La derivada de la función trigonométrica inversa se refiere a la tasa de cambio en las funciones trigonométricas inversas. Sabemos que la derivada de una función es la tasa de cambio de una función con respecto a la variable independiente. Antes de aprender esto, conviene conocer las fórmulas de diferenciación de funciones trigonométricas. Para encontrar la derivada de la función trigonométrica inversa, primero equipararemos la función trigonométrica con otra variable para encontrar su inversa y luego la diferenciaremos usando la fórmula de diferenciación implícita.

En este artículo, aprenderemos la D. derivada de funciones trigonométricas inversas, fórmulas de diferenciación de funciones trigonométricas inversas, y Resuelva algunos ejemplos basados ​​​​en él. Pero antes de seguir adelante, repasemos el concepto de i Funciones trigonométricas inversas y diferenciación implícita.

• Funciones trigonométricas inversas
• ¿Qué es la diferenciación implícita?
• ¿Qué es la derivada de funciones trigonométricas inversas?
• Prueba de derivada de funciones trigonométricas inversas
• Fórmula derivada trigonométrica inversa
• Ejemplos de derivada trigonométrica inversa

Funciones trigonométricas inversas

Funciones trigonométricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonométricas, es decir, sin, cos, tan, cot, sec y cosec. Estas funciones se utilizan ampliamente en campos como la física, las matemáticas, la ingeniería y otros campos de investigación. Así como la suma y la resta son inversas entre sí, lo mismo ocurre con la inversa de funciones trigonométricas.

sin θ = x

⇒ yo = s en ⁻¹ X ​

Representación de funciones trigonométricas inversas

Se representan sumando arco en prefijo o sumando -1 a la potencia.

El seno inverso se puede escribir de dos formas:

• sin^-1X
• arcosen x

Lo mismo ocurre con cos y tan.

Nota: No confundas el pecado^-1x con (pecado x)^-1. Ellos son diferentes. Escribir pecado^-1x es una forma de escribir el seno inverso mientras que (sen x)^-1significa 1/sen x.

Dominio de funciones trigonométricas inversas

Sabemos que una función es derivable sólo si es continua en ese punto y si una función es continua en un punto dado, entonces ese punto es el dominio de la función. Por tanto, deberíamos aprender el dominio de las funciones trigonométricas inversas para el mismo.

Ahora aprendamos brevemente la técnica de diferenciación implícita.

¿Qué es la diferenciación implícita?

Diferenciación implícita es un método que hace uso de la regla de la cadena para diferenciar funciones definidas implícitamente. Una función implícita es la función que contiene dos variables en lugar de una variable. En tal caso, a veces podemos convertir la función en una variable explícitamente, pero no siempre es así. Desde entonces, generalmente no es fácil encontrar la función explícitamente y luego diferenciarla. En cambio, podemos diferenciar totalmente f(x, y), es decir, ambas variables y luego resolver el resto de la ecuación para encontrar el valor de f'(x).

Leer en detalle: Cálculo en matemáticas

¿Qué es la derivada de funciones trigonométricas inversas?

La derivada trigonométrica inversa es la derivada de funciones trigonométricas inversas. Hay seis funciones trigonométricas y existe inversa para cada una de estas funciones trigonométricas. estos son pecado^-1x, cos^-1x, tan^-1x, cosec^-1x, segundos^-1x, cuna^-1X. Podemos encontrar la derivada de funciones trigonométricas inversas usando el método de diferenciación implícita. Aprendamos primero cuáles son las derivadas de funciones trigonométricas inversas.

• Derivado del pecado^-1x es d(pecado^-1x)/dx = 1/√(1 – x²) para todo x ϵ (-1, 1)
• Derivada de cos^-1x es d(cos^-1x)/dx = -1/√(1 – x²) para todo x ϵ (-1, 1)
• Derivado del bronceado^-1x es d(bronceado^-1x)/dx = 1/(1 + x²) para todo x ϵ R
• Derivada de cosec^-1x es d(cosec^-1x)/dx = -1/ para todo x ϵ R – [-1, 1]
• Derivada de sec^-1x es d(seg^-1x)/dx = 1/x para todo x ϵ R – [-1, 1]
• Derivado de cuna^-1x es d(cuna^-1x)/dx = -1/(1 + x²) para todo x ϵ R

A continuación se adjunta la imagen de la derivada trigonométrica inversa:

Ahora que hemos aprendido cuáles son las derivadas de las seis funciones trigonométricas inversas, ahora aprenderemos cómo encontrar la derivada de las seis funciones trigonométricas inversas.

Prueba de derivada de funciones trigonométricas inversas

Podemos diferenciar las funciones trigonométricas inversas usando el primer principio y también usando una fórmula de diferenciación implícita que también implica el uso de la regla de la cadena. Encontrar la derivada de funciones trigonométricas inversas utilizando el primer principio es un proceso largo. En este artículo aprendemos cómo diferenciar funciones trigonométricas inversas usando diferenciación implícita. Podemos encontrar la derivada (dy/dx) de funciones trigonométricas inversas siguiendo los siguientes pasos

Paso 1: Suponga las funciones trigonométricas en la forma sen y = x

Paso 2: encuentre la derivada de la función anterior usando diferenciación implícita

Paso 3: Calcular dy/dx

Paso 4: Reemplace el valor de la función trigonométrica presente en el paso 3 usando identidades trigonométricas.

Derivada de sen inversa x

Supongamos sen y = x

Diferenciando ambos lados con respecto a x

⇒ cos y. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/cos y →(i)

Ya que sabemos que el pecado²y + Cos²y = 1

⇒ porque²y = 1 – sin²y

.siguiente java

⇒ cosy = √(1 – sin²y) = √(1 – x²) ya que tenemos sen y = x

Poniendo este valor de cos y en la ecuación (i)

dy/dx = 1/√(1 – x²) donde y = pecado^-1X

Derivada de cos inverso X

Supongamos cos y = x

Diferenciando ambos lados con respecto a x

⇒ -sin y. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/sen y →(i)

Ya que sabemos que el pecado²y + Cos²y = 1

⇒ sin²y = 1 – cos²y

⇒ sin y = √(1 – cos²y) = √(1 – x²) ya que tenemos cos y = x

Poniendo este valor de sen y en la ecuación (i)

dy/dx = -1/√(1 – x²) donde y = cos^-1X

Derivada de tan inversa X

Supongamos tan y = x

Diferenciando ambos lados con respecto a x

⇒ seg²y. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/seg²y →(i)

Ya que sabemos que segundo²y – tan²y = 1

⇒ seg²y = 1 + tan²y

⇒ seg²y = (1 + tan²y) = (1 + x²) ya que tenemos tan y = x

Poniendo este valor de seg²y en la ecuación (i)

dy/dx = 1/(1 + x²) donde y = tan^-1X

Derivada de cot inversa X

Supongamos cot y = x

Diferenciando ambos lados con respecto a x

⇒ -cosec²y. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec²y →(i)

Ya que sabemos que csec²y – cot²y = 1

⇒ cosec²y = 1 + cot²y

⇒ cosec²y = (1 + cot²y) = (1 + x²) ya que tenemos cot y = x

Poniendo este valor de cosec²y en la ecuación (i)

dy/dx = -1/(1 + x²) donde y = cuna^-1X

Derivada de sec inversa X

Supongamos sec y = x

Diferenciando ambos lados con respecto a x

⇒ sec y.tan y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/sec y.tan y →(i)

cadena java a carbón

Ya que sabemos que segundo²y – tan²y = 1

⇒ tan²y = sec²y – 1

⇒ tan y = √(sec²y – 1) = √(x²– 1)como tenemos sec y = x

Poniendo este valor de tan y en la ecuación (i)

dy/dx = 1/x donde sec y = x e y = sec^-1X

Derivada de cosec inversa X

Supongamos cosec y = x

Diferenciando ambos lados con respecto a x

⇒ -cosec y.cot y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec y.cot y →(i)

Como sabemos que cosec²y – cot²y = 1

⇒ cuna²y = cosec²y – 1

⇒ cot y = √(cosec²y – 1) = √(x²– 1)como tenemos cosec y = x

Poniendo este valor de tan y en la ecuación (i)

dy/dx = -1/x donde cosec y = x e y = cosec^-1X

Fórmula derivada trigonométrica inversa

Ahora hemos aprendido a diferenciar las funciones trigonométricas inversas, por eso veremos las fórmulas para la derivada de las funciones trigonométricas inversas que se pueden usar directamente en los problemas. A continuación se muestra la tabla de derivada de la fórmula de la función trigonométrica inversa.

Leer más,

• Derivada en forma paramétrica
• Fórmulas derivadas
• Aplicación de Derivado
• Derivada de la función exponencial

Ejemplos de derivada trigonométrica inversa

Ejemplo 1: diferenciar el pecado ^-1 (X)?

Solución:

Dejar, y = sin ⁻¹( X )

Tomando seno en ambos lados de la ecuación se obtiene,

sin y = sin(sin^-1X)

Por la propiedad de la trigonometría inversa sabemos que sen(sin^-1x) = x

sin y = x

Ahora diferenciando ambos lados respecto de x,

d/dx{sen y} = d/dx{x}

{cos y}.dy/dx = 1

dy/dx = 1/ {cos y}

Podemos simplificarlo más utilizando la siguiente observación:

sin²y + cos²y = 1

X²+ porque²y = 1 {As sin y = x}

porque²y = 1-x²

cos y = √(1 – x²)

Sustituyendo el valor obtenemos

dy/dx = 1/{cos y}

⇒ dy/dx = 1/√(1 – x²)

Ejemplo 2: diferenciar cos ^-1 (X)?

Solución:

Dejar,

y = porque⁻¹( X )

Tomando coseno en ambos lados de la ecuación se obtiene,

cos y = cos(cos^-1X)

Por la propiedad de la trigonometría inversa sabemos que cos(cos^-1x) = x

cos (y) = x

Ahora diferenciando ambos lados respecto de x,

d/dx{cos y} = d/dx{x}

{-sin y}.dy/dx = 1

dy/dx = -1/sin y

Podemos simplificarlo más utilizando la siguiente observación:

sin²y + cos²y = 1

sin²y + x²= 1 {As cos y = x}

sin²y = 1-x²

sin y = √(1 – x²)

Sustituyendo el valor obtenemos

dy/dx = -1/{sin y}

⇒ dy/dx = -1/√(1 – x²)

Ejemplo 3: diferenciar el bronceado ^-1 (X)?

Solución:

Dejar, y = tan⁻¹( X )

Tomando tan en ambos lados de la ecuación se obtiene,

tan y = tan(tan^-1X)

Por la propiedad de la trigonometría inversa sabemos que tan(tan^-1x) = x

tan y = x

Ahora diferenciando ambos lados respecto de x,

d/dx{sen y} = d/dx{x}

segundo²(x).dy/dx= 1

dy/dx = 1/seg²X

Podemos simplificarlo más utilizando la siguiente observación:

segundo²y – tan²y = 1

segundo²y – x²= 1

segundo²y = 1 + x²

Sustituyendo el valor obtenemos

dy/dx = 1/seg²y

dy/dx = 1/(1 + x²)

Example 4: y = cos ^-1 (-2x ² ). ¿Encontrar dy/dx en x = 1/2?

Solución:

Método 1 (usando diferenciación implícita)

Dado, y = porque ⁻¹(−2 X ²)

⇒ porque y = −2 X ²

Diferenciando ambos lados frente a x

d/dx{cos y} = d/dx{-2x²}

{-sen y}.dy/dx = -4x

dy/dx = 4x/sen y

Simplificando

cómo actualizar en java

sin²y + cos²y = 1

sin²y + (-2x²)²= 1 {As cos y = -2x²}

sin²y + 4x⁴= 1

sin²y = 1 – 4x⁴

sin y = √(1 – 4x⁴)

Poniendo el valor obtenido obtenemos,

dy/dx = 4x/√{1 – 4x⁴}

⇒ dy/dx = 4(1/2)/√{1 – 4(1/2)⁴}

⇒ dy/dx = 2/√{1 – 1/4}

⇒ dy/dx = 2/√{3/4}

⇒dy/dx = 4/√3

Método 2 (Usando la regla de la cadena ya que conocemos la diferenciación de cos inverso x)

Dado, y = porque ⁻¹(−2 X ²)

Diferenciando ambos lados frente a x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &=frac{d}{dx} cos^{-1}(-2x^2) &=frac{-1}{sqrt{1-(-2x^2)^2}} . (-4x) &=frac{4x}{sqrt{1-4x^4}} &=frac{4(frac{1}{2})}{sqrt{1-4(frac{1}{2})^4}} &=frac{2}{sqrt{1-frac{1}{4}}} &=frac{4}{sqrt{3}} end{aligned}

Ejemplo 5: diferenciar egin{aligned}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Soluciones:

Dejar,

egin{aligned} y = sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Diferenciando ambos lados frente a x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &= frac{d}{dx}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1}{sqrt{1-(frac{1-x}{1+x})^2}} . frac{d}{dx}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1+x}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} &= frac{1}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{1}{sqrt{4x}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{-1}{sqrt{x}(1+x)} end{aligned}

Preguntas sobre derivadas trigonométricas inversas

Pruebe las siguientes preguntas sobre preguntas derivadas trigonométricas inversas

P1: Diferenciar el pecado ^-1 (3x – 4x ³ ) para x ϵ -1/2