Fórmulas derivadas en cálculo son una de las herramientas importantes del cálculo, ya que las fórmulas derivadas se usan ampliamente para encontrar derivadas de varias funciones con facilidad y también nos ayudan a explorar diversos campos de las matemáticas, la ingeniería, etc.

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Este artículo explora todos los fórmulas derivadas incluyendo de cerca la fórmula derivada general, fórmulas derivadas para funciones logarítmicas y exponenciales, fórmulas derivadas para razones trigonométricas, fórmulas derivadas para razones trigonométricas inversas y fórmulas derivadas para funciones hiperbólicas. La fórmula derivada es importante para los estudiantes de la clase 12 para sus exámenes de la junta. También resolveremos algunos ejemplos de derivadas utilizando las diferentes fórmulas de derivadas. Analicemos de cerca el tema de la fórmula derivada.

Tabla de contenidos

• ¿Qué es el derivado?
• ¿Qué son las fórmulas derivadas?
• Fórmulas derivadas básicas: reglas de derivadas en cálculo
• Lista de fórmulas derivadas
• Algunas otras fórmulas derivadas
• ¿Cómo encontrar los derivados?
• Aplicaciones de la fórmula derivada

¿Qué es el derivado?

El derivados representan la tasa de función con respecto a cualquier variable. La derivada de una función f(x) se denota como f'(x) o (d/dx) [f(x)]. El proceso de encontrar derivadas se llama diferenciación.

La fórmula derivada más fundamental es la definición de derivada, que se define como:

f'(x) = límite _h→0 [(f(x + h) – f(x))/h]

Existen varias fórmulas derivadas que incluyen fórmulas derivadas generales, fórmulas derivadas para funciones trigonométricas y fórmulas derivadas para funciones trigonométricas inversas, etc.

Leer en detalle: Cálculo en matemáticas

¿Qué son las fórmulas derivadas?

Las Fórmulas Derivadas son aquellas expresiones matemáticas que nos ayudan a calcular la derivada de alguna función concreta respecto de su variable independiente. En palabras simples, las fórmulas que ayudan a encontrar derivadas se denominan fórmulas derivadas. Existen múltiples fórmulas derivadas para diferentes funciones.

Ejemplos de fórmula derivada

A continuación se enumeran algunos ejemplos de fórmulas para derivados:

• Regla de poder: Si f(x) = x^norte, donde n es una constante, entonces la derivada viene dada por:

f'(x) = nx ^n-1

• Regla constante: Si f(x) = c, donde c es una constante, entonces la derivada es cero:

f'(x) = 0

• Funciones exponenciales: Si f(x) = e^X, entonces:

f'(x) = mi ^X

Analicemos todas las fórmulas relacionadas con la derivada de forma estructurada.

Fórmulas derivadas básicas: reglas de derivadas en cálculo

Algunas de las fórmulas más básicas para encontrar la derivada son:

• Regla constante
• Regla de poder
• Regla de diferencia de suma
• Regla del producto
• Regla del cociente
• Cadena de reglas

Analicemos estas reglas en detalle:

Regla constante para derivados

La regla constante para las derivadas viene dada por:

(d/dx) constante = 0

Regla de potencia para derivados

La regla de potencia para derivados viene dada por:

(d/dx)x ^norte = nx ^n-1

Regla de diferencia de suma para derivados

La regla de suma y diferencia para derivados viene dada por:

(d/dx) [f(x) ± g(x)] = (d/dx) f(x) ± (d/dx) g(x)

Regla de producto para derivados

La regla del producto para derivados viene dada por:

(d/dx) [f(x). g(x)] = f'(x). gramo(x) + f(x). g'(x)

Regla del cociente para derivados

La regla del cociente para derivados viene dada por:

(d/dx) [f(x)/g(x)] = [f'(x). gramo(x) – f(x). g'(x)]/[g(x)] ²

Regla de la cadena para derivados

La regla de la cadena para la derivada viene dada por:

(d/dx) [f(g(x))] = (d/dx) [f(g(x))] × (d/dx) [g(x)]

Lista de fórmulas derivadas

Las fórmulas derivadas para las diferentes funciones se enumeran a continuación:

Fórmulas derivadas exponenciales y logarítmicas

Las fórmulas derivadas de las funciones exponencial y logarítmica se enumeran a continuación:

• (d/dx) mi^X= y^X
• (d/dx) un^X= un^Xen un
• (d/dx) ln x = (1/x)
• (d/dx) registro_ax= (1/x lna)

Leer más,

• Logaritmos
• Derivada de funciones exponenciales

Fórmulas derivadas trigonométricas

Las fórmulas derivadas de las funciones trigonométricas se enumeran a continuación:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sec²X
• (d/dx) cot x = -cosec²X
• (d/dx) seg x = seg x tan x
• (d/dx) cosec x = – cosec x cot x

Aprender más acerca de Derivada de funciones trigonométricas .

Fórmula derivada para funciones trigonométricas inversas

Las fórmulas derivadas de las funciones trigonométricas inversas se enumeran a continuación:

• (d/dx) sin^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) porque^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) tan^-1x = 1/(1 + x²)
• (d/dx) cuna^-1x = -1/(1 + x²)
• (d/dx) segundos^-1x = 1/[|x|√(x²– 1)]
• (d/dx) cosec^-1x = -1/[|x|√(x²– 1)]

Leer más, Derivada de funciones trigonométricas inversas .

Derivada de funciones hiperbólicas

Las fórmulas derivadas de las funciones trigonométricas se enumeran a continuación:

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• (d/dx) sinh x = cosh x
• (d/dx) cosh x = senh x
• (d/dx) tanh x = cada uno²X
• (d/dx) coth x = -cosech²X
• (d/dx) yo x = -yo x tanh x
• (d/dx) cosech x = -cosech x coth x

Algunas otras fórmulas derivadas

Hay algunas otras funciones como funciones implícitas, funciones paramétricas y derivadas de orden superior cuyas fórmulas derivadas se enumeran a continuación:

Fórmula derivada implícita

El método para encontrar la derivada de una función implícita se llama diferenciación implícita. Tomemos un ejemplo para comprender implícitamente el método de encontrar derivadas.

Ejemplo: encontrar la derivada de xy = 2

Solución:

(d/dx) [xy] = (d/dx) 2

⇒ x(dy/dx) + y(dx/dx) = 0

⇒ x(dy/dx) + y(1) = 0

⇒ x(dy/dx) + y = 0

⇒ x(dy/dx) = -y

⇒ (dy/dx) = -y/x

De la ecuación dada y = 2/x

(dy/dx) = -(2/x)/x

⇒ (dy/dx) = -(2/x²)

Aprender más acerca de Diferenciación implícita .

Fórmula derivada paramétrica

Si la función y (x) se expresa en los términos de la tercera variable t y x e y se pueden representar en x = f (t) e y = g (t), entonces, este tipo de función se denomina función paramétrica.

Si y es función de x y x = f(t) e y = g(t) son dos funciones diferenciables del parámetro t, entonces, la derivada de la función paramétrica viene dada por:

(dy/dx) = (dy/dt)/(dx/dt), tal que (dx/dt) ≠ 0

Leer más sobre Diferenciación paramétrica .

Fórmula derivada de orden superior

Encontrar la derivada de una función más de una vez da como resultado la derivada de orden superior de una función.

norte ^th Derivada = d ^norte y/(dx) ^norte

Leer más sobre Derivada de orden superior .

¿Cómo encontrar los derivados?

Para encontrar las derivadas de una función seguimos los siguientes pasos:

• Primero verifique el tipo de función, ya sea algebraica, trigonométrica, etc.
• Después de encontrar el tipo, aplique las fórmulas derivadas correspondientes a la función.
• El valor resultante da la derivada de la función usando la fórmula de derivadas.

Aplicaciones de la fórmula derivada

Hay muchas aplicaciones de las fórmulas derivadas. Algunas de estas aplicaciones se enumeran a continuación:

matrices en programación c

• Los derivados se utilizan para encontrar la tasa de cambio en cualquier cantidad.
• Se puede utilizar para encontrar máximos y mínimos.
• Se utiliza en funciones crecientes y decrecientes.

La gente también ve:

• Fórmulas de diferenciación
• Fórmula de diferenciación e integración
• Diferenciación logarítmica

Ejemplos resueltos de fórmula derivada

Ejemplo 1: encontrar la derivada de x ⁵ .

Solución:

Let y = x⁵

⇒ y’ = (d/dx) [x⁵]

⇒ y’ = 5(x^5-1)

⇒ y’ = 5x⁴

Ejemplo 2: encontrar la derivada de log ₂ X.

Solución:

Let y = log₂X

⇒ y’ = (d/dx) [log₂X]

⇒ y’ = 1/ [x ln2]

Ejemplo 3: Encuentra la derivada de la función f(x) = 8. 6 ^X

Solución:

f(x) = 8 . 6^X

⇒ f'(x) = (d/dx) [8 . 6^X]

⇒f'(x) = 8 . (d/dx) [6^X]

⇒ f'(x) = 8[6x ln 6]

Ejemplo 4: Encuentra la derivada de la función f(x) = 3senx + 2x

Solución:

f(x) = 3 senx + 2x

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 senx + 2x]

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 senx] + (d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx)[senx] + 2(d/dx)(x)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2(1)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2

Ejemplo 5: Encuentra la derivada de la función f(x) = 5cos ^-1 x+e ^X

Solución:

f(x) = 5cos^-1x+e^X

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x+e^X]

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x] + (d/dx)[e^X]

⇒ f'(x) = 5(d/dx)[cos^-1x] + (d/dx)[e^X]

⇒ f'(x) = 5[-1/√(1 – x²)] + y^X

⇒ f'(x) = [-5/√(1 – x)²)] + y^X

Problemas de práctica sobre fórmula derivada

Problema 1: Evaluar: (d/dx) [x⁴].

Problema 2: Encuentra la derivada de y = 5cos x.

Problema 3: Encuentra la derivada de y = cosec x + cot x.

Problema 4: Encuentra la derivada de f(x) = 4^X+ iniciar sesión₃x + tan^-1X.

Problema 5: Evaluar: (d/dx) [40].

Problema 6: Encuentra la derivada de f(x) = x⁵+ 5x³+ 1 .

Preguntas frecuentes sobre la fórmula derivada

¿Qué es el derivado?

El valor que representa la tasa de cambio de una función con respecto a cualquier variable se llama derivada.

¿Cómo se representan los derivados?

Las derivadas se representan como (d/dx) o si f(x) es una función, entonces, la derivada de f(x) se representa como f'(x).

¿Cómo se calcula la derivada de una constante?

La derivada de una constante es siempre cero. En notación matemática, si 'C' es una constante, entonces dC/dx = 0.

Escribe la fórmula general derivada de x.^norte.

La fórmula general para la derivada de x.^norte= nx^n-1.

¿Cómo calcular las derivadas de una función?

Para calcular las derivadas de una función, podemos aplicar la fórmula de derivadas según la función dada.

¿Cuál es la fórmula para la derivada de la función logarítmica?

La derivada de la función logaritmo natural, ln(x), es 1/x. En notación matemática, si y = ln(x), entonces dy/dx = 1/x.

¿Qué fórmula se utiliza para encontrar la derivada de funciones exponenciales?

La derivada de una función exponencial, y = a^X(donde 'a' es una constante), se encuentra usando la fórmula dy/dx = a^X× ln(a).

¿Qué son los derivados de orden superior?

Las derivadas de orden superior son derivadas de una función tomada más de una vez. La segunda derivada es la derivada de la primera, la tercera es la derivada de la segunda, y así sucesivamente.

¿Qué es la fórmula derivada para e?^X?

La derivada de la función f(x) = e^X(donde 'e' es el número de Euler, aproximadamente 2,71828) es simplemente f'(x) = e^X.

Escribe la fórmula derivada para u/v.

La derivada del cociente de dos funciones u(x) y v(x) viene dada por la regla del cociente:

imprimir matriz en java

d(u/v)/dx = (v × du/dx – u × dv/dx)/(v ² )

¿Qué es la fórmula derivada para 1/x?

La derivada de la función f(x) = 1/x viene dada por:

f'(x) = -1/x ²