

Dado que el volumen del cono está dado como V = 1/3πr²h

Volumen del cono completo V₁= 1/3πr²(H+h)

Volumen del cono más pequeño V₂=1/3πr’²(h)

Ahora el volumen del tronco del cono (V) se puede calcular usando la fórmula,

V=V₁- EN₂

V = 1/3πr²(H+h) – 1/3πr’²(h)

V= 1/3π[r²(H+h) – r’²(h)]…(1)

Usando la propiedad de similitud de los triángulos de △OCD y △OAB, se puede escribir,

r/(H+h) = r’/h

r/r’ = (H+h)/h

H + h = hora / r’

Sustituya este valor de (H+h) en la ecuación (1) y simplifique,

V = 1/3π[r²(rh/r’) – r’²(h)}

= 1/3π[{hora³– hora’³} / r’]…(2)

Usando nuevamente la propiedad del triángulo semejante en △OCD y △OAB, encontraremos el valor de h

r/(H+h) = r’/h

r/r’ = (H+h)/h

rh = (H + h)r’

rh = Hr’ + hr’

(r -r’)h = Hr’

h = Hr’ / (r -r’)

Sustituyendo estos valores en la ecuación (2),

V = 1/3π[{r³h-r³h}/r’]

= 1/3π[{r³– r’³}h/r’]

= 1/3π[{r³– r’³}{Hr’ / (r – r’)} / r’]

= 1/3πH(r²+ r'²+rr’)

De este modo,

Volumen del tronco del cono = 1/3 πH(r ² + r' ² +rr’)

Área de superficie del fruto del cono

El área de la superficie del tronco del cono se puede calcular por la diferencia entre el área de superficie del cono completo y el cono más pequeño (quitado del cono completo). El área de la superficie del tronco de cono se puede calcular utilizando el siguiente diagrama, donde es necesario sumar las áreas de superficie de las superficies curvas y las áreas de superficie de las superficies superior e inferior del tronco de cono.

De manera similar al volumen del tronco del cono, el área de la superficie curva también será igual a la diferencia entre las áreas de la superficie del cono más grande y del cono más pequeño.

En la figura anterior, los triángulos OAB y OCD son similares. Por lo tanto, utilizando el criterio de similitud, se puede escribir,

l’ / l = r’ / r…(1)

Dado que l’ = l – L, por lo tanto, de la ecuación (1),

(l – L) / l = r’ / r

Después de la multiplicación cruzada,

lr – Lr = lr’

l(r – r’) = Lr

l = Lr / (r – r’)…(2)

El área de la superficie curva de un cono completo = πrl

El área de la superficie curva del cono más pequeño = πr’l’

Diferencia entre las superficies curvas del cono completo y del cono más pequeño = π (rl – r’l’)

Por lo tanto, el área de la superficie curva (CSA) del tronco del cono = πl (r – r’l’/l)

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Utilice la ecuación (1) para sustituir el valor de l’/l en la ecuación anterior y simplifique,

CSA del tronco de cono = πl (r – r’×r’/r) = πl (r²– r’²)/r

Ahora, sustituya el valor de l de la ecuación (2) y simplifique,

CSA del tronco del cono = πlr/(r – r’)× (r²– r’²)/r = πl (r + r')

Así, se puede escribir,

Área de superficie curva del tronco de cono = πl (r + r’)

Ahora, calculemos el área de superficie de las bases superior e inferior del tronco del cono, de modo que,

El área de la superficie de la base superior del tronco de cono que tiene un radio r' = πr'²

El área de la superficie de la base inferior del tronco de cono que tiene un radio r = πr²

Entonces,

Área de superficie total del tronco de cono = Área de superficie curva del tronco de cono + área de superficie de la base superior + área de superficie de la base inferior

Por lo tanto,

La superficie total del tronco del cono. = πl (r + r') + πr'²+ πr²= πl (r + r') + π (r²+ r'²)

Por lo tanto, el área de superficie total del tronco del cono es = πl (r + r’) + π (r²+ r'²)

Esta fórmula también se puede escribir como,

El área de superficie total del tronco del cono es = πl (r²– r’²)/r + π (r²+ r'²)

Entonces, uno puede escribir,

Área de superficie total del tronco del cono = πl(r + r’) + π (r ² + r' ² )

o

Área de superficie total del tronco del cono = πl (r ² – r’ ² )/r + π (r ² + r' ² )

Tenga en cuenta que l es la altura inclinada del cono más pequeño que se puede dar como

L = √ [H ² + (r – r’) ² ]

Leer más

• Volumen de cono
• Volumen del cilindro
• Volumen de esfera

Ejemplos resueltos sobre fragmento de cono

Ejemplo 1: Calcula el volumen del tronco de un cono que tiene 15 cm de alto y los radios de ambas bases son de 5 cm y 8 cm.

Solución:

Usando la fórmula estudiada anteriormente, se puede escribir,

V = 1/3 πH(r²+ r'²+rr’)

Dado,

Alto = 15 cm
r'= 5 cm
r = 8 cm

V = 1/3 π15(8²+ 5²+ 40)

V = 5π(129)

V = 645πcm³

Ejemplo 2: Calcula el área de superficie y el área de superficie total de un tronco de cono que mide 10 cm de alto y los radios de ambas bases son de 4 cm y 8 cm.

Solución:

Conocemos la fórmula para el área de superficie y el área de superficie total del tronco. Necesitamos ingresar los valores requeridos.

Área de superficie curva del tronco = πl(r+r’)

dónde,
L = √ [H²+ (R-r)²]

Dado,
Alto = 10 cm
r = 4 cm
R = 8 cm

Calculando el valor de L,

L = √ [10²+ (8 – 4)²]

= √(100+16) = √(116)

Área de superficie curva de Frustum = πL(R+r)

= π√(116)×(8+4)

= 48π√(29)

Área de superficie total = Área de superficie curva del fruto + Área de ambas bases

= 48π√(29) + π(8)²+ pag(4)²

= 48π√(29) + 64π + 16π

= 48π√(29) + 80πcm²

Ejemplo 3: Digamos que tenemos un cubo metálico abierto cuya altura es de 50 cm y los radios de las bases son de 10 cm y 20 cm. Encuentra el área de la Chapa metálica utilizada para fabricar el cubo.

Solución:

El cubo tiene forma de tronco que se cierra desde abajo. Necesitamos calcular la superficie total de este tronco.

Dado
Alto = 50 cm
r’= 10cm
r = 20 cm

Área de superficie curva de Frustum = πL(R+r)

L = √ [H²+ (r – r’)²]

recorrido previo al pedido de un árbol

L = √ [50²+ (20 – 10)²]

= √(2500+100) = √(2600)

= √100(26) = 10√(26)

Área de superficie curva de Frustum = πL(R+r)

= π10√(26)×(20+10)

= 300π√(26)

Área de superficie total = Área de superficie curva del fruto + Área de ambas bases

= 300π√(26) + π(20)²+ π(10)²

= 300π√(26) + 400π + 100π

= (300π√(26) + 500π)cm²

Ejemplo 4: Encuentre la expresión del volumen de un tronco truncado si su altura es 6y y sus radios son y y 2y respectivamente.

Solución:

Usando la fórmula estudiada anteriormente,

V = 1/3 πH(r²+ r'²+rr’)

Dado,

H = 6 años
r’= y
r = 2 años

V = 1/3 π6[(2y)²+ (y)²+ (y)(2y)]

V = 2πy(7y²)

V = 14πy³unidad³

Preguntas frecuentes sobre el trozo de cono

Pregunta 1: ¿Qué es el fruto de un cono?

Respuesta:

Cuando cortamos un cono de tal forma que el plano de corte sea paralelo a la base del cono. La figura resultante así obtenida se llama Frustum del Cono.

Pregunta 2: ¿Qué son las fórmulas del Frustum of Cone?

Respuesta:

Las fórmulas del tronco de un cono se analizan a continuación. Tomemos un tronco de radio base 'R' y radio superior 'r', altura 'H' y altura inclinada, entonces,

• Volumen de un trozo de cono (V) = 1/3πH(r²+ rr' + r'²)
• Superficie total del tronco de un cono = πl (r + r’) + π (r’²+r²).

Pregunta 3: ¿Cuál es el CSA de un frustum?

Respuesta:

El área de la superficie curva del tronco de un cono se calcula mediante la fórmula,

CSA = πl (r + r')

dónde,
r' es el radio del círculo superior del tronco
r es la base del radio
yo es la altura inclinada

Pregunta 4: ¿Cuál es el área de superficie del fruto del cono?

Respuesta:

El área de la superficie del tronco de un cono se calcula mediante la fórmula,

• CSA del trozo de cono = πl [ (r²– r’²) / r’ ]
• TSA del tronco de cono = π (r²+ r'²) + πl [ (r²– r’²) / r’]

Pregunta 5: ¿Cuál es el volumen del fruto del cono?

Respuesta:

El volumen del tronco de un cono se calcula mediante la fórmula,

• V = 1/3πh[ (r³– r’³) / r’]
• V = 1/3πH(r²+ rr' + r'²)