La regla del cociente es un método para encontrar la derivada de una función que es cociente de otras dos funciones. Es un método utilizado para diferenciar problemas en los que una función se divide por otra. Usamos la regla del cociente cuando tenemos que encontrar la derivada de una función de la forma: f(x)/g(x).

Aprendamos sobre la regla del cociente en cálculo, su fórmula y derivación, con la ayuda de ejemplos resueltos.

Definición de la regla del cociente

La regla del cociente es la regla de diferenciación de aquellas funciones que se dan en forma de fracciones , donde ambos numerador y denominador Son funciones individuales. La Regla del Cociente es una técnica fundamental en cálculo para encontrar la derivada de una función que es el cociente (cociente) de dos funciones diferenciables . Proporciona un método para diferenciar expresiones en las que una función se divide por otra.

Supongamos que tenemos una función f(x) = g(x)/h(x), entonces la diferenciación de f(x), f'(x) se encuentra como,

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f'(x) = [g(x) × h'(x) – h(x) × g'(x)] / [h(x)] ²

Fórmula de la regla del cociente

La fórmula de la regla del cociente es la fórmula utilizada para encontrar la diferenciación de la función que se expresa como función cociente. A continuación se muestra la fórmula de la regla del cociente:

d/dx [u(x)/v(x)] = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Dónde,

• tu(x) es la primera función que es una función diferenciable,
• tu'(x) es la derivada de la función u(x),
• v(x) es la segunda función que es una función diferenciable, y
• v'(x) es la derivada de la función v(x).

Prueba de la regla del cociente

Podemos derivar la regla del cociente utilizando los siguientes métodos:

• Usando la regla de la cadena
• Usando diferenciación implícita
• Uso de propiedades derivadas y límite

Ahora conozcamos sobre ellos en detalle.

Derivación de la regla del cociente mediante la regla de la cadena

Probar: H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Dado: H(x) = f(x)/g(x)

Prueba:

H(x) = f(x)/g(x)

⇒ H(x) = f(x).g(x)^-1

Usando la regla del producto,

H'(x) = f(x). d/dx [g(x)^-1] + g(x)^-1. f'(x)

Aplicando la regla de la potencia,

H'(x) = f(x). (-1)[g(x)^-2.g'(x)] + g(x)^-1. f'(x)

⇒ H'(x) = – [f(x).g'(x)] / g(x)²+ f'(x) / g(x)

H'(x) = [-f(x).g'(x)] + f'(x).g(x)] / g ² (X)

Por tanto, la regla del cociente queda demostrada.

Leer más:

• Cadena de reglas

Derivación de la regla del cociente mediante diferenciación implícita

Tomemos una función diferenciable f(x), tal que f(x) = u(x)/v(x).

u(x) = f(x).v(x)

usando la regla del producto,

u'(x) = f'(x)⋅v(x) + f(x)v'(x)

Ahora resolviendo para f'(x)

f'(x) = [u'(x) – f(x)v'(x)] / v(x)

Sustituyendo el valor de f(x) como, f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = {u'(x) – u(x)/v(x).[v'(x)]}/v(x)

f'(x) = {u'(x)v(x) – u(x).v'(x)} / v ² (X)

Por tanto, la regla del cociente queda demostrada.

Leer más

• Diferenciación implícita

Derivación de la regla del cociente utilizando propiedades derivadas y límite

Tomemos una función diferenciable f(x) tal que f(x) = u(x)/v(x),

Lo sabemos,

f'(x) = límite_h→0[f(x+h) – f(x)] / h

Sustituyendo el valor de f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = límite_h→0[u(x+h)/v(x+h) – u(x)/v(x)] / h

f'(x) = límite_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h.v(x).v(x+h)

Distribuyendo el límite,

f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h}.{lím_h→01/v(x).v(x+h)}

⇒ f'(x) = {lím_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h) + u(x)v(x) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/v(x).v(x)}

⇒ f'(x) = {lím_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x)] / h} {lím_h→0[u(x)v(x+h) – u(x)v(x)] / h}.{ 1 en²(X)}

⇒ f'(x) = v(x){lím_h→0[u(x+h) – u(x)] / h} -u(x) {lím_h→0[-v(x+h) + v(x)] / h}.{ 1 en²(X)}

f'(x) = [v(x).u'(x) – u(x).v'(x)] / v ² (X)

Cuál es la regla del cociente requerido.

Leer más

• Propiedades de los límites
• Reglas de derivados

¿Cómo utilizar la regla del cociente en la diferenciación?

Para aplicar la regla del cociente, seguimos los siguientes pasos,

Paso 1: Escribe las funciones individuales como u(x) y v(x).

Paso 2: Encuentre la derivada de la función individual u(x) y v(x), es decir, encuentre u'(x) y v'(x). Ahora aplica la fórmula de la regla del cociente,

f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Paso 3: Simplifique la ecuación anterior y obtendrá la diferenciación de f(x).

Podemos entender este concepto con la ayuda de un ejemplo.

Ejemplo: Encuentre f'(x) si f(x) = 2x ³ /(x+2)

Dado,

f(x) = 2x³/(x+2)

Comparando con f(x) = u(x)/v(x), obtenemos

• u(x) = 2x³
• v(x) = (x + 2)

Ahora diferenciando u(x) y v(x)

• u'(x) = 6x²
• v'(x) = 1

Usando la regla del cociente,

f'(x) = [v(x)u'(x) – u(x)v'(x)]/[v(x)]²

⇒ f'(x) = [(x+2)·6x²– 2x³•1]/(x + 2)²

⇒f'(x) = (6x³+ 12x²– 2x³)/(x+1)²

⇒f'(x) = (4x³+ 12x²​​​)/(x+1)²

Regla del producto y del cociente

La regla de diferenciación del producto se utiliza para encontrar la diferenciación de una función cuando la función se da como producto de dos funciones.

Regla de diferenciación del producto. afirma que, si P(x) = f(x).g(x)

P'(x) = f(x).g'(x) + f'(x).g(x)

Mientras que el regla de diferenciación del cociente se utiliza para diferenciar una función que se representa como división de dos funciones, es decir, f(x) = p(x)/q(x).

Entonces la derivación de f(x) usando la regla del cociente se calcula como,

f'(x) = {q(x).p'(x) – p(x).q'(x)}/q ² (X)

Debe leer

• Regla del producto en cálculo
• Cadena de reglas
• Fórmula de diferenciación e integración
• Diferenciación logarítmica
• Fundamentos de cálculo
• Aplicación de Derivados

Ejemplos de reglas del cociente

Resolvamos algunos ejemplos de preguntas sobre la regla del cociente.

Ejemplo 1: diferenciar old{y=frac{x^3-x+2}{x^2+5}} .

Solución:

Tanto las funciones de numerador como de denominador son diferenciables.

Aplicando la regla del cociente,

y’=frac {d}{dx}[frac{x^3-5+2}{x^2+5}]

⇒y’= frac{[d/dx(x^3-x+2)(x^2+5)-(x^3-x+2)d/dx(x^2+5)]}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{[(3x^2-1)(x^2+5)-(x^3-x+2)(2x)]}{[x^2+5]^2}=frac{(3x^4+15x^2-x^2-5)-(2x^4-2x^2+4x)}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{x^4+16x^2-4x-5}{[x^2+5]^2}

Ejemplo 2: derivar, f(x) = tan x.

Solución:

tan x se escribe como sinx/cosx, es decir

tan x = (sin x) / (cos x)

Tanto las funciones de numerador como de denominador son diferenciables.

Aplicando la regla del cociente,

f' (x)='frac{(d/dx(sinx))(cosx)-(d/dx(cosx))(sinx)}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{cosx.cosx-(-sinx)(sinx)}{cos^x}' '='

⇒f' (x)='frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{1}{cos^2x}' '='

Ejemplo 3: derivar, f(x)= e ^X /X ²

Solución:

Tanto las funciones de numerador como de denominador son diferenciables.

Aplicando la regla del cociente,

f' (x)='[frac{d/dx(e^x)(x^2)-d/dx(x^2)(e^x)}{x^4}]' '='

⇒f' (x)='frac{e^x.x^2-2xe^x}{x^4}' '='

Ejemplo 4: diferenciar, y=frac{cosx}{x^2}

Solución:

Tanto las funciones de numerador como de denominador son diferenciables.

Aplicando la regla del cociente,

y’=frac{d/dx(cosx)(x^2)-d/dx(x^2)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-sinx(x^2)-(2x)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-(x^2)sinx-(2xcosx)}{x^4}

Ejemplo 5: derivar, f(p) = p+5/p+7

Solución:

Tanto las funciones de numerador como de denominador son diferenciables.

Aplicando la regla del cociente,

f' (p)='d/dx[frac{p+5}{p+7}]' '='

⇒f' (p)='[frac{d/dx(p+5)(p+7)-d/dx(p+7)(p+5)}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{p+7-p-5}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{2}{(p+7)^2}]' '='

Problemas de práctica

Aquí tienes algunos problemas de práctica sobre la regla del cociente para que los resuelvas.

P1. Encuentra la derivada de f(x) = (x ² + 3)/(sin x)

P2. Encuentra la derivada de f(x) = (2x ² + 3x + 5)/(x + 3)

P3. Encuentre la derivada de f(x) = (x + 3)/(ln x)

P4. Encuentre la derivada de f(x) = (x.sen x)/(x ² )

Regla del cociente de la derivada: preguntas frecuentes

¿Qué es la regla de diferenciación del cociente?

La regla de diferenciación del cociente es la regla que se utiliza para encontrar la diferenciación de la función que se da en forma de cociente, es decir, una función dada como la división de dos funciones.

¿Qué es la fórmula de la regla del cociente?

La fórmula de la regla del cociente es,

f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

si no, golpe

Esta fórmula da la diferenciación de la función que se representa como f(x)/g(x).

¿Cómo derivar la fórmula de la regla del cociente?

La regla del cociente se puede derivar utilizando tres métodos,

• Por propiedades derivadas y límite
• Por diferenciación implícita
• Por regla de cadena

¿Cómo utilizar la regla del cociente?

La regla del cociente se utiliza para encontrar la diferenciación de la función expresada como la división de dos funciones que incluye todas las funciones de la forma f(x) y g(x) de modo que exista diferenciación individual de f(x) y g(x). y g(x) nunca puede ser cero.

¿Cómo se encuentra la derivada de una función de división?

La derivada de la función de división se encuentra fácilmente usando la fórmula de la regla del cociente, es decir, si tenemos que encontrar la diferenciación de H(x) de modo que H(x) se exprese como H(x) = f(x)/g(x) entonces su derivada se expresa como,

H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

¿Cuál es la regla del límite del cociente?

La regla del cociente para límites establece que el límite de una función cociente es igual al cociente del límite de cada función.