Rango de una matriz se define como la dimensión del espacio vectorial formado por sus columnas. Rango de una matriz Es un concepto muy importante en el campo del Álgebra Lineal, ya que nos ayuda a saber si podemos encontrar una solución al sistema de ecuaciones o no. El rango de una matriz también nos ayuda a conocer la dimensionalidad de su espacio vectorial.

Este artículo explora en detalle el concepto de Rango de una Matriz incluyendo su definición, cómo calcular el rango de la matriz así como una nulidad y su relación con el rango. También aprenderemos a resolver algunos problemas basados ​​en el rango de una matriz. Entonces, comencemos primero con la definición del rango de la matriz.

Tabla de contenidos

• ¿Qué es el rango de Matrix?
• ¿Cómo calcular el rango de una matriz?
• Propiedades del rango de matriz
• Ejemplos de rango de una matriz
• Preguntas frecuentes

¿Qué es el rango de Matrix?

El rango de una matriz es un concepto fundamental en Álgebra lineal, que mide el número máximo de filas o columnas linealmente independientes en cualquier matriz. En otras palabras, le indica cuántas filas o columnas de una matriz no son útiles y contribuyen a la información general o la dimensionalidad de la matriz. Definamos el rango de una matriz.

Rango de una definición de matriz

El rango de una matriz se define como el número de filas linealmente independientes en una matriz .

comando arp

Se denota usando ρ(A) donde A es cualquier matriz. Por lo tanto, el número de filas de una matriz es un límite en el rango de la matriz, lo que significa que el rango de la matriz no puede exceder el número total de filas de una matriz.

Por ejemplo, si una matriz es del orden 3×3, entonces el rango máximo de una matriz puede ser 3.

Nota: Si una matriz tiene todas las filas con cero elementos, entonces se dice que el rango de una matriz es cero.

Nulidad de Matrix

En una matriz dada, el número de vectores en el espacio nulo se llama nulidad de la matriz o también se puede definir como la dimensión del espacio nulo de la matriz dada.

Total de columnas en una matriz = Rango + Nulidad

Leer más sobre Teorema de nulidad de rango .

¿Cómo calcular el rango de una matriz?

Hay 3 métodos que se pueden utilizar para obtener el rango de cualquier matriz determinada. Estos métodos son los siguientes:

• Método menor
• Usando el formulario escalonado
• Usando la forma normal

Analicemos estos métodos en detalle.

Método menor

Requisito previo: Menores de Matrix

Para encontrar el rango de una matriz usando el método menor, se siguen los siguientes pasos:

• Calcule el determinante de la matriz (digamos A). Si det(A) ≠ 0, entonces rango de la matriz A = orden de la matriz A.
• Si det(A) = 0, entonces el rango de la matriz es igual al orden del máximo posible menor distinto de cero de la matriz.

Entendamos cómo encontrar el rango de una matriz utilizando el método menor.

Ejemplo: encontrar el rango de la matriz egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix} utilizando un método menor.

DadoA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix}

• Paso 1: Calcular el determinante de A

eso(A) = 1 (35 – 48) – 2 (28 – 42) + 3 (32 – 35)

eso(A) = -13 + 28 + 9 = 24

• Como det(A) ≠ 0, ρ(A) = orden de A = 3

Usando el formulario escalonado

El método menor se vuelve muy tedioso si el orden de la matriz es muy grande. Entonces, en este caso, convertimos la matriz a la forma Echelon. Una matriz que está en forma triangular superior o forma triangular inferior se considera que está en forma escalonada. Una matriz se puede convertir a su forma escalonada usando operaciones elementales de fila . Se siguen los siguientes pasos para calcular el rango de una matriz utilizando la forma Echelon:

• Convierta la matriz dada a su forma escalonada.
• El número de filas distintas de cero obtenidas en la forma escalonada de la matriz es el rango de la matriz.

Entendamos cómo encontrar el rango de una matriz utilizando el método menor.

Ejemplo: encontrar el rango de la matriz egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} utilizando el método de forma Echelon.

DadoA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

• Paso 1: convertir A a forma escalonada

Aplicar R₂=R₂– 4R₁

Aplicar R₃=R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & -6 & -12 end{bmatrix}

Aplicar R₃=R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Como la matriz A ahora está en forma triangular inferior, está en forma escalonada.

• Paso 2: Número de filas distintas de cero en A = 2. Por lo tanto, ρ(A) = 2

Usando la forma normal

Se dice que una matriz está en forma normal si se puede reducir a la forma egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} . Aquí yo_rrepresenta la matriz identidad de orden r. Si una matriz se puede convertir a su forma normal, entonces se dice que el rango de la matriz es r.

Entendamos cómo encontrar el rango de una matriz utilizando el método menor.

Ejemplo: encontrar el rango de la matriz old{egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}} utilizando el método de forma normal.

DadoA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}

Aplicar R₂=R₂–R₁, r.₃=R₃– 2R₁y r₄=R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 end{bmatrix}

Aplicar R₁=R₁– 2R₂y r₄=R₄–R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Aplicar R₁=R₁+R₃y r₂=R₂–R₃

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Aplicar C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Por tanto, A puede escribirse como egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} .

Por tanto, ρ(A) = 3

Propiedades del rango de matriz

Las propiedades del rango de la matriz son las siguientes:

si no declaraciones java

• El rango de una matriz es igual al orden de la matriz si es una matriz no singular.
• El rango de una matriz es igual al número de filas distintas de cero si está en forma escalonada.
• El rango de la matriz es igual al orden de la matriz identidad si está en forma normal.
• Rango de matriz
• Rango de matriz
• El rango de la matriz de identidad es igual al orden de la matriz de identidad.
• El rango de una matriz cero o una matriz nula es cero.

Leer más,

• Tipos de matrices
• Transpuesta de una matriz
• Inversa de la matriz

Ejemplos de rango de una matriz

Y Ejemplo 1: encontrar el rango de la matriz old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}} utilizando un método menor.

Solución:

DadoA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}

Paso 1: Calcular el determinante de A

eso(A) = -1 (35 – 48) + 2 (28 – 42) – 3 (32 – 35)

eso(A) = 13 – 28 – 9 = -24

Como det(A) ≠ 0, ρ(A) = orden de A = 3

Ejemplo 2. Encuentre el rango de la matriz. old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}} utilizando un método menor.

Solución:

DadoA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}

Paso 1: Calcular el determinante de A

eso(A) = 2(0-192) – 4(0-168) + 6(128-140)

eso(A) = -384 + 672 – 72 = 216

Como det(A) ≠ 0, ρ(A) = orden de A = 3

Ejemplo 3. Encuentre el rango de la matriz. old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}} utilizando el método de forma Echelon.

cadena a int java

Solución:

DadoA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}

Paso 1: convertir A a forma escalonada

Aplicar R₂=R₂– 4R₁

Aplicar R₃=R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 6 & 12 end{bmatrix}

Aplicar R₃=R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Como la matriz A ahora está en forma triangular inferior, está en forma escalonada.

Paso 2: Número de filas distintas de cero en A = 2. Por lo tanto, ρ(A) = 2

Ejemplo 4. Encuentre el rango de la matriz. old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}} utilizando el método de forma Echelon.

Solución:

DadoA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}

Paso 1: convertir A a forma escalonada

Aplicar R₂=R₂– 4R₁

Aplicar R₃=R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & -12 & -24 end{bmatrix}

Aplicar R₃=R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Como la matriz A ahora está en forma triangular inferior, está en forma escalonada.

Paso 2: Número de filas distintas de cero en A = 2. Por lo tanto, ρ(A) = 2

Ejemplo 5. Encuentre el rango de la matriz. old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}} utilizando el método de forma normal.

Solución:

DadoA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}

Aplicar R₂=R₂–R₁, r.₃=R₃– 2R₁y r₄=R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 0 end{bmatrix}

Aplicar R₁=R₁– 2R₂y R4 = R₄–R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & -2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Aplicar R₁=R₁+R₃y r₂=R₂–R₃

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Aplicar C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Aplicar R₁=R₁/2,R₂=R₂/2,R₃=R₃/2

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Por tanto, A puede escribirse comoegin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix}

Por tanto, ρ(A) = 3

Rango de una matriz: preguntas frecuentes

Definir rango de una matriz.

El rango de una matriz se define como el número de filas linealmente independientes en una matriz. Se denota usando ρ(A) donde A es cualquier matriz.

¿Cómo encontrar el rango de una matriz?

El rango de la matriz se puede calcular utilizando varios métodos, como:

• Método menor
• Usando el formulario escalonado
• Usando la forma normal

¿Cuál es el rango de la matriz si el determinante de la matriz no es igual a cero?

Si el determinante de una matriz es cero, entonces el rango de la matriz es igual al orden de la matriz.

¿Cuándo se dice que Matrix está en forma Echelon?

Una matriz que está en forma triangular superior o en forma triangular inferior se dice que está en forma escalonada.

¿Cuál es la forma normal de la matriz?

Se dice que una matriz está en forma normal si se puede escribir como egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} donde_res la matriz identidad de orden 'r'.

¿Cuál es el rango de la matriz nula?

El rango de una matriz nula es cero.

¿Cuál es el rango de una matriz de identidad?

El rango de una matriz identidad es igual al orden de la matriz.

que significa xdxd

¿Cuál es la relación entre nulidad y rango de una matriz?

La relación entre nulidad y rango de una matriz es:

Total de columnas en una matriz = Rango + Nulidad