Determinante es un concepto fundamental en álgebra lineal que se utiliza para encontrar un valor escalar único para una matriz dada. Este artículo explicará qué es una Matriz 3×3 y cómo calcular el Determinante de una Matriz 3×3 paso a paso, así como sus aplicaciones. Ya sea que sea un estudiante que aprende álgebra lineal o un entusiasta que busca una comprensión más profunda de las operaciones matriciales, comprender el determinante de una matriz de 3 × 3 es una habilidad valiosa que debe adquirir.

¿Cuál es el determinante de la matriz?

Determinante de una matriz es un número único calculado a partir de una matriz cuadrada. En el campo del álgebra lineal, los determinantes se encuentran utilizando los valores dentro de la matriz cuadrada. Este número actúa como un factor de escala, influyendo en cómo se transforma la matriz. Los determinantes son valiosos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, encontrar la inversa de una matriz y diversas operaciones de cálculo.

¿Qué es la matriz 3×3?

Una matriz de 3 × 3 es una matriz en el que el número de filas y columnas es igual a 3. Dado que el número de filas y columnas son iguales, por lo tanto, 3 × 3 es una matriz cuadrada de orden 3 × 3. Una matriz es como una tabla formada por números, organizada en filas y columnas. Se utiliza para almacenar y trabajar con datos en matemáticas y otros campos. Mientras que una matriz de 3 × 3 es un tipo específico de matriz que consta de tres filas y tres columnas. Se puede representar como:

Matriz 3 × 3

Propiedades de la matriz 3 × 3

Al igual que otras matrices, las matrices de 3 × 3 también tienen algunas propiedades importantes.

• Matriz cuadrada : Una matriz de 3 × 3 tiene tres filas y tres columnas, lo que la convierte en una matriz cuadrada.

• Determinante: Una matriz de 3 × 3 tiene un determinante, un valor numérico crucial para resolver ecuaciones y encontrar inversas.

• Multiplicación de matrices: Puedes multiplicar una matriz de 3 × 3 por otra matriz si el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda.

• Inverso: Una matriz de 3 × 3 puede tener inversa si su determinante es distinto de cero. La matriz inversa, cuando se multiplica por la matriz original, da como resultado la matriz identidad.

Determinante de la fórmula de la matriz 3 × 3

Existen varios métodos para calcular el determinante de una matriz. El enfoque más común es dividir una matriz dada de 3 × 3 en determinantes más pequeños de 2 × 2. Esto simplifica el proceso de encontrar el determinante y se usa ampliamente en álgebra lineal.

Tomemos una matriz cuadrada de 3 × 3 que se escribe como,

Calcular el determinante de la matriz A, es decir, |A|.

Expanda la Matriz a lo largo de los elementos de la primera fila.

Por lo tanto,

¿Cómo se encuentra el determinante de una matriz de 3 × 3?

Entendamos el cálculo de una matriz de 3 × 3 con un ejemplo. Para la matriz de 3 × 3 dada a continuación.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 4 & 0 & 1 2 & -1 & 2 end{bmatrix}

Paso 1: elija una fila o columna de referencia

Seleccione una fila y una columna para comenzar. Supongamos que en este ejemplo tomamos el primer elemento (2) como referencia para calcular el determinante de la matriz de 3 × 3.

Entonces, expandiendo a lo largo de la fila R₁

semillas vs esporas

Paso 2: tachar fila y columna

Elimina la fila y columna elegidas para simplificarlas en una matriz de 2 × 2.

Matriz 2×2

Paso 3: Encuentra el determinante de la matriz 2 × 2

Encuentra el determinante de la matriz 2 × 2 usando la fórmula

Determinante = (a × d) – (b × c)

Multiplicación cruzada

Aquí, a = 0, b = 1, c = -1, d = 2

Al poner estos valores en la fórmula de determinante anterior, obtenemos

Determinante = (0 × 2) – (1 × -1)

Determinante = 0- (-1)

Determinante = 0+1

∴ Determinante de la matriz 2 × 2 = 1

Paso 4: multiplicar por el elemento elegido

Multiplica el determinante de la matriz 2 × 2 por el elemento elegido de la fila de referencia (que es 2,1 y 3 en este caso):

primer elemento = 2 × 1 = 2

Paso 5: repita este proceso para el segundo elemento en la fila de referencia elegida

Para el segundo elemento

Encuentre el determinante para el segundo elemento 1 poniendo los valores de la matriz 2 × 2 en la fórmula

Determinante = (a × d) – (b × c)

Aquí, a = 4, b = 1, c = 2, d = 2

Determinante = (4 × 2) – (1 × 2)

Determinante = 8 – 2

Determinante = 6

Ahora, multiplica el determinante de la matriz de 2 × 2 por el elemento elegido de la fila de referencia (que es 1 en este caso):

segundo elemento = 1 × 6 = 6

Paso 6: repita este proceso para el tercer elemento en la fila de referencia elegida

Para el tercer elemento

Encuentre el determinante para el tercer elemento 3 poniendo los valores de la matriz 2 × 2 en la fórmula

Determinante = (a × d) – (b × c)

Aquí, a = 4, b = 0, c = 2, d = -1

Determinante = (4 × -1) – (0 × 2)

Determinante = -4 – 0

Determinante = -4

Ahora, multiplica el determinante de la matriz 2×2 por el elemento elegido de la fila de referencia (que es 3 en este caso):

segundo elemento = 3 × (-4) = -12

Paso 7: usar la fórmula

Sume todos los resultados de los pasos 4, 5 y 6.

2 – 6 + (-12) = (-16)

∴ -16 es el determinante de la matriz de 3 × 3.

Aplicación del Determinante de una Matriz 3 × 3

El determinante de una matriz se puede utilizar para encontrar la inversa y resolver el sistema de ecuaciones lineales. Por lo tanto, aprendemos a encontrar la inversa de la Matriz 3 × 3 y también a resolver el sistema de ecuaciones lineales usando la Regla de Cramer, que implica el uso del determinante de la Matriz 3 × 3.

Inversa de la matriz 3 × 3

La fórmula para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A es:

A^{-1} = frac{1}{ ext{det}(A)} cdot ext{adj}(A)

Dónde,

• A-1 es el inversa de la matriz A .
• Det(A) representa el determinante de la matriz A.
• adj(A) representa el conjugado de la matriz A

En términos simples, puedes seguir estos pasos para encontrar la inversa de una matriz:

Paso 1. Calcule el determinante de la matriz A.

Paso 2. Encuentre el conjugado de la matriz A.

Paso 3. Multiplica cada elemento del conjugado por 1/det(A).

Esta fórmula se utiliza para matrices cuadradas (matrices con el mismo número de filas y columnas) y supone que el determinante es distinto de cero, lo cual es una condición necesaria para que una matriz tenga inversa.

La regla de Cramer

La regla de Cramer proporciona una fórmula para resolver un sistema de ecuaciones lineales usando determinantes. Para un sistema de ecuaciones lineales con n variables se dan en la forma de

HACHA=B

Dónde,

• A = Coeficiente de la matriz cuadrada
• X = Matriz de columnas que tiene variables
• B = Matriz de columnas que tiene constantes

Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

a₁x+b₁y + c₁z+. . . = re₁

a₂x+b₂y + c₂z+. . . = re₂

. . .

a_nortex+b_nortey + c_nortez+. . . = re_norte

Las variables x, y, z,…, se determinan mediante las siguientes fórmulas:

• x = D_X/D
• y = D_y/D
• z = D_Con/D

Dónde:

• D es el determinante de la matriz de coeficientes.
• D_Xes el determinante de la matriz que se obtiene reemplazando los coeficientes de x con las constantes del lado derecho.
• D_yes el determinante de la matriz obtenida reemplazando los coeficientes de y
• D_Cones el determinante de la matriz obtenida reemplazando los coeficientes de z

La regla de Cramer es aplicable cuando el determinante de la matriz de coeficientes D es distinto de cero. Si D = 0, no se puede aplicar la regla que indica que no hay solución o hay infinitas soluciones según el caso específico.

Además, consulte

• Tipos de matrices
• Sistema de Ecuaciones Lineales con Tres Variables
• Operaciones matriciales

Determinante de matrices resueltas de 3 × 3

Ejemplo 1: encontrar el determinante de la matriz A egin{vmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 4 & 5 1 & 6 & 2 end{vmatrix}

Determinante de A = 2 (4×2 – 5×6) – 3(0×2 – 5×1) + 1(0×6 – 4×1)

⇒ Determinante de A = 2(8-30) – 3(0-5) +1(0-4)

⇒ Determinante de A =2(-22) – 3(-5) +1(-4)

⇒ Determinante de A = (-44) +15 – 4

⇒ Determinante de A =-44+11

∴ Determinante de A, es decir, |A| = (-33)

Ejemplo 2: Encontrar determinante de la matriz B = egin{vmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 3 & 0 4 & 1 & 2 end{vmatrix}

Detrminante de B = 1(3×2 – 0×1) – 2(0×2 – 0×4) + 1(0×1 – 3×4)

⇒ Determinante de B = 1(6-0) – 2(0) + 1(-12)

⇒ Determinante de B = 1(6) – 0 – 12

⇒ Determinante de B =6-12

⇒ Determinante de B = (-6)

∴ Determinante de B, es decir, |B| = 6

Ejemplo 3: encontrar el determinante de la matriz C egin{vmatrix} 3 & 1 & 2 0 & 2 & 5 2 & 0 & 4 end{vmatrix}

Determinante de la matriz C = 3(2×4 – 5×0) – 1(0×4 – 5×2) + 2(0×0 – 2×2)

⇒ Determinante de C = 3(8-0) – 1(0-10) + 2(0-4)

⇒ Determinante de C =3(8) – 1(-10) + 2(-4)

⇒ Determinante de C = 24 + 10 -8

⇒ Determinante de C = 26

∴ Determinante de C, es decir, |C| = 26

Ejemplo 4: resolver el sistema de ecuaciones dado usando la regla de Cramer

2x + 3y – z = 7
4x – 2y + 3z = 8
x + y + 2z = 10

Solución:

Paso 1: Primero, encuentra el determinante D de matriz de coeficientes.

D = egin{vmatrix} 2 & 3 & -1 4 & -2 & 3 1 & 1 & 2 end{vmatrix}

Al resolver este determinante D

D= 2(-2×2-3×1) – 3(4×2-1×3) – (-1)(4×1-(-2)×3)

⇒ D= 2(-4-3) – 3(8-3) – (-1)(4+6)

⇒ D= 2(-7) – 3(5) – (-1)(10)

⇒ D= -14-15+10

⇒ D= -19

Paso 2: Ahora, encuentre los determinantes de D_X, D_yy D_Con

Para D_X, reemplazamos los coeficientes de x con las constantes del lado derecho:

Dx = egin{vmatrix} 7 & 3 & -1 8 & -2 & 3 10 & 1 & 2 end{vmatrix}

Para D_y, reemplazamos los coeficientes de y con las constantes:

Dy = egin{vmatrix} 2 & 7 & -1 4 & 8 & 3 1 & 10 & 2 end{vmatrix}

Para D_Con, reemplazamos los coeficientes de z con las constantes:

Dz = egin{vmatrix} 2 & 3 & 7 4 & -2 & 8 1 & 1 & 10 end{vmatrix}

Sobre la resolución del determinante D_X

D_X= 7(-2×2 – 3×1) – 3(8×2 – 3×10) – (-1)(8×1 – (-2×10)

⇒ D_X= 7(-4 – 3) – 3(16 – 30) – (-1)(8 + 20)

⇒ D_X= 7(-7) – 3(-14) + 28

⇒ D_X= -49 + 42 + 28

Así, D._X= 21

Sobre la resolución del determinante D_y

D_y= 2(-2×2 – 3×10) – 7(4×2 – 1×10) – (-1)(4×1 – (-2×10)

⇒ D_y= 2(-4 – 30) – 7(8 – 10) – (-1)(4 + 20)

⇒ D_y= 2(-34) – 7(-2) + 24

⇒ D_y= -68 + 14 + 24

⇒ D_y= -30

Sobre la resolución del determinante D_Con

D_Con= 2(-2×(-2) – 3×(-2)) – 3(4×(-2) – 1×(-10)) – 7(4×3 – (-2×1)

⇒ D_Con= 2(4 + 6) – 3(-8 + 10) – 7(12 + 2)

⇒ D_Con= 2(10) – 3(2) – 7(14)

⇒ D_Con= 20 – 6 – 98

⇒ D_Con= -84

Paso 3: Ahora poniendo los valores de D, D_X, D_yy D_Conen la fórmula de la regla de Carmer para encontrar los valores de x,y y z.

x = D_X/D = 21/(-19)

y = D_y/D = (-30)/(-19)

z = D_Con/D = (-84)/(-19)

Preguntas de práctica sobre el determinante de la matriz 3 × 3

P1. Calcular el determinante de la matriz identidad:

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

P2. Encuentra el determinante de la matriz:

egin{bmatrix} 3 & 2 & 0 0 & 4 & -1 2 & 1 & 5 end{bmatrix}

P3. Determinar el determinante de la matriz:

egin{bmatrix} 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

P4. Calcular el determinante de la matriz:

egin{bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -3 end{bmatrix}

P5. Encuentra el determinante de la matriz:

egin{bmatrix} 4 & 3 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 4 end{bmatrix}

P6. Determinar el determinante de la matriz:

egin{bmatrix} 0 & 1 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

Determinante de la matriz 3 × 3 – Preguntas frecuentes

1. ¿Qué es una matriz?

Una matriz es una disposición rectangular de números o elementos organizados en filas y columnas. Se utiliza en diversos campos para representar y resolver problemas matemáticos, científicos y de ingeniería.

2. ¿Cuál es el significado del Determinante de una Matriz 3 × 3?

El determinante de una matriz de 3 × 3 es significativo porque proporciona información sobre las propiedades de la matriz. Ayuda a determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene una solución única, entre otras aplicaciones.

3. ¿Cuál es la definición de Determinante de Matriz?

El determinante de una matriz es un valor escalar calculado a partir de los elementos de la matriz, que proporciona información sobre sus propiedades. Se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales, encontrar inversas y más.

4. ¿Qué pasa si el determinante de una matriz de 3 × 3 es cero?

Si el determinante de una matriz de 3 × 3 es cero, significa que la matriz es singular y no tiene inversa. En términos geométricos, indica que la transformación representada por la matriz colapsa el área o volumen a cero. determinante es siempre cero. Esto es aplicable a matrices de cualquier tamaño.

5. ¿Puede ser negativo el determinante de una matriz de 3 × 3?

Sí, el determinante puede ser negativo. El signo del determinante depende de la disposición de los elementos de la matriz y de si dan como resultado un valor positivo o negativo según el método de cálculo.

6. ¿Cuáles son algunas aplicaciones prácticas de encontrar el determinante de una matriz de 3 × 3?

Los determinantes se utilizan en diversos campos, incluidos la física, la ingeniería, la infografía y la economía. Ayudan a resolver sistemas de ecuaciones lineales, analizar transformaciones geométricas y determinar la estabilidad de sistemas dinámicos.