Determinante de la Matriz 4×4: Determinante de una matriz es un concepto fundamental en álgebra lineal, esencial para derivar un único valor escalar de la matriz. 4×4 es una matriz cuadrada con 4 filas y 4 columnas cuyo determinante se puede encontrar mediante una fórmula que discutiremos.

Este artículo explorará la definición de una matriz de 4 × 4 y una guía paso a paso para calcular el determinante de una matriz de 4 × 4. Además, explora las aplicaciones prácticas de esta operación matemática.

Tabla de contenidos

• ¿Cuál es el determinante de una matriz?
• Determinante de la matriz 4×4
• Propiedades de Matriz 4×4
• Determinante de la fórmula de la matriz 4 × 4
• ¿Cómo se encuentra el determinante de una matriz de 4 × 4?
• Determinante de ejemplos de matrices 4 × 4
• Determinante de las preguntas de práctica de matrices 4 × 4

¿Cuál es el determinante de una matriz?

El determinante de una matriz es un valor escalar que se puede calcular a partir de los elementos de un matriz cuadrada . Proporciona información importante sobre la matriz, como si es invertible y el factor de escala de las transformaciones lineales representadas por la matriz.

Varios métodos, como cofactor La expansión o la reducción de filas se pueden emplear para encontrar el determinante de una matriz, dependiendo del tamaño y la estructura de la matriz. Una vez calculado, el determinante se indica con el símbolo det o con barras verticales que encierran la matriz.

Determinante de la matriz 4×4

Una matriz de 4×4 es una matriz rectangular de números dispuestos en cuatro filas y cuatro columnas. Cada elemento de la matriz se identifica por la posición de su fila y columna. La forma general de una matriz de 4×4 se ve así:

egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix}

Donde un_yorepresenta el elemento ubicado en la i^thfila y j^thcolumna de la matriz.

Las matrices 4×4 se encuentran comúnmente en diversos campos, como los gráficos por computadora, la física, la ingeniería y las matemáticas. Se utilizan para representar transformaciones, resolver sistemas de ecuaciones lineales y realizar operaciones en álgebra lineal.

Propiedades de Matriz 4×4

A continuación se muestran algunas propiedades de una matriz de 4 × 4 explicadas en términos simplificados:

• Matriz cuadrada: Una matriz de 4×4 tiene el mismo número de filas y columnas, lo que la convierte en una matriz cuadrada.
• Determinante: El determinante de una matriz de 4 × 4 se puede calcular utilizando métodos como la expansión de cofactores o la reducción de filas. Proporciona información sobre la invertibilidad de la matriz y el factor de escala para transformaciones lineales.
• Inverso: Una matriz de 4×4 es reversible si su determinante es distinto de cero. La inversa de una matriz de 4×4 permite resolver sistemas de ecuaciones lineales y deshacer transformaciones representadas por la matriz.
• Transponer: La transpuesta de una matriz de 4×4 se obtiene intercambiando sus filas y columnas. Puede resultar útil en ciertos cálculos y transformaciones.
• Valores propios y vectores propios: Se pueden analizar matrices 4×4 para encontrar sus Valores propios y vectores propios , que representan propiedades de la matriz bajo transformaciones lineales.
• Simetría: Dependiendo de la matriz específica, puede exhibir propiedades de simetría, como ser simétrica, sesgada o ninguna de las dos.
• Operaciones matriciales: Se pueden realizar varias operaciones, como suma, resta, multiplicación y multiplicación escalar, en matrices de 4 × 4 siguiendo reglas y propiedades específicas.

Leer en detalle: Propiedades de los determinantes

Determinante de la fórmula de la matriz 4 × 4

Determinante de cualquier matriz 4 × 4, es decir,egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix} , se puede calcular mediante la siguiente fórmula:

eso(A) = un ₁₁ · eso (A ₁₁ ) - a ₁₂ · eso (A ₁₂ ) + un ₁₃ · eso (A ₁₃ ) - a ₁₄ · eso (A ₁₄ )

Donde un_yodenota la submatriz eliminando i^thfila y j^thcolumna.

¿Cómo se encuentra el determinante de una matriz de 4 × 4?

Para encontrar el determinante de una matriz de 4×4, puedes utilizar varios métodos, como la expansión por menores, la reducción por filas o la aplicación de propiedades específicas.

Un método común es utilizar la expansión por menores, donde se expande a lo largo de una fila o columna multiplicando cada elemento por su cofactor y sumando los resultados. Este proceso continúa de forma recursiva hasta llegar a una submatriz de 2×2, para la cual puedes calcular directamente el determinante. Para entender cómo encontrar el determinante de una matriz de 4×4, considere un ejemplo.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 1 3 & 2 & 0 & 5 -1 & 3 & 2 & 1 end{bmatrix}

Paso 1: expande a lo largo de la primera fila:

eso(A) = 2 · eso(A ₁₁ ) – 1 · it(A ₁₂ ) + 3 · eso(A ₁₃ ) – 4 · it(A ₁₄ )

Donde un_yodenota la submatriz obtenida al eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna.

Paso 2: Calcula el determinante de cada submatriz de 3×3.

Para₁₁

A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 1 2 & 0 & 5 3 & 2 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 0 & 5 2 & 1 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 3 & 1 end{bmatrix} ight) + 1 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 0 3 & 2 end{bmatrix} ight)

⇒ |A₁₁| = (-1)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(2)(1)-(5)(3)] + 1[(2)(2)-(0)(3)]

⇒ |A₁₁| = (-1)[(-10)] – 2[(2)-(15)] + 1[(4)-(0)]

⇒ |A₁₁| = 10 – 2(-13) + 4

⇒ |A₁₁| = 10 + 26 + 4= 40

Para₁₂

A_{12} = egin{bmatrix} 0 & 2 & 1 3 & 0 & 5 -1 & 2 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{12}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 0 & 5 2 & 1 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 5 -1 & 1 end{bmatrix} ight) + 1 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 0 -1 & 2 end{bmatrix} ight)

⇒ |A₁₂| = (0)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(3)(1)-(5)(-1)] + 1[(3)(2)-(0)(-1)]

⇒ |A₁₂| = (0)[(-10)] – 2[(3)+(5)] + 1[(6)-(0)]

⇒ |A₁₂| = 0 – 2(8) + 6

⇒ |A₁₂| = 0 – 16+ 6= 10

Para₁₃

A_{13} = egin{bmatrix} 0 & -1 & 1 3 & 2 & 5 -1 & 3 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{13}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 3 & 1 end{bmatrix} ight) – (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 5 -1 & 1 end{bmatrix} ight) + 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 2 -1 & 3 end{bmatrix} ight)

⇒ |A₁₃| = (0)[(2)(1)-(3)(5)] – (-1)[(3)(1)-(5)(-1)] + 2[(3)(3)-(2)(-1)]

⇒ |A₁₃| = (0)[(2)-(15)] – (-1)[(3)+(5)] + 2[(9)-(-2)]

⇒ |A₁₃| = 0 – (-1)(8) + 2(11)

⇒ |A₁₃| = 8 + 22= 30

Para₁₄

A_{14} = egin{bmatrix} 0 & -1 & 2 3 & 2 & 0 -1 & 3 & 2 end{bmatrix}

ext{det}(A_{14}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 0 3 & 2 end{bmatrix} ight) – (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 0 -1 & 2 end{bmatrix} ight) + 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 2 -1 & 3 end{bmatrix} ight)

⇒ |A₁₄| = (0)[(2)(2)-(3)(0)] – (-1)[(3)(2)-(0)(-1)] + 2[(3)(3)-(2)(-1)]

⇒ |A₁₄| = (0)[(4)-(0)] – (-1)[(6)-(0)] + 2[(9)-(-2)]

⇒ |A₁₄| = 0 – (-1)(6) + 2(11)

⇒ |A₁₄| = 6 + 22 = 28

Paso 3: Sustituye los determinantes de las submatrices de 3×3 en la fórmula de expansión:

(A) = 2 · 40 – 1 · 10 + 3 · 30 – 4 · 28

Paso 4: Calcula el determinante final:

eso(A) = 80 – 10 + 90 – 112

eso(A) = 48

Entonces, el determinante de la matriz de 4×4 dada es 48.

Además, consulte

• Determinante de la matriz 2×2
• Determinante de la matriz 3×3

Determinante de ejemplos de matrices 4 × 4

Ejemplo 1: Una =egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 4 & -1 & 2 & 0 -3 & 2 & 1 & 5 1 & 0 & -2 & 3 end{bmatrix}

Solución:

Primero expanda a lo largo de la primera fila:

ext{det}(A) = 2 cdot ext{det}(A_{11}) – 1 cdot ext{det}(A_{12}) + 0 cdot ext{det}(A_{13}) – 3 cdot ext{det}(A_{14})

Ahora, calcula el determinante de cada submatriz de 3×3.

Para ₁₁ ):

A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 0 2 & 1 & 5 0 & -2 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 -2 & 3 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) + 0 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight)

= (-1)((1)(3)-(5)(-2)) – 2((2)(3)-(5)(0)) + 0((2)(-2)-(1)(0))

= (-1)((3)+(10)) – 2((6)-(0)) + 0((-4)-(0))

= (-1)(13) – 2(6) + 0(-4)

= -13 – 12

= -25

Para ₁₂ ):

A_{12} = egin{bmatrix} 2 & 0 & 3 -3 & 1 & 5 1 & 2 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{12}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 2 & 3 end{bmatrix} ight) – (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & 2 end{bmatrix} ight)

= (2)((1)(3)-(5)(2)) – (0)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)((-3)(2)-(1)(1))

= (2)((3)-(10)) – (0)((-9)-(5)) + (3)((-6)-(1))

= (2)(-7) – (0)(-14) + (3)(-7)

= -14 – 0 – 21

= -35

Para ₁₃ ):

A_{13} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 -3 & 2 & 5 1 & 0 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{13}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight)

= (2)((2)(3)-(5)(0)) – (1)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)((-3)(0)-(2)(1))

= (2)((6)-(0)) – (1)((-9)-(5)) + (3)((0)-(2))

= (2)(6) – (1)(-14) + (3)(-2)

= 12 + 14 – 6

= 20

Para ₁₄ ):

A_{14} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 -3 & 2 & 1 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

ext{det}(A_{14}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & -2 end{bmatrix} ight) + (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight)

= (2)((2)(-2)-(1)(0)) – (1)((-3)(-2)-(1)(1)) + (0)((-3)(0)-(2)(1))

= (2)((-4)-(0)) – (1)((6)-(1)) + (0)((0)-(2))

= (2)(-4) – (1)(5) + (0)(-2)

= -8 – 5 + 0

= -13

Ahora, sustituye los determinantes de las submatrices de 3×3 en la fórmula de expansión:

det(A) = 2 cdot (-25) – 1 cdot (-35) + 0 – 3 cdot (-13)

= -50 + 35 + 0 + 39

= -50 + 35 + 39

= 24

Entonces, el determinante de la matriz (A) es 24.

Ejemplo 2: Calcular el determinante de la matriz.A = egin{bmatrix} 2 & 1 & -3 & 4 -1 & 0 & 2 & 5 3 & 2 & 1 & 0 4 & -2 & 3 & 1 end{bmatrix}

Solución:

Para encontrar el determinante de la matriz ( A ), usaremos el método de expansión por menores a lo largo de la primera fila:

ext{det}(A) = 2 cdot egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} – 3 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} + 4 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix}

Ahora, calculemos los determinantes de las submatrices de 3×3:

ext{det}left( egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = 2 cdot (0 cdot (1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (2 cdot 1 – 0 cdot (-2)) + 5 cdot (2 cdot 3 – 2 cdot (-2)))

= 2 · (0 – 4 + 30) = 52

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (3 cdot 1 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot 3 – 1 cdot 4))

= -1 · (1 – 6 + 45) = 60

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 0 cdot (-2)) – 0 cdot (3 cdot 5 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4))

= -1 · (6 – 0 – 50) = 44

emojis de iphone en un teléfono android

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 1 cdot (-2)) – 0 cdot (2 cdot 3 – 1 cdot 4) + 2 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4))

= -1 · (8 – 0 + 0) = -8

Ahora, sustituya estos determinantes nuevamente en la fórmula de expansión:

eso(A) = 2 · 52 – 1 · 60 – 3 · 44 + 4 · (-8) = 104 – 60 – 132 – 32 = -120

Entonces, el determinante de la matriz ( A ) es det(A) = -120.

Ejemplo 3: Encuentra el determinante de la matriz B =egin{bmatrix} -2 & 3 & 1 & 0 4 & 1 & -3 & 2 0 & -1 & 2 & 5 3 & 2 & 0 & -4 end{bmatrix}

Solución:

Para encontrar el determinante de la matriz ( B ), usaremos el método de expansión por menores a lo largo de la primera fila:

ext{det}(B) = -2 cdot egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} + 3 cdot egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} + 0 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & 1 end{vmatrix}

Ahora, calculemos los determinantes de las submatrices de 3×3:

ext{det}left( egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = -2 cdot (1 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (-1 cdot (-4) – 5 cdot 2) + 2 cdot (-1 cdot 0 – 2 cdot 2))

= -2 ⋅ (1 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (4 – 10) + 2 ⋅ (-4))

= -2 ⋅ (-8 + 18 – 8) = -2 ⋅ 2 = -4

ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = 3 cdot (4 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (0 cdot (-4) – 5 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 0 – 2 cdot 3))

= 3 ⋅ (4 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (0 – 15) + 2 ⋅ (0 – 6))

= 3 ⋅ (-32 + 45 – 12) = 3 ⋅ 1 = 3

ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} ight) = -1 cdot (4 cdot (-4) – 2 cdot 4) – 1 cdot (0 cdot (-4) – 2 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 4 – (-1) cdot 3)

= -1 ⋅ (-16 – 8) – 1 ⋅ (0 – 6) + 2 ⋅ (0 + 3)

= -1 ⋅ (-24) – 1 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 3

= 24 + 6 + 6

= 36

Ahora, sustituya estos determinantes nuevamente en la fórmula de expansión:

det(B) = -2 ⋅ (-4) + 3 ⋅ 3 – 1 ⋅ 36 + 0 ⋅ cualquier cosa

= 8 + 9 – 36 + 0

= -19

Entonces, el determinante de la matriz ( B ) es det(B) = -19

Determinante de las preguntas de práctica de matrices 4 × 4

P1: Calcula el determinante de la siguiente matriz de 4×4:A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 1 & 3 -1 & 2 & 2 & 0 3 & -2 & 0 & 1 1 & 1 & 2 & -1 end{bmatrix}

P2: Encuentra el determinante de la matriz:B = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 0 2 & 3 & 4 & 5 end{bmatrix}

P3: Calcula el determinante de la siguiente matriz de 4×4:C = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & -1 3 & 2 & -1 & 0 0 & -3 & 2 & 1 1 & 0 & 3 & -2 end{bmatrix}

P4: Determinar el determinante de la matriz:D = egin{bmatrix} 4 & 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 0 & 2 0 & 2 & 1 & -3 2 & 0 & -1 & 4 end{bmatrix}

P5: Encuentra el determinante de la matriz: E = egin{bmatrix} 3 & 1 & -2 & 0 2 & 0 & 1 & 1 -1 & 2 & 3 & -2 0 & 3 & -1 & 1 end{bmatrix}

Preguntas frecuentes sobre el determinante de la matriz 4×4

¿Cómo se encuentra el determinante de una matriz de 4×4?

Para encontrar el determinante de una matriz de 4 × 4, puede utilizar varios métodos, como la expansión de cofactores o las técnicas de reducción de filas.

¿Cuál es el determinante de una matriz identidad de 4×4?

El determinante de una matriz identidad de 4×4 es 1, ya que es un caso especial donde todos los elementos de la diagonal son 1 y el resto son 0.

¿Cómo encontrar el determinante de una matriz de 4×4 usando expansión de cofactores?

Determinar el determinante de una matriz de 4 × 4 mediante la expansión de cofactor implica dividirla en matrices más pequeñas de 3 × 3, aplicar la fórmula del cofactor y sumar los productos.

¿Cuál es la fórmula del determinante?

La fórmula del determinante implica sumar los productos de los elementos y sus cofactores en cada fila o columna, considerando sus signos.

¿Puede un determinante ser negativo?

Sí, los determinantes pueden ser negativos, positivos o cero, según la matriz específica y sus propiedades.

¿Puede una matriz de 4 × 4 tener inversa?

Una matriz de 4×4 puede tener inversa si su determinante es distinto de cero; de lo contrario, es singular y carece de inverso.

¿Cómo se demuestra que una matriz de 4 × 4 es invertible?

Para demostrar que una matriz de 4 × 4 es invertible, confirme que su determinante sea distinto de cero, lo que indica la existencia de una inversa, y utilice criterios adicionales como la reducción de filas para verificar la invertibilidad.