Diferenciación de funciones trigonométricas es la derivada de funciones trigonométricas como sin, cos, tan, cot, sec y cosec. La diferenciación es una parte importante del cálculo. Se define como la tasa de cambio de una cantidad con respecto a otra cantidad. La diferenciación de funciones trigonométricas se utiliza en la vida real en diversos campos como la informática, la electrónica y las matemáticas.

En este artículo, aprenderemos sobre la diferenciación de funciones trigonométricas junto con las fórmulas, sus demostraciones relacionadas y sus aplicaciones. Además, resolveremos algunos ejemplos y obtendremos respuestas a algunas preguntas frecuentes sobre la diferenciación de funciones trigonométricas. Comencemos nuestro aprendizaje sobre el tema de Diferenciación de funciones trigonométricas.

¿Qué es la diferenciación?

La derivación de una función es la tasa de cambio de una función con respecto a cualquier variable. El derivado de f(x) se denota como f'(x) o (d /dx)[f(x)].

El procedimiento para diferenciar los funciones trigonométricas se llama derivación de funciones trigonométricas. En otras palabras, encontrar la tasa de cambio de funciones trigonométricas con respecto a los ángulos se llama diferenciación de funciones trigonométricas.

Las seis funciones trigonométricas básicas son sin, cos, tan, cosec, sec y cot. Encontraremos las derivadas de todas las funciones trigonométricas con sus fórmulas y demostración.

Regla de diferenciación para funciones trigonométricas

La diferenciación de seis funciones trigonométricas básicas es la siguiente:

Puedes consultar la prueba de la derivada de estas seis funciones trigonométricas en los enlaces que aparecen a continuación:

Fórmula de prueba de diferenciación de funciones trigonométricas

Como se analizó anteriormente las fórmulas para todas las funciones trigonométricas, ahora probaremos las fórmulas anteriores de la diferenciación de funciones trigonométricas utilizando el primer principio de la derivada, la regla del cociente y la regla de la cadena con la ayuda de límites.

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Diferenciación del pecado (x)

Para demostrar la derivada de sen x usaremos el primer principio de diferenciación y algunas fórmulas trigonométricas básicas de identidades y límites. Las identidades trigonométricas y la fórmula de límites que se utilizan en la prueba se dan a continuación:

1. sin (X + Y) = sin X cos Y + sin Y cos X
2. Lim_x→0[senx / x] = 1
3. Lim_{x→ 0}[(cos x – 1) / x] = 0

Comencemos la prueba de la derivación de la función trigonométrica sen x

Por el primer principio de diferenciación.

(d/dx) sen x = lím_h→0[{sin (x + h) – sin x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) sen x = lím_h→0[{sin x cos h + sin h cos x – sin x} / h]

⇒ (d/dx) sen x = lím_h→0[{((cos h – 1) / h) sin x} + {(sin h / h) cos x}]

⇒ (d/dx) sen x = lím_h→0[{(cos h – 1) / h} sin x] + lim_h→0[(sin h / h) cos x]

⇒ (d/dx) sen x = 0.sen x + 1.cos x [Usando 2 y 3]

⇒ (d/dx) sin x = cos x

Por tanto, la diferenciación de sen x es cos x.

Diferenciación de cos(x)

Para demostrar la derivada de cos x usaremos el primer principio de diferenciación y algunas fórmulas trigonométricas básicas de identidades y límites. Las identidades trigonométricas y la fórmula de límites que se utilizan en la prueba se dan a continuación:

1. cos (X + Y) = cos X cos Y – sin X sin Y
2. Lim_x→0[senx / x] = 1
3. Lim_{x→ 0}[(cos x – 1) / x] = 0

Comencemos la prueba de la derivación de la función trigonométrica cos x

Por el primer principio de diferenciación.

(d/dx) cos x = límite_h→0[{cos (x + h) – cos x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) cos x = límite_h→0[{cos x cos h – sin h sin x – cos x} / h]

⇒ (d/dx) cos x = límite_h→0[{((cos h – 1) / h) cos x} – {(sin h / h) sin x}]

⇒ (d/dx) cos x = límite_h→0[{(cos h – 1) / h} porque x] – lím_h→0[(sin h / h) sin x]

⇒ (d/dx) cos x = 0.cos x – 1.sen x [Usando 2 y 3]

⇒ (d/dx) cos x = -sin x

Por lo tanto, la diferenciación de cos x es -sen x.

Diferenciación de tan(x)

Para demostrar la derivada de tan x usaremos la regla del cociente y algunas fórmulas trigonométricas básicas de identidades y límites. Las identidades trigonométricas y la fórmula de límites que se utilizan en la prueba se dan a continuación:

1. tan x = sin x / cos x
2. segundo x = 1 / cos x
3. porque²x + sin²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Comencemos la prueba de la derivación de la función trigonométrica tan x.

Ya que, por (1)

tan x = sinx / cos x

⇒ (d/dx) tan x = (d/dx)[sinx / cos x]

Usando la regla del cociente

(d/dx) tan x = [{(d/dx)sinx} cosx – {(d/dx) cos x} sinx] / cos²X

⇒ (d/dx) tan x = [cos x cos x – (-sin x) sin x] / cos²x [Por 4 y 5]

⇒ (d/dx) tan x = [cos²x + sin²x] / cos²X

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⇒ (d/dx) tan x = 1 / cos²x [por 3]

⇒ (d/dx) tan x = sec ² X [Por 2]

Por lo tanto, la diferenciación de tan x es sec. ² X.

Diferenciación de cosec(x)

Para demostrar la derivada de cosec x usaremos la regla de la cadena y algunas fórmulas trigonométricas básicas de identidades y límites. Las identidades trigonométricas y la fórmula de límites que se utilizan en la prueba se dan a continuación:

1. cot x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / sin x
3. (d/dx) sin x = cos x

Comencemos la prueba de la derivación de la función trigonométrica cosec x

(d/dx) cosec x = (d/dx) [1 / sen x] [Por 2]

Usando la regla de la cadena

(d/dx) cosec x = [-1 / sen²x] (d/dx) sin x

⇒ (d/dx) cosec x = [-1 / sen²x] cos x

⇒ (d/dx) cosec x = -[1 / senx] [cos x / sen x]

⇒ (d/dx) cosec x = – cosec x cot x [Por 1 y 2]

Por lo tanto, la diferenciación de cosec x es – cosec x cot x.

Diferenciación de sec(x)

Para probar la derivada de sec x usaremos la regla del cociente y algunos conceptos básicos identidades trigonométricas y fórmula de límites . Las identidades trigonométricas y la fórmula de límites que se utilizan en la prueba se dan a continuación:

1. tan x = sin x / cos x
2. segundo x = 1 / cos x
3. (d/dx) cos x = -sin x

Comencemos la prueba de la derivación de la función trigonométrica sec x

(d/dx) sec x = (d/dx) [1 / cos x] [Por 2]

Usando la regla de la cadena

(d/dx) seg x = [-1 / cos²x] (d/dx) porque x

⇒ (d/dx) sec x = [-1 / cos²x] (-sin x)

⇒ (d/dx) sec x = [1 / cos x] [sin x / cos x]

⇒ (d/dx) sec x = sec x tan x [Por 1 y 2]

Por lo tanto, la diferenciación de sec x es sec x tan x.

Diferenciación de cuna(x)

Para demostrar la derivada de cot x usaremos la regla del cociente y algunas fórmulas trigonométricas básicas de identidades y límites. Las identidades trigonométricas y la fórmula de límites que se utilizan en la prueba se dan a continuación:

1. cot x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / sin x
3. porque²x + sin²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Comencemos la prueba de la diferenciación de la función trigonométrica cot x

Ya que, por (1)

cot x = cos x / sin x

(d/dx) cot x = (d/dx)[cosx / sen x]

Usando la regla del cociente

(d/dx) cot x = [{(d/dx)cosx} sin x – {(d/dx) sin x} cos x] / sin²X

⇒ (d/dx) cot x = [(-sinx) sin x – (cosx) cos x] / sin²x [Por 4 y 5]

⇒ (d/dx) cot x = [ -sin²x – cos²x] / sin²X

⇒ (d/dx) cot x = -[ pecado²x + cos²x] / sin²X

⇒ (d/dx) cuna x = -1 / pecado²x [por 3]

⇒ (d/dx) cot x = -cosec ² X [Por 2]

Por lo tanto, la diferenciación de cot x es -cosec ² X.

Algunos otros derivados de funciones trigonométricas

La diferenciación de funciones trigonométricas se puede realizar fácilmente utilizando la regla de la cadena. Las funciones trigonométricas complejas y las funciones trigonométricas compuestas se pueden resolver aplicando cadena de reglas de diferenciación. En los siguientes títulos estudiaremos más a fondo la regla de la cadena y la diferenciación de funciones trigonométricas compuestas.

• Diferenciación usando la regla de la cadena
• Diferenciación de la función trigonométrica compuesta

Analicemos estos temas en detalle.

Regla de la cadena y función trigonométrica

La regla de la cadena establece que si p(q(x)) es una función, entonces, la derivada de esta función viene dada por el producto de la derivada de p(q(x)) y la derivada de q(x). La regla de la cadena se utiliza para diferenciar funciones compuestas . La regla de la cadena se utiliza principalmente para diferenciar fácilmente las funciones trigonométricas compuestas.

Ejemplo: encontrar la derivada de f(x) = tan 4x

Solución:

f(x) = tan 4x

⇒ f'(x) = (d/dx) [tan 4x]

Aplicando la regla de la cadena

f'(x) = (d/dx) [tan 4x](d/dx)[4x]

⇒ f'(x) = (segundo²4x)(4)

Diferenciación de la función trigonométrica compuesta

Para evaluar la diferenciación de las funciones trigonométricas compuestas aplicamos la regla de diferenciación de la cadena. Las funciones trigonométricas compuestas son aquellas funciones en las que el ángulo de la función trigonométrica es en sí mismo una función. La diferenciación de funciones trigonométricas compuestas se puede evaluar fácilmente aplicando la regla de la cadena y las fórmulas de diferenciación para funciones trigonométricas.

Ejemplo: encontrar la derivada de f(x) = cos(x ² +4)

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Solución:

f(x) = cos(x²+4)

⇒ f'(x) = (d/dx) cos(x²+4)

Aplicando la regla de la cadena

f'(x) = (d/dx) [cos(x)²+4)](d/dx)[x²+4]

⇒ f'(x) = -(2x)sin(x²+4)

¿Qué son las funciones trigonométricas inversas?

El funciones trigonométricas inversas son las funciones inversas de las funciones trigonométricas. Hay seis funciones trigonométricas inversas: sen^-1, porque^-1, tan^-1, cosec^-1, segundo^-1, cuna^-1. Las funciones trigonométricas inversas también se denominan funciones de arco.

Diferenciación de funciones trigonométricas inversas

Las derivadas de seis funciones trigonométricas inversas son las siguientes:

Ejemplo: encontrar la derivada de f(x) = 3sin ^-1 x + 4cos ^-1 X

Solución:

f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x + 4cos^-1X]

⇒ f'(x) = (d/dx) [3sen^-1x ]+ (d/dx) [4cos^-1X]

⇒ f'(x) = 3(d/dx) [pecado^-1x ]+ 4(d/dx) [cos^-1X]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x)²)] + 4[-1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x)²)] – 4[1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = [1 / √(1 – x)²)] (3- 4)

⇒ f'(x) = -[1 / √(1 – x)²)]

Aplicaciones a la diferenciación de funciones trigonométricas

Existen muchas aplicaciones diferentes de la diferenciación de funciones trigonométricas en la vida real. Las siguientes son las aplicaciones de la derivación de funciones trigonométricas.

• La pendiente de la tangente y la recta normal a la curva trigonométrica se puede determinar mediante la diferenciación de funciones trigonométricas.
• También se puede utilizar para determinar los máximos y mínimos de la función.
• También se utiliza en el campo de la informática y la electrónica.

Además, consulte

• Derivada trigonométrica inversa
• Antiderivada
• Fórmulas de diferenciación

Problemas de muestra sobre diferenciación de funciones trigonométricas

Problema 1: Encuentra la derivada de f(x) = tan 2x.

Solución:

f(x) = tan 2x

⇒ f'(x) = (d/dx) tan 2x

Aplicando la regla de la cadena

f'(x) = (d/dx) [tan 2x](d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = (segundo²2x)(2)

⇒ f'(x) = 2seg²2x

Problema 2: Encuentra la derivada de y = cos x / (4x ² )

Solución:

y = cos x / (4x²)

Aplicando la regla del cociente

y’ = [(d/dx)cosx(4x²) – cosx (d/dx)(4x²)] / (4x²)²

⇒ y’ = [(-sinx)(4x²) – cosx (8x)] / (16x⁴)

⇒ y' = [-4x²sinx – 8xcosx] / (16x⁴)

⇒ y’ = [-4x(xsenx + 2cosx)] / (16x⁴)

⇒ y’ = – (x sinx + 2cosx) / (4x³)

Problema 3: Evaluar la derivada f(x) = cosec x + x tan x

Solución:

f(x) = cosec x + x tan x

Aplicando la regla de fórmula y producto.

f'(x) = (d/dx) cosec x + (d /dx) [x tan x]

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + (d /dx) x (tan x) + x (d /dx) (tan x)

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + tan x + xsec²X

Problema 4: Encuentra la derivada de la función f(x) = 6x ⁴ cos x

Solución:

f(x) = 6x⁴cos x

Aplicando la regla del producto

f'(x) = (d/dx) [6x⁴cos x]

⇒ f'(x) = 6[(d/dx) (x⁴)(cos x) + (x⁴) (d/dx)(cos x)]

⇒f'(x) = 6[ 4x³cos x + x⁴(-sin x)]

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⇒f'(x) = 6[ 4x³cos x – x⁴sin x]

⇒f'(x) = 6x³[ 4cos x – x sin x]

Problema 5: Evaluar la derivada: f(x) = (x + cos x) (1 – sen x)

Solución:

f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Aplicando la regla del producto

f'(x) = (d /dx) [(x + cos x) (1 – sen x)]

⇒ f'(x) = [(d /dx) (x + cos x)] (1 – sin x) + (x + cos x) [(d /dx) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(1 – sin x) (1 – sin x)] + [(x + cos x) (0 – cos x)]

⇒ f'(x) = (1 – sin x)²– (x + cos x) cos x

⇒ f'(x) = 1 + sin²x – 2 senx – x cosx – cos²X

Problemas de práctica sobre diferenciación de funciones trigonométricas

Problema 1: Encuentra la derivada de y = sin(x) + cos(x).

Problema 2: Calcula la derivada de y = 2sen(x) – 3cos(x).

Problema 3: Encuentra la derivada de y = 2sen(3x).

Problema 4: Determina la derivada de y = tan(5x).

Problema 5: Encuentra la derivada de y = sin(x) cos(x).

Problema 6: Calcular la derivada de y = cos²(X).

Problema 7: Determinar la derivada de y = tan²(X).

Problema 8: Determine la derivada de y = tan(x) sec(x).

Preguntas frecuentes sobre diferenciación de funciones trigonométricas

¿Qué es la diferenciación?

La diferenciación es una operación matemática que calcula la velocidad a la que una función cambia con respecto a su variable independiente.

¿Qué es la función trigonométrica?

Las funciones trigonométricas son funciones matemáticas que relacionan los ángulos de un triángulo rectángulo con las proporciones de sus lados.

¿Qué son las funciones trigonométricas comunes?

Las funciones trigonométricas comunes incluyen seno (sin), coseno (cos), tangente (tan), cosecante (cosec), secante (sec) y cotangente (cot).

Definir la diferenciación de funciones trigonométricas.

El método para derivar funciones trigonométricas se llama derivación de funciones trigonométricas.

¿Cómo se diferencia la función seno, es decir, sen (x)?

La derivada de sin (x) es cos (x). En notación matemática, d/dx(sin(x)) = cos(x).

¿Qué obtenemos después de la diferenciación de la función coseno, es decir, cos (x)?

La derivada de cos (x) es -sen (x). En notación matemática, d/dx(cos(x)) = -sin(x).

¿Cómo se diferencia la función tangente, es decir, tan (x)?

La derivada de tan(x) es sec.²(x), donde sec(x) es la función secante. En notación matemática, d/dx(tan(x)) = sec²(X).

¿Cuáles son las fórmulas para la diferenciación de funciones trigonométricas?

La fórmula para la derivación de funciones trigonométricas es:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sec²X
• (d/dx) cosec x = -cosec x cot x
• (d/dx) seg x = seg x tan x
• (d/dx) cot x = -cosec²X

Dé un ejemplo de derivación de una función trigonométrica.

Consideremos una función f(x) = 2sen(3x).

Usando la regla de la cadena,

f'(x) = d/dx(2sen(3x))

⇒ f'(x) = 2 cos(3x) × 3

⇒ f'(x) = 6cos(3x)

¿Qué métodos se utilizan para derivar la diferenciación de funciones trigonométricas?

Las diferentes formas en que se puede derivar la fórmula de diferenciación de funciones trigonométricas son:

• Utilizando el primer principio de las derivadas
• Al utilizar el Regla del cociente
• Usando la regla de la cadena

¿Qué es la antidiferenciación de las funciones trigonométricas?

La antidiferenciación de funciones trigonométricas significa encontrar la integración de las funciones trigonométricas.