El área bajo la curva es el área encerrada por la curva y los ejes de coordenadas, se calcula tomando rectángulos muy pequeños y luego tomando su suma. Si tomamos rectángulos infinitamente pequeños, entonces su suma se calcula tomando el límite de la función así formada.

Para una función dada f(x) definida en el intervalo [a, b], el área (A) bajo la curva de f(x) de 'a' a 'b' está dada por Un = ∫ _a ^b f(x)dx . El área bajo una curva se calcula tomando el valor absoluto de la función en el intervalo [a, b], sumado en el rango.

En este artículo conoceremos en detalle el área bajo la curva, sus aplicaciones, ejemplos y otros.

Tabla de contenidos

• ¿Qué es el área bajo la curva?
• Calcular el área bajo la curva
• Usando sumas de Reimann
• Usando integrales definidas
• Área aproximada bajo la curva
• Calcular el área bajo la curva
• Fórmulas de área bajo curva

¿Qué es el área bajo la curva?

El área bajo la curva es el área encerrada por cualquier curva con el eje x y dadas las condiciones de contorno, es decir, el área delimitada por la función y = f(x), el eje x y la línea x = a y x = b. En algunos casos, solo hay una o ninguna condición de contorno, ya que la curva corta el eje x una o dos veces respectivamente.

El área bajo la curva se puede calcular utilizando varios métodos, como la suma de Reimann y Definite integral y también podemos aproximar el área usando las formas básicas, es decir, triángulo, rectángulo, trapecio, etc.

Leer en detalle: Cálculo en matemáticas

Calcular el área bajo la curva

Para calcular el área bajo una curva, podemos utilizar los siguientes métodos como:

• Usando sumas de Reimann
• Usando integrales definidas
• Usando aproximación

Estudiemos estos métodos en detalle de la siguiente manera:

Usando sumas de Reimann

Sumas de Reimann se calcula dividiendo la gráfica de una función determinada en rectángulos más pequeños y sumando las áreas de cada rectángulo. Cuantos más rectángulos consideremos al subdividir el intervalo proporcionado, más precisa será el área calculada mediante este enfoque; sin embargo, cuantos más subintervalos consideremos, más difíciles se vuelven los cálculos.

La suma de Reimann se puede clasificar en tres categorías más, como:

• Suma de Reimann izquierda
• Suma de Reimann derecha
• Suma de Reimann del punto medio

El área usando la suma de Reimann se obtiene de la siguiente manera:

old{Area = sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i}

dónde,

• f(x) _i ) es el valor de la función que se integra en el i ^th punto de muestreo
• Δx = (b-a)/n es el ancho de cada subintervalo,
  • a y b son los límites de la integración y
  • norte es el número de subintervalos
• ∑ representa la suma de todos los términos desde i=1 hasta n,

Ejemplo: encuentre el área bajo la curva de la función f(x) = x ² entre los límites x = 0 y x = 2.

Solución:

Queremos encontrar el área bajo la curva de esta función entre x = 0 y x = 2. Usaremos una suma de Reimann izquierda con n = 4 subintervalos para aproximar el área.

Calculemos el área bajo la curva usando 4 subintervalos.

Por tanto, ancho de subintervalos, Δx = (2-0)/4 = 0,5

Los 4 subintervalos son,

a = 0 = x_{0 1 2 3 4}= 2 = segundo

X₀= 0,x₁= 0,5,x₂= 1,x₃= 1,5, x₄= 2

Ahora podemos evaluar la función en estos valores de x para encontrar las alturas de cada rectángulo:

f(x)₀) = (0)²= 0
f(x)₁) = (0.5)²= 0.25
f(x)₂) = (1)²= 1
f(x)₃) = (1.5)²= 2.25
f(x)₄) = (2)²= 4

El área bajo la curva ahora se puede aproximar sumando las áreas de los rectángulos formados por estas alturas:

A ≈ Δx[f(x)₀) + f(x₁) + f(x₂) + f(x₃)] = 0.5[0 + 0.25 + 1 + 2.25] = 1.25

Por lo tanto, área bajo la curva de f(x) = x²entre x = 0 y x = 2, aproximado usando una suma de Reimann izquierda con 4 subintervalos, es aproximadamente 1,25.

Usando integrales definidas

La integral definida es casi igual a la suma de Reimann, pero aquí el número de subintervalos tiende al infinito. Si la función se da para el intervalo [a, b] entonces la integral definida se define como:

int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n o infty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i

Una Integral definida da el área exacta bajo la curva, a diferencia de la suma de Reimann. La integral definida se calcula encontrando la antiderivada de la función y evaluándola en los límites de integración.

Área con respecto al eje X

La curva que se muestra en la imagen a continuación se representa usando y = f(x). Necesitamos calcular el área bajo la curva con respecto al eje x. Los valores límite de la curva en el eje x son a y b respectivamente. El área A bajo esta curva con respecto al eje x se calcula entre los puntos x = a y x = b. Considere la siguiente curva:

La fórmula para el área bajo la curva con respecto al eje x viene dada por:

old{A = int_{a}^{b}y.dx}

old{A = int_{a}^{b}f(x)dx}

dónde,

• A es el área bajo la curva
• y o f(x) es la ecuación de la curva
• a, y b son valores de x o límite de integración, para lo cual necesitamos calcular el área

Área con respecto al eje Y

La curva que se muestra en la imagen de arriba se representa usando x = f(y). Necesitamos calcular el área bajo la curva con respecto al eje Y. Los valores límite de la curva en el eje Y son a y b respectivamente. El área A bajo esta curva con respecto al eje Y entre los puntos y = aey = b. Considere la siguiente curva:

La fórmula para el área bajo la curva con respecto al eje y viene dada por:

old{A = int_{a}^{b}x.dy}

old{A = int_{a}^{b}f(y)dy}

dónde,

• A es el área bajo la curva
• X o f(y) es la ecuación de la curva
• a, b are y-Intercepts

Aprende más, Área entre dos curvas

Área aproximada bajo la curva

Aproximar el área bajo la curva implica el uso de formas geométricas simples, como rectángulos o trapecios, para estimar el área bajo la curva. Este método es útil cuando la función es difícil de integrar o cuando no es posible encontrar una primitiva de la función. La precisión de la aproximación depende del tamaño y número de formas utilizadas.

Calcular el área bajo la curva

Podemos calcular fácilmente el área de las distintas curvas utilizando los conceptos analizados en el artículo correspondiente. Ahora consideremos algunos ejemplos de cálculo del área bajo la curva para algunas curvas comunes.

Área bajo la curva: parábola

Sabemos que una parábola estándar se divide en dos partes simétricas ya sea por el eje x o por el eje y. Supongamos que tomamos una parábola y²= 4ax y luego su área se calculará desde x = 0 hasta x = a. Y si es necesario duplicamos su área para encontrar el área de la parábola en ambos cuadrantes.

Área de cálculo,

y²= 4 ejes

y = √(4ax)

Un = 2∫₀^ay.dx

Un = 2∫₀^a√(4ax).dx

A = 4√(a)∫₀^a√(x).dx

A = 4√(a){2/3.a^3/2}

A = 8/3a²

Por tanto, el área bajo la parábola desde x = 0 hasta x = a es 8/3a ² unidades cuadradas

Área bajo curva: círculo

Un círculo es una curva cerrada cuya circunferencia está siempre a igual distancia de su centro. Su área se calcula calculando primero el área en el primer cuadrante y luego multiplicándola por 4 para los cuatro cuadrantes.

Supongamos que tomamos un círculo x²+ y²= un²y luego su área se calculará desde x = 0 hasta x = a en el primer cuadrante. Y si es necesario cuadruplicamos su área para encontrar el área del círculo.

Área de cálculo,

X²+ y²= un²

y = √(a²- X²).dx

Un = 4∫₀^ay.dx

Un = 4∫₀^a√(un²- X²).dx

A = 4[x/2√(a²- X²) + un²/2 sin^-1(x/a)]^a₀

A = 4[{(a/2).0 + a²/2.sin^-1} – 0]

A = 4(a²/2)(p/2)

A = πa²

Por tanto, el área bajo el círculo es Pensilvania ² unidades cuadradas

Área bajo curva: elipse

Un círculo es una curva cerrada. Su área se calcula calculando primero el área en el primer cuadrante y luego multiplicándola por 4 para los cuatro cuadrantes.

Supongamos que tomamos un círculo (x/a)²+ (y/b)²= 1 y luego su área se calculará desde x = 0 hasta x = a en el primer cuadrante. Y si es necesario cuadruplicamos su área para encontrar el área de la elipse.

Área de cálculo,

(x/un)²+ (y/b)²= 1

y = b/a√(a²- X²).dx

Un = 4∫₀^ay.dx

A = 4b/a∫₀^a√(un²- X²).dx

A = 4b/a[x/2√(a²- X²) + un²/2 sin^-1(x/a)]^a₀

A = 4b/a[{(a/2).0 + a²/2.sin^-1} – 0]

A = 4b/a(a²/2)(p/2)

A = πab

Por tanto, el área bajo la elipse es ab unidades cuadradas.

Fórmulas de área bajo curva

A continuación se tabula la fórmula para varios tipos de cálculo del área bajo la curva:

Además, lea

• Integrales
• Area as Definite Integral

Ejemplos de muestra sobre el área bajo la curva

Ejemplo 1: encontrar el área bajo la curva y ² = 12x y el eje X.

Solución:

La ecuación de la curva dada es y²= 12x

Esta es una ecuación de parábola con a = 3 entonces, y²= 4(3)(x)

El gráfico para el área requerida se muestra a continuación:

El eje X divide la parábola anterior en 2 partes iguales. Entonces, podemos encontrar el área en el primer cuadrante y luego multiplicarla por 2 para obtener el área requerida.

Entonces, podemos encontrar el área requerida como:

A = 2int_{a}^{b}ydx

⇒A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx

⇒A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27}

⇒ A = 24 unidades cuadradas

Ejemplo 2: Calcular el área bajo la curva x = y ³ – 9 entre los puntos y = 3 e y = 4.

Solución:

Dado, la ecuación de la curva es x = y³– 9

Los puntos límite son (0, 3) y (0, 4)

Como la ecuación de la curva tiene la forma x = f(y) y los puntos también están en el eje Y, usaremos la fórmula,

A = int_{a}^{b}x.dy

⇒A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy

⇒A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3

⇒A = (64-36)-(frac{81}{4}-27)

⇒A = 28+frac{27}{4}

⇒ A = 139/4 unidades cuadradas

Ejemplo 3: Calcular el área bajo la curva y = x ² – 7 entre los puntos x = 5 y x = 10.

Solución:

Dado, la curva es y = x²−7 y los puntos límite son (5, 0) y (10, 0)

Por tanto, el área bajo la curva viene dada por:

A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx

⇒A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10}

⇒ A = (100/3 – 70) – (125/3 – 35)

⇒ A = 790/3 – 23/3

⇒ A = 770/3 unidades cuadradas

Ejemplo 4: Encuentra el área encerrada por la parábola y ² = 4ax y la recta x = a en el primer cuadrante.

Solución:

La curva y la línea dada se pueden dibujar de la siguiente manera:

Ahora, la ecuación de la curva es y.²= 4 ejes

Los puntos límite resultan ser (0, 0) y (a, 0)

Entonces el área con respecto al eje X se puede calcular como:

A=int_{0}^{a}ydx

⇒A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx

⇒A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2}

⇒A=frac{4a^2}{3} sq. units

Ejemplo 5: Encuentra el área cubierta por el círculo x ² + y ² = 25 en el primer cuadrante.

Solución:

Dado, x²+ y²= 25

La curva se puede dibujar como:

El área requerida ha sido sombreada en la figura anterior. De la ecuación podemos ver que el radio del círculo es de 5 unidades.

como, x²+ y²= 25

y = sqrt{25-x^2}

Para encontrar el área usaremos:

A = int_{a}^{b}ydx

⇒A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx

⇒A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5

⇒A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0]

⇒A = frac{25}{2}×frac{pi}{2}

⇒ A = 25 π/4 unidades cuadradas

contar distinto

Preguntas frecuentes sobre el área bajo la curva

Definir el área bajo una curva.

La región encerrada por la curva, el eje y los puntos límite se denomina área bajo la curva. Utilizando los ejes de coordenadas y la fórmula de integración, el área bajo la curva se ha determinado como un área bidimensional.

¿Cómo calcular el área bajo una curva?

Existen tres métodos para encontrar el área bajo la curva, que son:

• Sumas de Reimann Implica dividir la curva en rectángulos más pequeños y sumar sus áreas, y el número de subintervalos afecta la precisión del resultado.
• Integrales definidas son similares a las sumas de Reimann pero utilizan un número infinito de subintervalos para proporcionar un resultado exacto.
• Métodos de aproximación Se utilizan formas geométricas conocidas para aproximar el área bajo la curva.

¿Cuál es la diferencia entre una integral definida y una suma de Reimann?

La diferencia clave entre una integral definida y una suma de Reimann es que una integral definida representa el área exacta bajo una curva dada, mientras que una suma de Reimann representa el valor aproximado del área y la precisión de la suma depende del tamaño de partición elegido.

¿Puede el área bajo la curva ser negativa?

Si la curva está debajo del eje o se encuentra en los cuadrantes negativos del eje de coordenadas, el área bajo la curva es negativa. También en este caso, el área bajo la curva se calcula utilizando el método convencional y luego se modula la solución. Incluso en los casos en que la respuesta es negativa, sólo se tiene en cuenta el valor del área, no el signo negativo de la respuesta.

¿Qué representa el área bajo la curva en estadística?

El área bajo la curva (ROC) es la medida de la precisión de una prueba de diagnóstico cuantitativa.

¿Cómo se interpreta el signo del área bajo una curva?

El signo del área muestra que el área bajo la curva está por encima del eje x o por debajo del eje x. Si el área es positiva, entonces el área bajo la curva está por encima del eje x y si es negativa, entonces el área bajo la curva está por debajo del eje x.

¿Cómo se aproxima el área bajo la curva?

Al segmentar la región en pequeños rectángulos, se puede estimar aproximadamente el área bajo la curva. Y sumando las áreas de estos rectángulos, se puede obtener el área bajo la curva.