Las fórmulas de medio ángulo se usan para encontrar varios valores de ángulos trigonométricos, como 15 °, 75 ° y otros, también se usan para resolver varios problemas trigonométricos.

Varias razones e identidades trigonométricas ayudan a resolver problemas de trigonometría. Los valores de los ángulos trigonométricos 0°, 30°, 45°, 60°, 90° y 180° para sen, cos, tan, cosec, sec y cot se determinan mediante una tabla de trigonometría. Las fórmulas de medio ángulo se utilizan ampliamente en matemáticas; aprendamos sobre ellas en detalle en este artículo.

Tabla de contenidos

• Fórmulas de medio ángulo
• Identidades de medio ángulo
• Derivación de fórmulas de medio ángulo utilizando fórmulas de ángulo doble
• Fórmula de medio ángulo para la derivación de cos
• Fórmula de medio ángulo para derivar el pecado
• Fórmula de medio ángulo para la derivación del bronceado
• Ejemplos resueltos de fórmulas de medio ángulo

Fórmulas de medio ángulo

Para encontrar los valores de ángulos además de los valores conocidos de 0°, 30°, 45°, 60°, 90° y 180°. Los semiángulos se derivan de fórmulas de ángulos dobles y se enumeran a continuación para sen, cos y tan:

• sin (x/2) = ± [(1 – cos x)/ 2]^1/2
• cos (x/2) = ± [(1 + cos x)/ 2]^1/2
• tan (x/ 2) = (1 – cos x)/ sin x

Identidades trigonométricas de fórmulas de doble ángulo son útiles para derivar fórmulas de medio ángulo.

Fórmulas de medio ángulo

Identidades de medio ángulo

Identidades de medio ángulo para algunos populares. funciones trigonométricas son,

• Fórmula del pecado de medio ángulo,

sin A/2 = ±√[(1 – cos A) / 2]

• Fórmula de medio ángulo de cos,

cos A/2 = ±√[(1 + cos A) / 2]

• Fórmula de medio ángulo de bronceado,

tan A/2 = ±√[1 – cos A] / [1 + cos A]

tan A/2 = sin A / (1 + cos A)

tan A/2 = (1 – cos A) / sin A

Derivación de fórmulas de medio ángulo utilizando fórmulas de ángulo doble

Las fórmulas de medio ángulo se derivan utilizando fórmulas de doble ángulo. Antes de aprender sobre las fórmulas de medio ángulo, debemos aprender sobre el doble ángulo en Trigonometría , las fórmulas de doble ángulo más utilizadas en trigonometría son:

• sin 2x = 2 sin x cos x
• cos 2x = cos²x – sin²X
  = 1 – 2 sin²X
  = 2 porque²x – 1
• tan 2x = 2 tan x / (1 – tan²X)

Ahora reemplazando x con x/2 en ambos lados en las fórmulas anteriores obtenemos

• sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2)
• cos x = cos²(x/2) – sin²(x/2)
  = 1 – 2 sin²(x/2)
  = 2 porque²(x/2) – 1
• tan A = 2 tan (x/2) / [1 – tan²(x/2)]

Fórmula de medio ángulo para la derivación de cos

Usamos cos2x = 2cos²x – 1 para encontrar la fórmula del medio ángulo para Cos

Pon x = 2y en la fórmula anterior

cos (2)(y/2) = 2cos²(y/2) – 1

cos y = 2cos²(y/2) – 1

1 + cos y = 2cos²(y/2)

2cos²(y/2) = 1 + cosy

porque²(y/2) = (1+ cosy)/2

cos(y/2) = ± √{(1+ cosy)/2}

Fórmula de medio ángulo para derivar el pecado

Usamos cos 2x = 1 – 2sin²x para encontrar la fórmula del medio ángulo para el pecado

Pon x = 2y en la fórmula anterior

cos (2)(y/2) = 1 – 2sin²(y/2)

cos y = 1 – 2sin²(y/2)

2pecado²(y/2) = 1 – cosy

sin²(y/2) = (1 – cosy)/2

sin(y/2) = ± √{(1 – cosy)/2}

Fórmula de medio ángulo para la derivación del bronceado

Sabemos que tan x = sin x / cos x tal que,

tan(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2)

recorrido en orden del árbol binario

Poniendo los valores del medio ángulo para sen y cos. Obtenemos,

tan(x/2) = ± [(√(1 – cosy)/2 ) / (√(1+ cosy)/2 )]

tan(x/2) = ± [√(1 – cosy)/(1+ cosy) ]

Racionalizando el denominador

tan(x/2) = ± (√(1 – acogedor)(1 – acogedor)/(1+ acogedor)(1 – acogedor))

tan(x/2) = ± (√(1 – cosy)²/(1 – porque²y))

tan(x/2) = ± [√{(1 – cosy)²/( sin²y)}]

bronceado(x/2) = (1 – acogedor)/( balde)

Además, consulte

• Aplicaciones de la trigonometría en la vida real
• Sin Cos Formulas

Ejemplos resueltos de fórmulas de medio ángulo

Ejemplo 1: Determinar el valor de sen 15°

Solución:

Sabemos que la fórmula para el medio ángulo del seno viene dada por:

sin x/2 = ± ((1 – cos x)/ 2)^1/2

El valor del seno de 15° se puede encontrar sustituyendo x como 30° en la fórmula anterior

sin 30°/2 = ± ((1 – cos 30°)/ 2)^1/2

sin 15° = ± ((1 – 0.866)/ 2)^1/2

sin 15° = ± (0.134/ 2)^1/2

sin 15° = ± (0.067)^1/2

sin 15° = ± 0.2588

Ejemplo 2: Determinar el valor del pecado 22,5 °

Solución:

Sabemos que la fórmula para el medio ángulo del seno viene dada por:

sin x/2 = ± ((1 – cos x)/ 2)^1/2

El valor del seno de 15° se puede encontrar sustituyendo x como 45° en la fórmula anterior

sin 45°/2 = ± ((1 – cos 45°)/ 2)^1/2

sin 22.5° = ± ((1 – 0.707)/ 2)^1/2

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sin 22.5° = ± (0.293/ 2)^1/2

sin 22.5° = ± (0.146)^1/2

sin 22.5° = ± 0.382

Ejemplo 3: Determinar el valor de tan 15°

Solución:

Sabemos que la fórmula para el medio ángulo del seno viene dada por:

tan x/2 = ± (1 – cos x)/ sin x

El valor de tan 15° se puede encontrar sustituyendo x como 30° en la fórmula anterior

tan 30°/2 = ± (1 – cos 30°)/ sin 30°

tan 15° = ± (1 – 0.866)/ sin 30

tan 15° = ± (0.134)/ 0.5

tan 15° = ± 0.268

Ejemplo 4: Determinar el valor de tan 22,5°

Solución:

Sabemos que la fórmula para el medio ángulo del seno viene dada por:

tan x/2 = ± (1 – cos x)/ sin x

El valor de tan 22,5° se puede encontrar sustituyendo x como 45° en la fórmula anterior

tan 30°/2 = ± (1 – cos 45°)/ sin 45°

tan 22.5° = ± (1 – 0.707)/ sin 45°

tan 22.5° = ± (0.293)/ 0.707

tan 22.5° = ± 0.414

Ejemplo 5: Determinar el valor de cos 15°

Solución:

Sabemos que la fórmula para el medio ángulo del seno viene dada por:

cos x/2 = ± ((1 + cos x)/ 2)^1/2

El valor del seno de 15° se puede encontrar sustituyendo x como 30° en la fórmula anterior

cos 30°/2 = ± ((1 + cos 30°)/ 2)^1/2

cos 15° = ± ((1 + 0,866)/ 2)^1/2

cos 15° = ± (1,866/ 2)^1/2

cos 15° = ± (0,933)^1/2

cos 15° = ± 0,965

Ejemplo 6: Determinar el valor de cos 22,5°

Solución:

Sabemos que la fórmula para el medio ángulo del seno viene dada por:

cos x/2 = ± ((1 + cos x)/ 2)^1/2

El valor del seno de 15° se puede encontrar sustituyendo x como 45° en la fórmula anterior

cos 45°/2 = ± ((1 + cos 45°)/ 2)^1/2

cos 22,5° = ± ((1 + 0,707)/ 2)^1/2

cos 22,5° = ± (1,707/ 2)^1/2

cos 22,5° = ± ( 0,853 )^1/2

cos 22,5° = ± 0,923

Preguntas frecuentes sobre la fórmula de medio ángulo

¿Para qué sirven las fórmulas de medio ángulo?

Las fórmulas de medio ángulo se utilizan para encontrar razones trigonométricas de la mitad de los ángulos estándar, como 15°, 22,5° y otros. También se utilizan para resolver ecuaciones trigonométricas complejas y son necesarios para resolver integrales y ecuaciones diferenciales.

¿Cuál es la fórmula del medio ángulo para el pecado?

La fórmula del medio ángulo para el pecado es

sin A/2 = ±√[(1 – cos A) / 2]

Además, para cualquier triángulo con lados a, byc y semiperímetro ser s, entonces

pecado A/2 = √[(s – b) (s – c) / bc]

¿Qué es la fórmula del medio ángulo para el coseno?

La fórmula del medio ángulo para cos es

cos A/2 = ±√[(1 + cos A)/2]

Además, para cualquier triángulo con lados a, byc y semiperímetro ser s, entonces

porque (A/2) = √[ s (s – a)/bc]

¿Cuál es la fórmula para cos? i ?

Para cualquier triángulo rectángulo, con un ángulo θ la fórmula que se utiliza para calcular el coseno del ángulo (θ) es

Cos(θ) = adyacente / hipotenusa