Volumen de cono Se puede definir como el espacio que ocupa el cono. Como sabemos, el cono es una forma geométrica tridimensional que tiene una base circular y un único vértice (vértice).

Aprendamos sobre el volumen del cono en detalle, incluida su fórmula, ejemplos y fruto del cono.

¿Qué es el volumen del cono?

El volumen de un cono se define como la cantidad de espacio o capacidad que llena. El volumen de un cono se mide en unidades cúbicas como cm.³, metro³, en³, etcétera. Al girar un triángulo alrededor de cualquiera de sus vértices se puede formar un cono. El volumen de un cono también se puede medir en litros.

• Un cono se puede dividir en dos tipos: conos circulares rectos y conos oblicuos.
• El vértice de la cono circular recto está verticalmente sobre el centro de la base, pero el vértice del cono oblicuo no está verticalmente sobre el centro de la base.

Fórmula del volumen del cono

Un cono es una forma sólida tridimensional que tiene una base circular. Tiene una superficie curva. La altura perpendicular es la distancia desde la base hasta el vértice.

Fórmula del volumen del cono:

V = 1/3 πr²h

Dónde,

• r es el radio del cono
• h es el radio del cono
• Pi es constante con valor 22/7 o 3.14

Altura inclinada del cono

La altura inclinada del cono es la distancia desde su vértice (punto superior) hasta cualquier punto del perímetro de su base circular. Es la distancia en línea recta a lo largo de la superficie lateral, no a través del interior del cono.

Altura inclinada de un cono se puede derivar usando la Teorema de Pitágoras ,

h²+r²=L²

h = √(L²–r²)

Volumen del cono en términos de altura inclinada

Para un cono con altura 'h' y radio 'r', la altura inclinada 'L' del cono viene dada por la fórmula,

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h²+r²=L²

h = √(L²–r²)…(i)

Entonces el volumen del cono en términos de altura inclinada es,

V = (1/3)πr²Hola yo)

Usando el valor de h en la ecuación (ii), obtenemos la fórmula para el volumen del cono como,

V = (1/3)πr ² √(l ² –r ² )

Volumen de derivación del cono

Supongamos que tenemos un cono de base circular cuyo el radio es r y la altura es h.

Sabemos que el volumen de un cono es igual a un tercio del volumen de un cilindro que tiene el mismo radio de base y altura.

Entonces, el volumen se vuelve,

V = 1/3 × Área de base circular × Altura

V = 1/3 × πr²× h

V = πr²h/3

De esto se deriva la fórmula para el volumen de un cono.

¿Cómo encontrar el volumen del cono?

Consideremos un ejemplo para determinar el volumen de un cono.

Ejemplo: Determine el volumen de un cono si el radio de su base circular es de 3 cm y la altura es de 5 cm.

Paso 1: Tenga en cuenta el radio de la base circular (r) y la altura del cono (h).

Aquí, el radio es de 3 cm y la altura es de 5 cm.

Paso 2: Calcular el área de la base circular = πr². Sustituya el valor de r y π en la ecuación dada,

es decir, 3,14 × (3)²= 28,26 centímetros².

Paso 3: Sabemos que el volumen de un cono es (1/3) × (área de la base circular) × altura del cono.

Luego, sustituye los valores en la ecuación = (1/3) × 28,26 × 5 = 47,1 cm³.

Etapa 4: Por tanto, el volumen del cono dado es 47,1 cm.³.

Usando los pasos discutidos anteriormente, se puede calcular el volumen de un cono.

Volumen del cono con altura y radio

El volumen del cono si se dan su altura (h) y radio (r) se calcula mediante la fórmula,

V = (1/3)πr ² h unidades cúbicas

Volumen del cono con altura y diámetro.

El volumen del cono cuando se dan el diámetro y la altura del cono se calcula a continuación. Supongamos que tenemos un cono de radio r y diámetro d.

Entonces el radio de la base es la mitad del diámetro de la base, es decir r = d/2

El volumen del cono, si se dan su altura (h) y diámetro (d), se calcula mediante la fórmula,

V = (1/12)πd ² h unidades cúbicas

Volumen del cono (si se duplican el radio y la altura)

Suponer,

• Radio del Cono (r) = 2r
• Altura del Cono (h) = 2h

Entonces el volumen de un cono está dado como,

Volumen de un cono = (1/3)π(2r)²(2h) unidades cúbicas

V = (⅓)π(4r²)(2h)

V = (8/3)πr ² h

De este modo, El volumen de un cono es 8 veces el volumen original. es decir, V = (8/3)πr²h, cuando su radio y su altura se duplican.

Volumen del cono (si el radio y la altura se reducen a la mitad)

Supongamos,

• Radio del cono (r) = r/2
• Altura del Cono (h) = h/2

Entonces el volumen de un cono está dado como,

Volumen de un cono = (1/3)π(r/2)²(h/2) unidades cúbicas

V = (1/3)π(r²/4)(h/2)

V = (1/24)πr ² h

vba

Por lo tanto, el volumen de un cono se convierte en 1/8 del volumen original, es decir, V = (1/24)πr²h, cuando su radio y su altura se reducen a la mitad.

Pedazo de cono

Frustum es la parte cortada de un cono, y el volumen del tronco del cono es la cantidad de líquido que cualquier tronco puede contener.

Entonces para calcular el volumen necesitamos encontrar la diferencia en los volúmenes de dos conos.

Volumen del trozo de cono

La fórmula del volumen del tronco de un cono se obtiene restando el volumen del cono más pequeño del más grande.

De la figura anterior, tenemos,

• Altura total H’ = H + h
• Altura inclinada L = l₁+ yo₂
• Radio del cono = r
• Radio del cono cortado = r’

Ahora el volumen del cono más grande = 1/3 π r²H' = 1/3 π r²(H+h)

Volumen del cono más pequeño = 1/3 π(r’)²h. El volumen del tronco se puede calcular por la diferencia entre los dos conos, es decir

Volumen de pieza = 1/3 π r²H' -1/3 π(r')²h

V = 1/3π r²(H+h) – 1/3 π(r’)²h

v = 1/3 π [ r²(H+h) – (r’)²h ] ………(1)

Usando las propiedades de triángulos semejantes en Δ QPS y Δ QAB. tenemos,

r/ r’ = H+h / h

H+h = (rh)/r'

Sustituyendo el valor de H+h en la fórmula por el volumen del frustum obtenemos,

Volumen de Pieza = 1/3 π [r²(rh/r’) – (r’)²h]

V = 1/3 π [r³h/r’ – (r’)²h]

V = 1/3 π h (r³/r – (r’)²)

V = 1/3 π h [{r³– (r’)³}/r]

Volumen del trozo de cono = 1/3 π h [{r ³ – (r’) ³ }/r]

Dónde,

• r es el radio de la base inferior del fruto del cono
• r' es el radio de la base superior del fruto del cono
• h es la altura del cono más pequeño
• Pi es constante con valor 22/7 o 3.14

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Ejemplos resueltos sobre el volumen del cono

Resolvamos algunas preguntas sobre las fórmulas del volumen del cono.

Ejemplo 1. Encuentra el volumen de un cono para un radio de 7 cm y una altura de 14 cm.

Solución:

Tenemos,

• r = 7
• h = 14

Volumen del cono = 1/3 πr²h

V = (1/3) (22/7) (7) (7) (14)

V = (1/3) (7) (7) (2)

Alto = 32,66 cm³

Ejemplo 2. Encuentra el volumen de un cono para un radio de 5 cm y altura de 9 cm.

Solución:

Tenemos,

• r = 5
• h = 9

Volumen del cono = 1/3 πr²h

V = (1/3) (3,14) (5) (5) (9)

V = (3,14) (5) (5) (3)

Altura = 235,49 cm³

Ejemplo 3. Encuentra el volumen de un cono para un radio de 7 cm y altura de 12 cm.

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Solución:

Tenemos,

• r = 7
• h = 12

Volumen del cono = 1/3 πr²h

V = (1/3) (22/7) (7) (7) (12)

V = (22) (7) (4)

Altura = 616 cm³

Ejemplo 4. Encuentra el volumen de un cono para un radio de 8 cm y altura de 15 cm.

Solución:

Tenemos,

• r = 8
• h = 15

Volumen del cono = 1/3 πr²h

V = (1/3) (22/7) (8) (8) (15)

V = (1/3) (22/7) (8) (8) (5)

Altura = 335,02 cm³

Preguntas de práctica sobre el volumen del cono

P1. Encuentra el radio de un cono si su volumen es de 121 cm. ² y su altura es de 2 cm.

P2. Encuentre el volumen de un cono para una altura de 12 cm y una altura inclinada de 7 cm.

P3. Calcula el volumen de un cono cuya altura es de 21 cm y el diámetro de la base es de 12 cm.

P4. Calcula el volumen de un cono de 12 cm de radio y 5 cm de altura.

Volumen del cono – Preguntas frecuentes

Definir el volumen del cono.

El volumen de un cono se define como la capacidad total de líquido que un cono puede contener en 3 dimensiones. Es el espacio total ocupado por el cono.

¿Qué es la fórmula del volumen del cono?

El volumen de un cono viene dado por la siguiente fórmula,

Volumen del cono = ⅓ πr ² h unidades cúbicas.

¿Cómo encontrar el volumen del cono con altura inclinada?

El volumen del cono si se da su altura inclinada (L) y su radio (r) se calcula mediante la fórmula, V = (1/3)πr ² √(l ² –r ² )

¿Cuál es la fórmula del área de superficie total (TSA) del cono?

El área de superficie total de un cono viene dada por la fórmula, TSA del Cono = πr(l + r) unidades cuadradas .

¿Cuál es la relación entre el volumen del cilindro y el cono?

EN El volumen del cono es 1/3 del volumen del cilindro.

¿Qué es la fórmula de la altura inclinada del cono?

La altura inclinada (l) de un cono se calcula mediante la fórmula, l = √(h ² +r ² ) .

¿Cuál es el volumen del cono, si se dan la altura y el diámetro?

El volumen del cono si se dan su altura (h) y el diámetro de la base (d) es, V = (1/12)πd ² h unidades cúbicas .

¿Cómo encontrar el volumen de líquido en el cono?

El volumen de líquido dentro del cono se calcula utilizando la fórmula del volumen del cono agregada anteriormente.