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Triángulos similares

Triángulos similares Son triángulos que tienen la misma forma pero pueden tener tamaños variables. Los triángulos semejantes tienen lados correspondientes proporcionales entre sí y ángulos correspondientes iguales entre sí. Los triángulos semejantes se diferencian de los triángulos congruentes. Dos figuras congruentes siempre son semejantes, pero dos figuras semejantes no tienen por qué ser congruentes.

Dos triángulos se consideran semejantes cuando sus ángulos correspondientes coinciden y sus lados son proporcionales. Esto significa que triángulos semejantes tienen la misma forma, aunque sus tamaños pueden diferir. Por otro lado, los triángulos se definen como congruentes cuando no solo comparten la misma forma sino que también tienen lados correspondientes de idéntica longitud.



Ahora, aprendamos más sobre triángulos semejantes y sus propiedades con ejemplos resueltos y otros en detalle en este artículo.

Tabla de contenidos

¿Cuáles son similares? ¿Triangulos?

Los triángulos semejantes son triángulos que se parecen entre sí, pero sus tamaños pueden ser diferentes. Objetos similares tienen la misma forma pero diferentes tamaños. Esto implica que formas similares, cuando se magnifican o desmagnifican, deben superponerse unas a otras. Esta propiedad de formas similares se conoce como Semejanza .



Hay tres teoremas de triángulos semejantes:

  • AA (o AAA) o teorema de similitud ángulo-ángulo
  • Teorema de similitud SAS o lado-ángulo-lado
  • SSS o teorema de similitud lado-lado-lado

Definición de triángulos semejantes

Dos triángulos se llaman semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y los lados correspondientes están en la misma proporción. Los ángulos correspondientes de dos triángulos semejantes deben ser iguales. Triángulos similares pueden tener diferentes longitudes respectivas de los lados del triángulo, pero la proporción de las longitudes de los lados correspondientes debe ser la misma.

Cuando dos triángulos son semejantes implica que:



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  • Todos los pares de ángulos correspondientes en los triángulos son iguales.
  • Todos los pares de lados correspondientes del triángulo son proporcionales.

El símbolo ∼ se utiliza para representar la similitud entre triángulos similares. Entonces, cuando dos triángulos son semejantes, lo escribimos como △ABC ∼ △DEF.

Ejemplos de triángulos semejantes

Varios ejemplos de triángulos similares son:

  • Si tomamos dos triángulos que tienen lados en la misma proporción, entonces son triángulos semejantes.
  • Los mástiles y sus sombras representan triángulos similares.

Los triángulos que se muestran en la imagen a continuación son similares y los representamos como △ABC ∼ △PQR.

Triángulos similares

Teorema básico de proporcionalidad (teorema de Tales)

El teorema básico de proporcionalidad, también conocido como teorema de Tales, es un concepto fundamental en geometría que se relaciona con la similitud de los triángulos. Afirma que si se traza una línea paralela a un lado de un triángulo, divide proporcionalmente los otros dos lados. En términos más simples, si una línea paralela a un lado de un triángulo corta los otros dos lados, divide esos lados proporcionalmente.

Matemáticamente, si se traza una línea DE paralela a un lado del triángulo ABC, que corta los lados AB y AC en los puntos D y E respectivamente, entonces, de acuerdo con el Teorema Básico de Proporcionalidad:

BD/DA = CE/ELLA

Este teorema es consecuencia de la similitud de los triángulos formados por la recta paralela y los lados del triángulo original. Específicamente, los triángulos ADE y ABC, así como los triángulos ADC y AEB, son similares debido a que los ángulos correspondientes son iguales. En consecuencia, las razones de los lados correspondientes en triángulos similares son iguales, lo que lleva a la relación de proporcionalidad descrita por el Teorema básico de proporcionalidad.

El teorema básico de proporcionalidad se usa ampliamente en geometría y trigonometría para resolver diversos problemas que involucran líneas paralelas y triángulos. Sirve como principio fundamental para comprender las propiedades de triángulos semejantes y las relaciones entre sus lados y ángulos correspondientes. Además, forma la base para conceptos más avanzados en geometría, como el Teorema de líneas paralelas y aplicaciones en diversas construcciones y demostraciones geométricas.

Criterios de triángulos similares

Si dos triángulos son semejantes deben cumplir una de las siguientes reglas,

  • Dos pares de ángulos correspondientes son iguales. (Regla AA)
  • Tres pares de lados correspondientes son proporcionales. (Regla SSS)
  • Dos pares de lados correspondientes son proporcionales y los ángulos correspondientes entre ellos son iguales. (Regla SAS)

Leer en detalle: Criterios para triángulos semejantes

Fórmula de triángulos semejantes

En la última sección, estudiamos dos condiciones mediante las cuales podemos verificar si los triángulos dados son similares o no. Las condiciones son cuando dos triángulos son semejantes; sus ángulos correspondientes son iguales, o los lados correspondientes están proporcionados. Usando cualquiera de las condiciones, podemos demostrar que △PQR y △XYZ son similares a partir del siguiente conjunto de fórmulas de triángulos similares.

Fórmula para triángulos semejantes en geometría

En △PQR y △XYZ si,

  1. ∠P = ∠X , ∠Q = ∠Y, ∠R = ∠Z
  2. PQ/XY = QR/YZ = RP/ZX

Los dos triángulos anteriores son similares, es decir, △PQR ∼ △XYZ.

Reglas de triángulos similares

Los teoremas de semejanza nos ayudan a encontrar si dos triángulos son similares o no. Cuando no tenemos la medida de los ángulos o los lados de los triángulos, utilizamos los teoremas de semejanza.

Hay tres tipos principales de reglas de similitud, como se detalla a continuación:

  • AA (o AAA) o teorema de similitud ángulo-ángulo
  • Teorema de similitud SAS o lado-ángulo-lado
  • SSS o teorema de similitud lado-lado-lado

Teorema de similitud ángulo-ángulo (AA) o AAA

El criterio de similitud establece que si dos ángulos cualesquiera en un triángulo son respectivamente iguales a dos ángulos cualesquiera de otro triángulo, entonces deben ser triángulos similares. Una regla de semejanza se aplica fácilmente cuando solo conocemos la medida de los ángulos y no tenemos idea de la longitud de los lados del triángulo.

En la imagen que se muestra a continuación, si se sabe que ∠B = ∠G y ∠C = ∠F:

Y podemos decir que según el criterio de similitud AA, △ABC y △EGF son similares o △ABC ∼ △EGF.

⇒AB/EG = BC/GF = AC/EF y ∠A = ∠E.

Teorema de similitud lado-ángulo-lado o SAS

Según el teorema de similitud de SAS, si dos lados cualesquiera del primer triángulo están en proporción exacta a los dos lados del segundo triángulo y el ángulo formado por estos dos lados de los triángulos individuales es igual, entonces deben ser triángulos similares. Esta regla se aplica generalmente cuando sólo conocemos la medida de dos lados y el ángulo formado entre esos dos lados en ambos triángulos respectivamente.

En la imagen de abajo, si se sabe que AB/DE = AC/DF, y ∠A = ∠D

Y podemos decir que según el criterio de similitud de SAS, △ABC y △DEF son similares o △ABC ∼ △DEF.

Teorema de similitud lado-lado-lado o SSS

Según el teorema de similitud SSS, dos triángulos serán similares entre sí si la proporción correspondiente de todos los lados de los dos triángulos es igual. Este criterio se usa comúnmente cuando solo tenemos la medida de los lados del triángulo y tenemos menos información sobre los ángulos del triángulo.

En la imagen que se muestra a continuación, si se sabe que PQ/ED = PR/EF = QR/DF

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Y podemos decir que según el criterio de similitud SSS, △PQR y △EDF son similares o △PQR ∼ △EDF.

Propiedades de triángulos similares

Los triángulos semejantes tienen varias propiedades que se utilizan ampliamente para resolver diversos problemas geométricos. Algunas de las propiedades comunes de triángulos semejantes:

  • La forma de triángulos semejantes es fija pero sus tamaños pueden ser diferentes.
  • Los ángulos correspondientes de triángulos semejantes son iguales.
  • Los lados correspondientes de triángulos semejantes están en proporciones comunes.
  • La razón del área de triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón de su lado correspondiente.

¿Cómo encontrar triángulos semejantes?

Se puede demostrar que dos triángulos dados son triángulos similares utilizando los teoremas dados anteriormente. Podemos seguir los pasos que se indican a continuación para comprobar si los triángulos dados son similares o no:

Paso 1: Anota las dimensiones dadas de los triángulos (lados correspondientes o ángulos correspondientes).

Paso 2: Compruebe si estas dimensiones siguen alguna de las condiciones de los teoremas de triángulos similares (AA, SSS, SAS).

Paso 3 : Los triángulos dados, si satisfacen alguno de los teoremas de similitud, se pueden representar usando ∼ para denotar similitud.

Esto se puede entender mejor con la ayuda del siguiente ejemplo:

Ejemplo: Verifique si △ABC y △PQR son triángulos semejantes o no usando los datos dados: ∠A = 65°, ∠B = 70º y ∠P = 70°, ∠R = 45°.

Usando una medida dada de ángulos, no podemos concluir si los triángulos dados siguen el criterio de similitud AA o no. Encontremos la medida del tercer ángulo y evaluémoslo.

Sabemos, usando la propiedad de la suma de ángulos de un triángulo, ∠C en △ABC = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – 135° = 45°

De manera similar, ∠Q en △PQR = 180° – (∠P + ∠R) = 180° – 115° = 65°

Por lo tanto, podemos concluir que en △ABC y △PQR,

∠A = ∠Q, ∠B = ∠P y ∠C = R

△ABC ∼ △QPR

Área de triángulos semejantes – Teorema

El teorema del área de triángulos similares establece que para dos triángulos similares la razón del área de los triángulos es proporcional al cuadrado de la razón de sus lados correspondientes. Supongamos que tenemos dos triángulos semejantes, ΔABC y ΔPQR, entonces

Según el teorema del triángulo similar:

(Área de ΔABC)/(Área de ΔPQR) = (AB/PQ) 2 = (BC/QR) 2 = (CA/PR) 2

Diferencia entre triángulos semejantes y triángulos congruentes

Los triángulos semejantes y los triángulos congruentes son dos tipos de triángulos que se utilizan ampliamente en geometría para resolver diversos problemas. Cada tipo de triángulo tiene diferentes propiedades y la diferencia básica entre ellos se analiza en la siguiente tabla.

Triángulos similares

Triángulos congruentes
Los triángulos semejantes son triángulos que tienen ángulos correspondientes iguales. Los triángulos congruentes son triángulos que tienen ángulos correspondientes iguales y lados correspondientes iguales.
Triángulos semejantes tienen la misma forma pero sus tamaños pueden ser iguales o no. Los triángulos congruentes tienen el mismo tamaño y la misma área.
Los triángulos similares no son imágenes superpuestas entre sí hasta que se magnifican o demagnifican. Los triángulos congruentes son imágenes superpuestas entre sí si se organizan en la orientación adecuada.
Los triángulos semejantes se representan con la ‘~’ símbolo. Los triángulos congruentes se representan con el ' ≅ ' símbolo.
Sus lados correspondientes están en la proporción. Sus lados correspondientes son iguales.

Aplicaciones de triángulos semejantes

Varias aplicaciones del triángulo similar que vemos en la vida real son,

  • La sombra y la altura de varios objetos se calculan utilizando el concepto de triángulos similares.
  • Map Scaling utiliza el concepto de triángulo similar.
  • Los dispositivos fotográficos utilizan propiedades de triángulos similares para capturar varias imágenes.
  • Model Making utiliza el concepto de triángulos similares.
  • Navegación y Trigonometría también utiliza el enfoque de triángulos similares para resolver varios problemas, etc.

La gente también ve:

Congruencia de Triángulos

Área del Triángulo

Triángulo de ángulo recto

Perímetro del triángulo

Notas importantes sobre triángulos semejantes:

  • La razón de áreas de triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón de sus lados correspondientes.
  • Todos los triángulos congruentes son semejantes, pero no todos los triángulos semejantes necesariamente son congruentes.
  • Este ' ~ El símbolo se utiliza para indicar triángulos similares.

Preguntas resueltas sobre triángulos semejantes

Pregunta 1: En la figura 1 dada, DE || ANTES DE CRISTO. Si AD = 2,5 cm, DB = 3 cm y AE = 3,75 cm. ¿Encontrar aire acondicionado?

Solución:

In △ABC, DE || BC

AD/DB = AE/EC (Según el teorema de Tales)

2,5/3 = 3,75/x, donde CE = x cm

(3 × 3,75)/2,5 = 9/2 = 4,5 cm

CE = 4,5 cm

Por tanto, AC = (AE + EC) = 3,75 + 4,5 = 8,25 cm.

Pregunta 2: En la Figura 1 DE || ANTES DE CRISTO. Si AD = 1,7 cm, AB = 6,8 cm y AC = 9 cm. ¿Encontrar AE?

Solución:

Sea AE = x cm.

In △ABC, DE || BC

Por el teorema de Tales tenemos,

AD/AB = AE/CA

1,7/6,8 = x/9

x = (1,7×9)/6,8 = 2,25 cm

EA = 2,25 cm

Por tanto AE = 2,25 cm

Pregunta 3: Demuestre que una línea trazada por el punto medio de un lado de un triángulo (figura 1) paralela a otro lado biseca al tercer lado.

Solución:

Dado un ΔΑΒC en el que D es el punto medio de AB y DE || BC, encontrándose con AC en E.

nfa a dfa

PARA PROBAR AE = EC.

Prueba: Desde DE || BC, según el teorema de Tales, tenemos:

AE/AD = EC/DB =1 (AD = DB, dado)

EA/CE = 1

EA = CE

Pregunta 4: En la Figura 2 dada, AD/DB = AE/EC y ∠ADE = ∠ACB. Demuestre que ABC es un triángulo isósceles.

Solución:

Tenemos AD/DB = AE/EC DE || BC [por lo contrario del teorema de Tales]

∠ADE = ∠ABC (∠s correspondientes)

Pero, ∠ADE = ∠ACB (dado).

Por lo tanto, ∠ABC = ∠ACB.

Entonces, AB = AC [lados opuestos a ángulos iguales].

Por tanto, △ABC es un triángulo isósceles.

Pregunta 5: Si D y E son puntos en los lados AB y AC respectivamente de △ABC (figura 2) tales que AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm y AE = 1,8 cm, demuestre que DE | | ANTES DE CRISTO.

Solución:

Dado, AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm y AE = 1,8 cm

AD/AB = 1,4/5,6 = 1/4 y AE/AC = 1,8/7,2 = 1/4

AD/AB = AE/CA

Por lo tanto, por el contrario del teorema de Tales, DE || ANTES DE CRISTO.

Pregunta 6: Demuestre que el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados cualesquiera de un triángulo (figura 2) es paralelo al tercer lado.

Solución:

En △ABC en el que D y E son los puntos medios de AB y AC respectivamente.

Como D y E son los puntos medios de AB y AC respectivamente, tenemos:

AD = DB y AE = EC.

AD/DB = AE/EC (cada uno igual a 1)

Por lo tanto, por el contrario del teorema de Tales, DE || antes de Cristo

Enlaces importantes relacionados con matemáticas:

  • ¿Qué es el interés simple?
  • Fórmula de pérdida
  • Propiedad de suma de ángulos
  • Divisibilidad por 11
  • Gráfico de barras
  • Usos de la trigonometría
  • Lista de números naturales
  • Modelo de Pitágoras
  • Proyecto de matemáticas para la clase 9

Preguntas de práctica Triángulos semejantes

P1. En dos triángulos semejantes △ABC y △ADE, si DE || BC y AD = 3 cm, AB = 8 cm y AC = 6 cm. Encuentra AE.

P2. En dos triángulos semejantes △ABC y △PQR, si QR || BC y PQ = 2 cm, AB = 12 cm y AC = 9 cm. Encuentra relaciones públicas.

P3. En dos triángulos semejantes ΔABC y ΔAPQ, la longitud de los lados está dada por AP = 9 cm, PB = 12 cm y BC = 24 cm. Encuentre la razón de las áreas de ΔABC y ΔAPQ.

P4. En dos triángulos semejantes ΔABC y ΔAPQ, la longitud de los lados está dada por AP = 3 cm, PB = 4 cm y BC = 8 cm. Encuentre la razón de las áreas de ΔABC y ΔAPQ.

Resumen: triángulos similares

Los triángulos semejantes son figuras geométricas que comparten la misma forma pero difieren en tamaño, caracterizadas por ángulos correspondientes iguales y lados correspondientes proporcionales. Teoremas clave como Ángulo-Ángulo (AA), Lado-Ángulo-Lado (SAS) y Lado-Lado-Lado (SSS) establecen criterios para la similitud de triángulos.

Estos principios son fundamentales en campos como la ingeniería, los gráficos por computadora y la arquitectura debido a su capacidad para mantener la integridad de la forma bajo escala. El teorema de Tales, o teorema básico de proporcionalidad, ilustra cómo una línea paralela a un lado de un triángulo divide proporcionalmente los otros dos, lo que demuestra aún más el concepto de similitud en los triángulos.

Triángulos similares son cruciales para aplicaciones prácticas que van desde el cálculo de alturas y distancias en la navegación hasta la optimización de diseños en tecnología y construcción, lo que demuestra su amplia relevancia tanto en contextos académicos como en el mundo real.

Triángulos similares – Preguntas frecuentes

¿Qué son los triángulos semejantes clase 10?

Los triángulos semejantes son aquellos que tienen todos sus ángulos iguales y sus lados están en la misma proporción. Tienen una forma similar pero no un área similar.

¿Qué son las fórmulas de triángulos semejantes?

Las fórmulas de triángulos semejantes son las fórmulas que nos dicen si dos triángulos son semejantes o no. Para dos triángulos △ABC y △XYZ, la fórmula de triángulos semejantes es,

  • ∠A = ∠X, ∠B = ∠Y y ∠C = ∠Z
  • AB/XY = BC/YZ = CA/ZX

¿Qué símbolo se utiliza para representar triángulos semejantes?

Los triángulos similares se representan mediante el símbolo '~'. Si dos triángulos △ABC y △XYZ son similares los representamos como △ABC ~ △XYZ, se lee como triángulo ABC similar al triángulo XYZ.

¿Cuáles son 3 teoremas de triángulos semejantes?

Podemos demostrar fácilmente que dos triángulos son similares usando el teorema de los tres triángulos que son,

  • AA (o AAA) o teorema de similitud ángulo-ángulo
  • Teorema de similitud SAS o lado-ángulo-lado
  • SSS o teorema de similitud lado-lado-lado

¿Cuáles son las propiedades de los triángulos semejantes?

Las propiedades importantes del triángulo similar son,

  • Los triángulos similares tienen formas fijas pero sus tamaños pueden ser diferentes.
  • Los ángulos correspondientes son iguales en un triángulo semejante.
  • Los lados correspondientes están en proporciones comunes en un triángulo similar.

¿Cómo saber si dos triángulos son semejantes?

Si todos los ángulos de un triángulo son iguales entonces podemos decir fácilmente que los triángulos son semejantes.

¿Qué triángulos son siempre semejantes?

El triángulo que siempre es semejante es un triángulo equilátero. Como todos los ángulos de los triángulos equiláteros miden siempre 60 grados, dos triángulos equiláteros siempre son similares.

¿Qué es el área de triángulos semejantes?

La razón del área de dos triángulos semejantes siempre es igual a la razón de los cuadrados de sus lados. Para dos triángulos △ABC y △XYZ, podemos decir que,

  • área △ABC / área △XYZ = (AB / XY)2

¿Qué son los criterios de triángulos similares?

Los criterios de triángulos similares son los criterios en los que podemos declarar tres triángulos como triángulos similares y estos tres criterios son,

  • Criterios AAA (ángulo-ángulo-criterios)
  • Criterios SAS (Criterios Lado-Ángulo-Lado)
  • Criterios SSS (criterios lado-lado-lado)

¿Quién es el padre de los triángulos semejantes?

Euclides, el antiguo matemático griego al que a menudo se hace referencia como el padre de la geometría, proporcionó principios fundamentales para comprender triángulos similares en su obra Elementos.

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¿Son proporcionales los triángulos semejantes?

Sí, los triángulos semejantes son proporcionales. Esto significa que los lados correspondientes de triángulos semejantes están en proporción, lo que implica que la proporción de los lados correspondientes de triángulos semejantes permanece constante.

¿Qué triángulos son siempre semejantes?

Los triángulos que tienen los mismos tres ángulos siempre son semejantes. Esta es una propiedad fundamental conocida como criterio de similitud ángulo-ángulo (AA).

¿Son todos los triángulos rectángulos semejantes?

No, no todos los triángulos rectángulos son semejantes. Si bien los triángulos rectángulos con los mismos ángulos agudos son similares, la longitud de la hipotenusa y la proporción de las longitudes de los lados pueden diferir, lo que lleva a que los triángulos rectángulos no sean similares.

¿Cuál es la razón de dos triángulos semejantes?

La proporción de dos lados correspondientes cualesquiera en triángulos semejantes permanece constante. Esto significa que si tomas los lados correspondientes de triángulos similares y formas una razón, el resultado siempre será el mismo, independientemente de las longitudes de los lados específicos elegidos.