El álgebra booleana es un tipo de álgebra que se crea operando el sistema binario. En el año 1854, George Boole, un matemático inglés, propuso esta álgebra. Esta es una variante de la lógica proposicional de Aristóteles que utiliza los símbolos 0 y 1, o Verdadero y Falso. El álgebra booleana se ocupa de variables binarias y operaciones lógicas.
El álgebra booleana es fundamental en el desarrollo de sistemas electrónicos digitales ya que todos utilizan el concepto de Álgebra de Boole para ejecutar comandos. Además de en la electrónica digital, esta álgebra también encuentra su aplicación en la teoría de conjuntos, la estadística y otras ramas de las matemáticas.
En este artículo, aprenderemos en detalle las operaciones booleanas básicas, las expresiones booleanas, las tablas de verdad, las leyes booleanas y otras.
Tabla de contenidos
- Operaciones de álgebra booleana
- Tabla de Algbera Booleana
- Expresión booleana y variables
- Terminologías del álgebra booleana
- Tablas de verdad en álgebra booleana
- Reglas del álgebra booleana
- Leyes del álgebra booleana
- Teoremas del álgebra booleana
- Ejemplos resueltos de álgebra booleana
Operaciones de álgebra booleana
Hay varias operaciones que se utilizan en el álgebra de Boole, pero las operaciones básicas que forman la base del álgebra de Boole sí lo son.
- Negación o NO Operación
- Conjunción o Operación Y
- Disyunción o Operación O
Expresión de álgebra booleana
Controlar: Conceptos básicos del álgebra booleana en electrónica digital
Estas operaciones tienen sus propios símbolos y precedencia y la tabla agregada a continuación muestra el símbolo y la precedencia de estos operadores.
Operador | Símbolo | Precedencia ¿Cómo puedo saber el tamaño de mi monitor? |
|---|---|---|
NO | ' (o) ⇁ | Primero |
Y | . (o) ∧ | Segundo |
O | + (o) ∨ | Tercero |
Podemos definir fácilmente estas operaciones usando dos variables booleanas.
Tomemos dos variables booleanas A y B que pueden tener cualquiera de los dos valores 0 o 1, es decir, pueden estar desactivadas o activadas. Entonces estas operaciones se explican como,
Negación o NO Operación
Utilizando el NO La operación invierte el valor de la variable booleana de 0 a 1 o viceversa. Esto puede entenderse como:
- Si A = 1, entonces usando la operación NOT tenemos (A)’ = 0
- Si A = 0, entonces usando la operación NOT tenemos (A)’ = 1
- También representamos la operación de negación como ~A, es decir, si A = 1, ~A = 0
Controlar: Propiedades del álgebra booleana
Conjunción u Operación AND
Utilizando el Y La operación satisface la condición si tanto el valor de las variables individuales es verdadero como si alguno de los valores es falso, entonces esta operación da un resultado negativo. Esto puede entenderse como,
- Si A = Verdadero, B = Verdadero, entonces A. B = Verdadero
- Si A = Verdadero, B = Falso, O A = falso, B = Verdadero, entonces A. B = Falso
- Si A = Falso, B = Falso, entonces A. B = Falso
Controlar: Teoremas algebraicos booleanos
Operación de disyunción (OR)
Utilizando el O La operación satisface la condición si algún valor de las variables individuales es verdadero, solo da un resultado negativo si ambos valores son falsos. Esto puede entenderse como,
- Si A = Verdadero, B = Verdadero, entonces A + B = Verdadero
- Si A = Verdadero, B = Falso, O A = falso, B = Verdadero, entonces A + B = Verdadero
- Si A = Falso, B = Falso, entonces A + B = Falso
Tabla de álgebra booleana
A continuación se muestra la expresión para el álgebra booleana.
| Operación | Símbolo | Definición |
|---|---|---|
| Y Operación | ⋅ o ∧ | Devuelve verdadero sólo si ambas entradas son verdaderas. |
| O Operación | + o ∨ | Devuelve verdadero si al menos una entrada es verdadera. |
| NO operación | ¬ o ∼ | Invierte la entrada. |
| Operación XOR | ⊕ | Devuelve verdadero si exactamente una entrada es verdadera. |
| Operación NAND | ↓ | Devuelve falso sólo si ambas entradas son verdaderas. |
| Operación NI | ↑ | Devuelve falso si al menos una entrada es verdadera. |
| Operación XNOR | ↔ | Devuelve verdadero si ambas entradas son iguales. |
Expresión booleana y variables
La expresión booleana es una expresión que produce un valor booleano cuando se evalúa, es decir, produce un valor verdadero o un valor falso. Mientras que las variables booleanas son variables que almacenan números booleanos.
P + Q = R es una frase booleana en la que P, Q y R son variables booleanas que solo pueden almacenar dos valores: 0 y 1. El 0 y el 1 son sinónimos de falso y verdadero y se usan en álgebra booleana, a veces. También usamos Sí en lugar de Verdadero y No en lugar de Falso.
Por lo tanto, podemos decir que las declaraciones que utilizan variables booleanas y operan con operaciones booleanas son expresiones booleanas. Algunos ejemplos de expresiones booleanas son,
- A + B = Verdadero
- A.B = Verdadero
- (A)’ = Falso
Controlar: Axiomas del álgebra booleana
Terminologías del álgebra booleana
Existen varias terminologías relacionadas con el álgebra booleana, que se utilizan para explicar varios parámetros de Álgebra de Boole . Eso incluye,
diagrama uml java
- Álgebra de Boole
- Variables booleanas
- Función booleana
- Literal
- Complementar
- Mesa de la verdad
Ahora, discutiremos las terminologías importantes del álgebra booleana en el artículo siguiente.
Álgebra de Boole
La rama del álgebra que se ocupa de las operaciones binarias u operaciones lógicas se llama Álgebra de Boole. Fue introducido por George Boole a mediados del siglo XIX. Se utiliza para analizar y manipular funciones lógicas en variables binarias. Se utiliza ampliamente en diversos campos, como el diseño de lógica digital, la informática y las telecomunicaciones.
Variables booleanas
Las variables utilizadas en álgebra booleana que almacenan el valor lógico de 0 y 1 se denominan variables booleanas. Se utilizan para almacenar valores verdaderos o falsos. Las variables booleanas son fundamentales para representar estados o proposiciones lógicas en expresiones y funciones booleanas.
Función booleana
Una función del Álgebra Booleana que se forma mediante el uso de variables booleanas y operadores booleanos se llama función booleana. Se forma combinando variables booleanas y expresiones lógicas como AND, OR y NOT. Se utiliza para modelar relaciones, condiciones u operaciones lógicas.
Literal
Una variable o el complemento de la variable en álgebra booleana se llama literal. Los literales son los componentes básicos de las expresiones y funciones booleanas. Representan los operandos en operaciones lógicas.
Complementar
La inversa de la variable booleana se llama complemento de la variable. El complemento de 0 es 1 y el complemento de 1 es 0. Está representado por 'o (¬) sobre la variable. Los complementos se utilizan para representar negaciones lógicas en expresiones y funciones booleanas.
Mesa de la verdad
La tabla que contiene todos los valores posibles de las variables lógicas y la combinación de la variable junto con la operación dada se llama tabla de verdad. El número de filas en la tabla de verdad depende del total de variables booleanas utilizadas en esa función. Se da usando la fórmula,
Número de filas en la tabla de verdad = 2 norte
donde n es el número de variables booleanas utilizadas.
Controlar:
- Teoría de conjuntos
- Estadísticas
Tablas de verdad en álgebra booleana
Una tabla de verdad representa todas las combinaciones de valores de entrada y salidas de forma tabular. En ella se muestran todas las posibilidades de entrada y salida y de ahí el nombre de tabla de verdad. En los problemas de lógica, las tablas de verdad se utilizan comúnmente para representar varios casos. T o 1 denota 'Verdadero' y F o 0 denota 'Falso' en la tabla de verdad.
Ejemplo: Dibuje la tabla de verdad de las condiciones A + B y A.B donde A y b son variables booleanas.
Solución:
La tabla de verdad requerida es,
| A | B | X = A + B | Y = A.B |
|---|---|---|---|
| t | t | t | t |
| t | F | t | F |
| F | t | t | F |
| F | F | F | F |
Reglas del álgebra booleana
En el álgebra booleana existen diferentes reglas fundamentales para la expresión lógica.
- Representación binaria: En álgebra booleana, las variables solo pueden tener dos valores, 0 o 1, donde 0 representa bajo y 1 representa alto. Estas variables representan estados lógicos del sistema.
- Representación complementaria: El complemento de las variables está representado por (¬) o (‘) sobre la variable. Esto indica negación lógica o inversión del valor de la variable. Entonces el complemento de la variable A se puede representar por
overline{A} ,si el valor de A=0 entonces su complemento es 1. - O Operación: La operación O está representada por (+) entre las Variables. La operación OR devuelve verdadero si al menos uno de los operandos es verdadero. Para ejemplos, tomemos tres variables A, B, C, la operación OR se puede representar como A+B+C.
- Y Operación: La operación AND se indica con (.) entre las variables. La operación AND devuelve verdadero solo si todos los operandos son verdaderos. Para ejemplos, tomemos tres variables A, B, C, la operación AND se puede representar A.B.C o ABC.
Leyes del álgebra booleana
Las leyes básicas del Álgebra Booleana se agregan en la tabla que se agrega a continuación,
| Ley | O formulario | Y forma |
|---|---|---|
| Ley de Identidad | P + 0 = P | P.1 = P |
| Ley Idempotente | P + P = P | P.P = P |
| Ley conmutativa | P + Q = Q + P | PQ = QP |
| Ley asociativa | P + (Q + R) = (P + Q) + R | P.(Q.R) = (P.Q).R |
| Ley distributiva | P + QR = (P + Q).(P + R) | P.(Q + R) = P.Q + P.R |
| Ley de inversión | (A')' = A | (A')' = A |
| De Morgan’s Law | (P + Q)’ = (P)’.(Q)’ | (P.Q)’ = (P)’ + (Q)’ |
Conozcamos estas leyes en detalle.
Ley de Identidad
En el álgebra booleana, tenemos elementos identidad para operaciones AND(.) y OR(+). La ley de identidad establece que en el álgebra booleana tenemos tales variables que al operar con las operaciones AND y OR obtenemos el mismo resultado, es decir
- Un + 0 = Un
- A.1 = A
Ley conmutativa
Las variables binarias en álgebra booleana siguen la ley conmutativa. Esta ley establece que operar con las variables booleanas A y B es similar a operar con las variables booleanas B y A. Es decir,
- A.B = B.A
- A + B = B + A
Ley asociativa
La ley asociativa establece que el orden de realización del operador booleano es ilógico ya que su resultado es siempre el mismo. Esto puede entenderse como,
lista de matrices en orden java
- (A.B). C = A . ( ANTES DE CRISTO )
- (A + B) + C = A + (B + C)
Ley distributiva
Las variables booleanas también siguen la ley distributiva y la expresión de la ley distributiva viene dada por:
- A . (B + C) = (A. B) + (A. C)
Ley de inversión
La ley de inversión es la única ley del álgebra booleana. Esta ley establece que el complemento del complemento de cualquier número es el número mismo.
- (A')' = A
Aparte de estas otras leyes se mencionan a continuación:
Y ley
La ley AND del álgebra booleana utiliza el operador AND y la ley AND es,
- A . 0 = 0
- A . 1 = Un
- A . Una = Una
O ley
La ley OR del álgebra booleana utiliza el operador OR y la ley OR es,
- Un + 0 = Un
- Un + 1 = 1
- A + A = A
Las leyes de De Morgan también se llaman De morgan’s Theorem . Son las leyes más importantes en Álgebra de Boole y estos se agregan a continuación bajo el título Teorema del álgebra booleana
Teoremas del álgebra booleana
Hay dos teoremas básicos de gran importancia en el álgebra de Boole, que son las Primeras Leyes de De Morgan y las Segundas Leyes de De Morgan. También se denominan teoremas de De Morgan. Ahora aprendamos sobre ambos en detalle.
Primeras leyes de De Morgan
La tabla de verdad para lo mismo se proporciona a continuación:
| PAG | q | (PAG)' | (P)’ | (P.Q)’ | (P)’ + (Q)’ |
|---|---|---|---|---|---|
| t | t | F | F | F | F |
| t | F | F | t | t | t |
| F | t | t | F | t | t |
| F | F | t | t | t | t |
Podemos ver claramente que los valores de verdad para (P.Q)’ son iguales a los valores de verdad para (P)’ + (Q)’, correspondientes a la misma entrada. Por tanto, la Primera Ley de De Morgan es cierta.
De Morgan’s Second laws
Declaración: El complemento de la suma (O) de dos variables booleanas (o expresiones) es igual al producto (Y) del complemento de cada variable booleana (o expresión).
(P + Q)’ = (P)’.(Q)’
Prueba:
La tabla de verdad para lo mismo se proporciona a continuación:
| PAG | q | (PAG)' | (P)’ | (P+Q)’ | (P)’.(Q)’ |
|---|---|---|---|---|---|
| t | t | F | F | F | F |
| t | F | F | t | F | F |
| F | t | t | F | F | F |
| F | F | t | t | t | t |
Podemos ver claramente que los valores de verdad para (P + Q)’ son iguales a los valores de verdad para (P)’.(Q)’, correspondientes a la misma entrada. Por tanto, la Segunda Ley de De Morgan es cierta.
Leer más,
Ejemplos resueltos de álgebra booleana
Dibuje la tabla de verdad para P + P.Q = P
Solución:
La tabla de verdad para P + P.Q = P
PAG q PQ P + PQ t t t t t F F t F t F F F F F F En la tabla de verdad, podemos ver que los valores de verdad para P + P.Q son exactamente los mismos que los de P.
Dibuje la tabla de verdad para P.Q + P + Q
Solución:
La tabla de verdad para P.Q + P + Q
PAG q PQ P.Q + P + Q t t t t t F F t F t F t F F F F
Resolver
Solución:
Usando la ley de De Morgan
overline{A}+B.C=overline{A}.(B+C) Usando la ley distributiva
la cadena contiene
overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C Entonces, la expresión simplificada para la ecuación dada
overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C
Conclusión
El álgebra booleana sirve como marco fundamental para representar y manipular expresiones lógicas utilizando variables binarias y operadores lógicos. Desempeña un papel crucial en diversos campos, como el diseño de lógica digital, la programación de computadoras y el análisis de circuitos. Al proporcionar una forma sistemática de describir y analizar relaciones lógicas, el álgebra booleana permite el desarrollo de sistemas y algoritmos complejos. Sus principios y operaciones, incluidos AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR y XNOR, forman los componentes básicos para diseñar circuitos lógicos, escribir código eficiente y resolver problemas lógicos.
Álgebra booleana: preguntas frecuentes
¿Qué es el álgebra booleana?
Álgebra booleana también llamada Álgebra lógica Es una rama de las matemáticas que se ocupa de variables booleanas como 0 y 1.
¿Cuáles son los principales operadores booleanos?
Hay tres operadores booleanos principales que son,
- Y (Conjunción)
- O (Disyunción)
- NO (Negación)
¿Cómo minimizar la función booleana?
Existen varios métodos para minimizar funciones booleanas, que incluyen:
- Simplificación algebraica:
- Mapas de Karnaugh (K-Maps):
- Algoritmo de Quine-McCluskey:
- Método de tabulación:
- Condiciones que no nos importan:
¿Cuáles son las aplicaciones del álgebra booleana?
Álgebra de Boole tiene diversas aplicaciones. Se utiliza para simplificar circuitos lógicos que son la columna vertebral de la tecnología moderna.
¿Qué representa 0 en álgebra booleana?
El 0 en Álgebra de Boole representa una condición Falso o representa la condición de Apagado.
¿Qué representa 1 en álgebra booleana?
El 1 en Álgebra de Boole representa una condición Verdadera o representa la condición de Encendido.
¿Qué son las leyes del álgebra booleana?
Las leyes del álgebra booleana son reglas para manipular expresiones lógicas con variables binarias, garantizar la coherencia y la simplificación en operaciones como la suma, la multiplicación y la complementación, cruciales en campos como la electrónica digital y la informática.
¿Cuáles son las 5 leyes del álgebra booleana?
álgebra de Boole se rige por cinco leyes primarias, que sirven como base para manipular expresiones lógicas:
1. Ley de Identidad para AND
2. Ley de identidad para quirófano
3. Ley Complementaria del AND
4. Ley Complementaria para OR
5. Ley de Idempotencia
¿Cuáles son las 3 leyes de la lógica booleana?
Las tres leyes fundamentales de la lógica booleana son
- La ley de identidad (sumar cero o multiplicar por uno mantiene la variable sin cambios)
- La ley de dominación (sumar una variable a su complemento da como resultado 1 y multiplicarla por su complemento da como resultado 0)
- La ley conmutativa (El orden de las variables se puede cambiar mediante suma o multiplicación sin cambiar el resultado).
¿Qué es el teorema de De Morgan?
El teorema de De Morgan establece que t el complemento de una operación lógica AND es equivalente a la operación OR de los complementos de los términos individuales, y viceversa. Es un principio fundamental del álgebra booleana que se utiliza para simplificar expresiones lógicas y optimizar circuitos lógicos.