La inducción matemática es un concepto en matemáticas que se utiliza para probar diversos enunciados y teoremas matemáticos. El principio de inducción matemática a veces se denomina PMI. Es una técnica que se utiliza para demostrar los teoremas básicos de las matemáticas que implican la solución de hasta n términos naturales finitos.

El principio de inducción matemática se utiliza ampliamente para demostrar diversas afirmaciones, como la suma de los primeros norte números naturales viene dada por la fórmula norte(norte+1)/2. Esto se puede demostrar fácilmente utilizando el Principio de Inducción Matemática.

En este artículo, aprenderemos en detalle sobre el principio de inducción matemática, su enunciado, su ejemplo y otros.

Tabla de contenidos

• ¿Qué es la inducción matemática?
• Declaración del principio de inducción matemática
• Pasos de inducción matemática
• Ejemplo de inducción matemática

¿Qué es la inducción matemática?

La inducción matemática es uno de los métodos fundamentales para escribir pruebas y se utiliza para probar una afirmación dada sobre cualquier conjunto bien organizado. Generalmente se utiliza para probar resultados o establecer afirmaciones que se formulan en términos de norte , donde n es un número natural.

Supongamos que P (n) es un enunciado para n números naturales, entonces se puede probar usando el principio de inducción matemática. Primero probaremos para P (1), luego dejaremos que P (k) sea verdadero y luego probaremos para P (k + 1). . Si P(k+1) se cumple, entonces decimos que P(n) es verdadero según el principio de inducción matemática.

Podemos comparar la inducción matemática con la caída de fichas de dominó. Cuando una ficha de dominó cae, derriba la siguiente ficha de dominó en sucesión. La primera ficha derriba a la segunda, la segunda derriba a la tercera y así sucesivamente. Al final, todas las fichas de dominó caerán. Pero hay algunas condiciones que deben cumplirse:

• El paso básico es que la ficha de dominó inicial debe caer para poner en acción el proceso de golpe.
• La distancia entre fichas de dominó debe ser igual para dos fichas de dominó adyacentes. De lo contrario, una determinada ficha de dominó podría caer sin pasar a la siguiente. Entonces la secuencia de reacciones se detendrá. Mantener la misma distancia entre dominó asegura que P(k) ⇒ P(k + 1) para cada entero k ≥ a. Este es el paso inductivo.

Declaración del principio de inducción matemática

Cualquier afirmación P(n) que sea para n número natural se puede demostrar utilizando el principio de inducción matemática siguiendo los pasos a continuación:

Paso 1: Verifique si la afirmación es verdadera para casos triviales ( norte = 1) es decir, comprobar si P(1) es verdadero.

Paso 2: Supongamos que la afirmación es verdadera para n = k para algún k ≥ 1, es decir, P(k) es verdadera.

Paso 3: Si la verdad de P(k) implica la verdad de P(k + 1), entonces el enunciado P(n) es verdadero para todos norte ≥ 1 .

La imagen agregada a continuación contiene todos los pasos de la Inducción Matemática.

La primera afirmación es el hecho y si no es posible que todos los P(n) sean verdaderos en n = 1, entonces estas afirmaciones son verdaderas para algunos otros valores de n, digamos n = 2, n = 3 y otros.

Si la afirmación es verdadera para P(k), entonces si se demuestra que P(k+1) es verdadera, entonces decimos que P(n) es verdadera para todos los n pertenecientes a Números Naturales (N).

Pasos de inducción matemática

Varios pasos utilizados en la inducción matemática reciben el nombre correspondiente. Los nombres de los distintos pasos utilizados en el principio de inducción matemática son,

• Paso básico: Demuestre que P(k) es cierto para k =1
• Paso de asunción: Sea P(k) cierto para todo k en N y k> 1
• Paso de inducción: Demuestre que P(k+1) es verdadero utilizando propiedades matemáticas básicas.

Si se prueban los tres pasos anteriores, entonces podemos decir que, según el principio de inducción matemática, P(n) es cierto para todo n que pertenece a N.

Ejemplo de inducción matemática

La inducción matemática se utiliza para probar varias afirmaciones. Podemos aprender esto con la ayuda del siguiente ejemplo.

Para cualquier número entero positivo n, demuestre que n³+ 2n siempre es divisible por 3

Solución:

Sea P(n): n³+ 2n es divisible por 3 sea el enunciado dado.

Paso 1: paso básico

En primer lugar demostramos que P(1) es verdadera. Sea n = 1 en n³+ 2n
= 1³+ 2(1)
= 3

Como 3 es divisible por 3, por tanto, P(1) es verdadero.

Paso 2: Paso de suposición

Supongamos que P(k) es verdadera

Entonces k³+ 2k es divisible por 3

Por tanto, podemos escribirlo como k³+ 2k = 3n, (donde n es cualquier número entero positivo)….(i)

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Paso 3: Pasos de Inducción

Ahora tenemos que demostrar que la expresión algebraica (k + 1)³+ 2(k + 1) es divisible por 3

= (k+1)³+ 2(k + 1)

=k³+ 3k²+ 5k + 3

= (k³+ 2 mil) + (3 mil²+ 3k + 3)

de la ecuación (i)

= 3norte + 3(k²+ k + 1)

= 3(norte + k²+ k + 1)

Como es múltiplo de 3 podemos decir que es divisible por 3.

Por tanto, P(k+1) es verdadero, es decir (k + 1)³+ 2(k + 1) es divisible por 3. Ahora, por el principio de inducción matemática, podemos decir que, P(n): n³+ 2n es divisible por 3 es cierto.

Leer más,

• Progresión aritmética
• Progresión geométrica

Ejemplos resueltos de inducción matemática

Ejemplo 1: Para todo n ≥ 1, demuestre que, 1 ² + 2 ² + 3 ² +….+n ² = {norte(norte + 1) (2norte + 1)} / 6

Solución:

Sea el enunciado dado P(n),

P(n):1^2+ 2^2 + 3^2+ ldots+ n^2 = frac{n(n + 1) (2n + 1)}{6} ~ ext{For n=1} P(1):frac{1(1+1)(2×1+1)}{6} = 1

Ahora, tomemos un entero positivo, k, y supongamos que P(k) es verdadero, es decir,

1^2 + 2^2 + 3^2 +….+k^2 = frac{k(k+1)(2k+1)}{6}

Ahora demostraremos que P(k + 1) también es cierto, por lo que ahora tenemos,

P(k + 1) = P(k) + (k + 1)²

= frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = frac {k(k+1)(2k+1)+6{(k+1)}^2}{6} = (k+1) frac{( 2k^2 + k) + 6(k+1)}{6} =frac{(k+1)(2k^2 +7k+6)}{6} =frac{(k+1) (k+2) (2k+3)}{6} =frac{(k+1) ((k+1)+1) (2(k+1) +1)}{6}

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera para todos los números naturales. Por tanto, mediante el proceso de inducción matemática, el resultado dado es válido para todos los números naturales.

Ejemplo 2: Para todo n ≥ 1, demuestre que, 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+…+n(n + 1) (n + 2) = {n (n + 1) (n + 2) ( n + 3)} / 4

Solución:

Sea el enunciado dado S(n),

S(n):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ n.(n+1)(n+2) = frac{n(n + 1)(n + 2)(n+3)}{4} ext{For n=1,} S(1):frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = 6 ext{which is true.}

Ahora, tomemos un entero positivo, k, y supongamos que S(k) es verdadero, es decir,

S(k):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ k.(k+1)(k+2) = frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4}

Ahora demostraremos que S(k + 1) también es cierto, por lo que ahora tenemos,

S(k+1):S(k) + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)+ 4(k+1)(k+2)(k+3)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2}{(k+1)+3} }{4}

Por tanto, S(k + 1) es verdadero, siempre que S(k) sea verdadero para todos los números naturales. E inicialmente demostramos que S(1) es verdadero, por lo tanto S(n) es verdadero para todos los números naturales.

Ejemplo 3: Para todo n ≥ 1, demuestre que, 1 + 3 + 5 +… + 2n – 1 = n ²

Solución:

Sea el enunciado dado S(n),

y S(n) = 1 + 3 + 5+… +2n – 1 = n²

Para norte = 1, 2 × 1 – 1 = 1²Por tanto, S(1) es verdadera.

tamaño de pitón

Ahora, tomemos un entero positivo, k, y supongamos que S(k) es verdadero, es decir,

S(k) = 1+ 3 + 5+…+(2k – 1) = k²

Ahora demostraremos que S(k + 1) también es cierto, por lo que ahora tenemos,

1 + 3 + 5+…+ (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

LHS = 1 + 3 + 5 +…. (2k – 1 ) + 2k + 2 – 1

⇒ LHS = S(k) + 2k + 1

⇒ LHS = k²+ 2k + 1

⇒ LHS = (k + 1)²

⇒ LHS = RHS

Por tanto, S(k + 1) es verdadero, siempre que S(k) sea verdadero para todos los números naturales. E inicialmente demostramos que S(1) es verdadero, por lo tanto S(n) es verdadero para todos los números naturales.

Ejemplo 4: Para todo n ≥ 1, demuestre que, 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ n(n + 1) = {n(n + 1)(n + 2)} / 3

Solución:

Sea el enunciado dado S(n),

S(n):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ n.(n+1) = frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} ext{for n=1,} S(1) : frac{1(1+1)(1+2)}{3} = 2 ext{which is true.}

Ahora, tomemos un entero positivo, k, y supongamos que S(k) es verdadero, es decir,

S(k):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ k.(k+1) = frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3}

Ahora demostraremos que S(k + 1) también es cierto, por lo que ahora tenemos,

S(k+1) : S(k) + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) : frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3} + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) :frac{k(k+ 1)(k + 2)+ 3(k+1)(k+2)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2} }{3}

Por tanto, S(k + 1) es verdadero, siempre que S(k) sea verdadero para todos los números naturales. E inicialmente demostramos que S(1) es verdadero, por lo tanto S(n) es verdadero para todos los números naturales.

Ejemplo 5: demostrar una _norte = un ₁ + (n – 1) d, es el término general de cualquier secuencia aritmética.

Solución:

Para n = 1, tenemos un_norte= un₁+ (1 – 1) d = un₁, entonces la fórmula es verdadera para n = 1,

Supongamos que la fórmula a_k= un₁+ (k – 1) es cierto para todos los números naturales.

Ahora demostraremos que la fórmula también es cierta para k+1, por lo que ahora tenemos,

a_{k + 1}= un₁+ [(k + 1) – 1] d = a₁+k·d.

Supusimos que un_k= un₁+ (k – 1) d, y por la definición de una secuencia aritmética a_{k+ 1}- a_k= re,

Entonces un_{k + 1}- a_k

= (un₁+ k d) – (a1 + (k – 1)d)
= un₁- a₁+ kd – kd + d
= re

Por tanto, la fórmula es verdadera para k + 1, siempre que lo sea para k. E inicialmente demostramos que la fórmula es verdadera para n = 1. Por tanto, la fórmula es verdadera para todos los números naturales.

Preguntas frecuentes sobre inducción matemática

¿Qué es el principio de inducción matemática?

El principio de inducción matemática es un principio que dice que para cualquier enunciado P(n) si es verdadero para cualquier valor arbitrario 'a' si P(a) es verdadero y si tomamos que P(k) es verdadero entonces demostrando que P( k+1) es cierto, podemos demostrar que P(n) es verdadero para todo n ≥ a, y n que pertenecen a números naturales.

¿Cuál es el uso de la inducción matemática?

La inducción matemática es el principio básico que se utiliza en matemáticas para probar afirmaciones básicas en matemáticas que no se pueden probar fácilmente por otros medios.

¿Cuál es el principio de inducción matemática en matrices?

El principio de inducción matemática en matrices es un principio básico que se utiliza para probar enunciados básicos en matrices que no se pueden demostrar fácilmente por otros medios.

¿Cómo aplicar el principio de inducción matemática?

El principio de inducción matemática se utiliza para probar enunciados matemáticos. Supongamos que tenemos que probar un enunciado P (n), entonces los pasos aplicados son:

Paso 1: Demuestre que P(k) es cierto para k =1

Paso 2: Sea P(k) cierto para todo k en N y k> 1

Paso 3: Demuestre que P(k+1) es verdadero utilizando propiedades matemáticas básicas.

Por tanto, si P(k+1) es verdadero, entonces decimos que P(n) es verdadero.

¿Cuáles son los pasos para resolver un problema mediante inducción matemática?

Tres pasos básicos utilizados en la inducción matemática son

• Paso básico
• Paso de asunción
• Paso de inducción