La derivada de Arcsin x es d/dx(arcossen x) = 1/√1-x² . Se denota por d/dx(arcsin x) o d/dx(sin^-1X). La derivada de Arcsin se refiere al proceso de encontrar la tasa de cambio en la función Arcsin x con respecto a la variable independiente. La derivada de Arcsin x también se conoce como diferenciación de Arcsin.

En este artículo, aprenderemos sobre la derivada de Arcsin y su fórmula, incluida la prueba de la fórmula utilizando el primer principio de las derivadas, la regla del cociente y el método de la regla de la cadena.

Tabla de contenidos

• ¿Qué es la derivada en matemáticas?
• ¿Qué es la derivada de Arcsin x?
• Prueba de derivada de Arcsin x
• Ejemplos resueltos sobre la derivada de Arcsin x

¿Qué es la derivada en matemáticas?

Derivado de una función es la tasa de cambio de la función con respecto a cualquier variable independiente. La derivada de una función f(x) se denota como f'(x) o (d /dx)[f(x)]. La derivación de una función trigonométrica se llama derivada de la función trigonométrica o derivadas trigonométricas. La derivada de una función f(x) se define como:

f'(x ₀ ) = límite _h→0 [f(x) ₀ + h) – f(x ₀ )] / h

¿Qué es la derivada de Arcsin x?

Entre el derivadas trigonométricas inversas , la derivada del Arcsen x es una de las derivadas. La derivada de la función arcosen representa la velocidad a la que cambia la curva arcsen en un punto dado. Se denota por d/dx(arcsin x) o d/dx(sin^-1X). Arcsinx también se conoce como sen x inverso.

La derivada del Arcosen x es 1/√1-x²

Derivada de Arcsin x Fórmula

La fórmula para la derivada de Arcsen x viene dada por:

(d/dx) [Arcoseno x] = 1/√1-x²

O

(Arcoseno x)’ = 1/√1-x²

Compruebe también, Inverso Funcion trigonometrica

Prueba de derivada de Arcsin x

La derivada de tan x se puede demostrar de la siguiente manera:

• Usando la regla de la cadena
• Utilizando el primer principio de la derivada

Derivada del arcoseno por regla de la cadena

Para demostrar la derivada de Arcsin x mediante la regla de la cadena, usaremos la fórmula trigonométrica básica y trigonométrica inversa:

• sin²y + cos²y = 1
• sin (arcsin x) = x

Aquí está la prueba de la derivada de Arcsin x:

Let y = arcsinx

Tomando el pecado en ambos lados

siny = pecado(arcsinx)

Por la definición de función inversa, tenemos,

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sin(arcsinx) = x

Entonces la ecuación se vuelve siny = x …..(1)

Diferenciando ambos lados con respecto a x,

d/dx (siny) = d/dx (x)

acogedor · d/dx(y) = 1 [ As d/dx(sen x) = cos x]

dy/dx = 1/acogedor

Usando una de las identidades trigonométricas

sin²y+cos²y = 1

∴ cos y = √1 – sin²y = √1–x²[De (1) tenemos sen = x]

dy/dx = 1/√(1–x²)

Substituting y = arcsin x

d/dx (arcsinx) = arcsin′x = 1/√1 – x ²

Compruebe también, Cadena de reglas

Derivada del arcoseno por primer principio

Para demostrar la derivada de arcosen x usando Primer principio de la derivada , usaremos límites básicos y fórmulas trigonométricas los cuales se enumeran a continuación:

• sin²y+cos²y = 1

• Lim_x→0x/senx = 1

• sin A – sin B = 2 sin [(A – B)/2] cos [(A + B)/2]

Podemos probar la derivada del arcosen mediante el primer principio siguiendo los siguientes pasos:

Sea f(x) = arcosenx

Por el primer principio tenemos

frac{d f( x)}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{f (x + h)- f(x)}{h}

ponemos f(x) = arcsinx, obtenemos

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{h o 0} frac{arcsin (x + h)- arcsin x}{h}….(1)

Supongamos que arcosen (x + h) = A y arcsen x = B

Entonces tenemos,

sin A = x+h …..(2)

sin B = x …….(3)

Restamos (3) de (2), tenemos

sin A – sinB = (x+h) – x

senoA – senB = h

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Si h → 0, (sen A – sen B) → 0

pecado A → pecado B o A → B

Sustituya estos valores en la ecuación (1)

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{A o B} frac{A- B}{Sin A- Sin B}

Usando sen A – sen B = 2 sin [(A – B)/2] cos [(A + B)/2], obtenemos

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{A o B} frac{A- B}{2Cos frac{A+B}{2}- 2 Sin frac{A-B}{2}}

que se puede escribir como:

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{A o B} frac{frac{A- B}{2}}{Sin frac{A-B}{2}} imes frac{1}{Cos frac{A+B}{2}}

Ahora sabemos lim_x→0x/senx = 1, por lo tanto la ecuación anterior cambia a

frac{d}{dx}(arcsin x) ={1} imes frac{1}{Cos frac{B+B}{2}}

frac{d}{dx}(arcsin x) =frac{1}{Cos {B}}

Usando una de las identidades trigonométricas

sin²y+cos²y = 1

∴ cos B = √1 – sin²segundo = √1–x²[Pecado B = x de (3)]

f′(x) = dy/dx = 1 / √(1–x²)

Además, consulte

• Derivada de la función trigonométrica
• Fórmula de diferenciación
• Derivado de Arctan x
• Derivada de funciones inversas

Ejemplos resueltos sobre la derivada de Arcsin x

Ejemplo 1: Encuentre la derivada de y = arcosen (3x).

ubicación df

Solución:

Sea f(x) = arcosen (3x).

Sabemos que d/dx (arcossen x) = 1/√1 – x².

Por regla de la cadena,

d/dx(arcsin(3x)) = 1/√(1 – (3x)² · d/dx (3x)

= 1/ √(1 -9x²) · (3)

= 3/√(1 -9x²)

Por tanto, la derivada de y = arcosen (3x) es 3/√(1 -9x²).

Ejemplo 2: Encuentre la derivada de y = arcosen (1/2x).

Solución:

Sea f(x) = arcosen (1/2x).

Sabemos que d/dx (arcossen x) = 1/√1 – x².

Por regla de la cadena,

d/dx(arcsen(1/2x)) = 1/√(1 – (1/2x)² · d/dx (1/2x)

= 1/ √(1 -(1/4x²) )· (-1/2x²)

= 1/√(4x²– 1)/4x²· (-1/2x²)

= -1/x√4x²– 1

Por lo tanto, la derivada de y = arcsen (1/x) es -1/x√4x²– 1.

Ejemplo 3: Encuentre la derivada de y = x arcosen x.

Solución:

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Tenemos y = x arcosen x.

d/dx(arcsen(1/x)) = x · d/dx (arcsen x) + arcsen x · d/dx (x)

= x [1/√1-x²] + arcosen x (1)

= x/√1-x² + arcosen x
Por lo tanto, la derivada de y = arcsin (1/x) es x/√1-x² + arcsin x

Preguntas de práctica sobre la derivada de Sin x

P1. Encuentra la derivada de arcosen(5x).

P2. Encuentra la derivada de x³arcosin(x).

P3. Evaluar: d/dx [ arcsin(x) / x²+ 1 ]

P4. Evaluar la derivada de arcsin(x) – tan(x)

Preguntas frecuentes sobre el derivado de Arcsin

¿Qué es la derivada de Arcsin?

La derivada del Arcosen x es 1/√1-x²

¿Qué es derivada en matemáticas?

En matemáticas, la derivada mide cómo cambia una función a medida que cambia su entrada (variable independiente). La derivada de una función f(x) se denota como f'(x) o (d /dx)[f(x)].

¿Qué es la derivada de arcsin(1/x)?

La derivada del arcosen(1/x) es (-1) / (x√x² – 1).

¿Qué es derivada?

La derivada de una función se define como la tasa de cambio de la función con respecto a una variable independiente.

¿Qué es la derivada del pecado x?

La derivada de sen x es cos x.