La lógica proposicional es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones lógicas entre proposiciones (o enunciados, oraciones, afirmaciones) tomadas en su conjunto y conectadas mediante conectivos lógicos.

En este artículo, hemos cubierto en detalle la lógica proposicional y temas relacionados.

Tabla de contenidos

• ¿Qué es la lógica?
• Lógica proposicional
• Mesa de la verdad
• 1. Negación
• 2. Conjunción
• 3. Disyunción
• 4. Exclusivo o
• 5. Implicación
• 6. Bicondicional o Doble Implicación

¿Qué es la lógica?

La lógica es la base de todo razonamiento matemático y de todo razonamiento automatizado. Las reglas de la lógica especifican el significado de los enunciados matemáticos. Estas reglas nos ayudan a comprender y razonar con afirmaciones como:

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

Lo que en inglés simple significa Existe un número entero que no es suma de dos cuadrados. .

Importancia de la lógica matemática

Las reglas de la lógica dan un significado preciso a los enunciados matemáticos. Estas reglas se utilizan para distinguir entre argumentos matemáticos válidos e inválidos. Además de su importancia para comprender el razonamiento matemático, la lógica tiene numerosas aplicaciones en Ciencias de la Computación, que van desde el diseño de circuitos digitales hasta la construcción de programas informáticos y la verificación de la corrección de programas.

Lógica proposicional

¿Qué es una propuesta? Una proposición es el componente básico de la lógica. Se define como una oración declarativa que es Verdadera o Falsa, pero no ambas. El Valor de verdad de una proposición es Verdadero (denotado como T) si es un enunciado verdadero, y Falso (denotado como F) si es un enunciado falso. Por ejemplo,

1. El sol sale por el Este y se pone por el Oeste.
2. 1 + 1 = 2
3. 'b' es una vocal.

Todas las oraciones anteriores son proposiciones, donde las dos primeras son válidas (verdaderas) y la tercera es inválida (falso). Algunas oraciones que no tienen un valor de verdad o pueden tener más de un valor de verdad no son proposiciones. Por ejemplo,

1. ¿Qué hora es?
2. Sal y juega
3. x + 1 = 2

Las oraciones anteriores no son proposiciones ya que las dos primeras no tienen valor de verdad y la tercera puede ser verdadera o falsa. Para representar proposiciones, variables proposicionales son usados. Por convención, estas variables están representadas por alfabetos pequeños comop,:q,:r,:s . El área de la lógica que se ocupa de las proposiciones se llama calculo proposicional o Lógica proposicional . También incluye la producción de nuevas propuestas utilizando las existentes. Las proposiciones construidas usando una o más proposiciones se llaman proposiciones compuestas . Las proposiciones se combinan usando Conectivos Lógicos o Operadores logicos .

Lógica proposicional

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Mesa de la verdad

Dado que necesitamos conocer el valor de verdad de una proposición en todos los escenarios posibles, consideramos todas las combinaciones posibles de las proposiciones que se unen mediante conectivos lógicos para formar la proposición compuesta dada. Esta recopilación de todos los escenarios posibles en formato tabular se denomina mesa de la verdad . Conectivos lógicos más comunes

1. Negación

Sip es una proposición, entonces la negación dep se denota por eg p , que cuando se traduce al inglés simple significa: No es el caso que pag o simplemente no pag . El valor de verdad de -pag es lo opuesto al valor de verdad de pag . La tabla de verdad de -pag es:

Ejemplo, Negación de Hoy llueve, es No es cierto que hoy llueve o simplemente Hoy no llueve.

2. Conjunción

Para dos proposiciones cualesquierap yq , su conjunción se denota porpwedge q , lo que significap yq . la conjunciónpwedge q es Verdadero cuando ambosp yq son Verdaderos, de lo contrario Falso. La tabla de verdad depwedge q es:

Ejemplo, Conjunción de las proposicionesp – Hoy es viernes yq - Hoy esta lloviendo,pwedge q Hoy es viernes y hoy está lloviendo. Esta proposición es verdadera sólo los viernes lluviosos y es falsa en cualquier otro día lluvioso o los viernes en los que no llueve.

3. Disyunción

Para dos proposiciones cualesquierap yq , su disyunción se denota porpvee q , lo que significap oq . La disyunciónpvee q es Verdadero cuandop oq es Verdadero; en caso contrario, Falso. La tabla de verdad depvee q es:

Ejemplo, Disyunción de las proposicionesp – Hoy es viernes yq - Hoy esta lloviendo,pvee q es Hoy es viernes o hoy está lloviendo. Esta proposición es verdadera en cualquier día que sea viernes o lluvioso (incluidos los viernes lluviosos) y es falsa en cualquier día que no sea viernes cuando tampoco llueve.

4. Exclusivo o

Para dos proposiciones cualesquierap yq , su exclusivo o se denota porpoplus q , lo que significap oq pero no ambos. La exclusiva opoplus q es Verdadero cuandop oq es Verdadero y Falso cuando ambos son verdaderos o ambos son falsos. La tabla de verdad depoplus q es:

Ejemplo, Exclusivo o de las proposicionesp – Hoy es viernes yq - Hoy esta lloviendo,poplus q O hoy es viernes o hoy está lloviendo, pero no ambas cosas. Esta proposición es verdadera en cualquier día que sea viernes o lluvioso (sin incluir los viernes lluviosos) y es falsa en cualquier día que no sea el viernes cuando no llueve o los viernes lluviosos.

5. Implicación

Para dos proposiciones cualesquierap yq , la declaración sip entoncesq se llama implicación y se denota porp ightarrow q . en la implicacionp ightarrow q ,p se llama el hipótesis o antecedente o premisa yq se llama el conclusión o consecuencia . La implicación esp ightarrow q también se le llama un sentencia condicional . La implicación es falsa cuandop es verdad yq es falso en caso contrario es verdadero. La tabla de verdad dep ightarrow q es:

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Uno podría preguntarse por quép ightarrow q cierto cuandop Es falso. Esto se debe a que la implicación garantiza que cuandop yq son verdaderas entonces la implicación es verdadera. Pero la implicación no garantiza nada cuando la premisap Es falso. No hay forma de saber si la implicación es falsa o no, ya quep no pasó. Esta situación es similar a la postura Inocente hasta que se demuestre Culpable, lo que significa que la implicaciónp ightarrow q se considera verdadera hasta que se demuestre su falsedad. Como no podemos llamar a la implicaciónp ightarrow q falso cuandop es falso, nuestra única alternativa es llamarlo verdadero.

Esto se desprende de la Principio de explosión que dice: Un enunciado falso implica cualquier cosa. Los enunciados condicionales juegan un papel muy importante en el razonamiento matemático, por lo que se utiliza una variedad de terminología para expresarp ightarrow q , algunos de los cuales se enumeran a continuación.

Si p, entonces qp es suficiente para qq cuando pa la condición necesaria para p es qp sólo si qq a menos que ≠pq se siga de p

Ejemplo, Si es viernes entonces está lloviendo hoy es una proposición que tiene la formap ightarrow q . La proposición anterior es verdadera si no es viernes (la premisa es falsa) o si es viernes y está lloviendo, y es falsa cuando es viernes pero no llueve.

6. Bicondicional o Doble Implicación

Para dos proposiciones cualesquierap yq , la declaraciónp si y sólo si (iff)q se llama bicondicional y se denota porpleftrightarrow q . La declaraciónpleftrightarrow q también se le llama un bi-implicación .pleftrightarrow q tiene el mismo valor de verdad que(p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) La implicación es cierta cuandop yq tiene los mismos valores de verdad y es falso en caso contrario. La tabla de verdad depleftrightarrow q es:

Algunas otras formas comunes de expresarpleftrightarrow q son:

p es necesario y suficiente para q si p entonces q, y a la inversap si q

Ejemplo: hoy está lloviendo si y sólo si hoy es viernes. es una proposición que tiene la formapleftrightarrow q . La proposición anterior es verdadera si no es viernes y no llueve o si es viernes y llueve, y es falsa cuando no es viernes o no llueve. Ejercicio:

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1) Considere las siguientes afirmaciones:

• P: Los buenos móviles no son baratos.
• P: Los teléfonos móviles baratos no son buenos.
• L: P implica Q
• M: Q implica P
• N: P es equivalente a Q

¿Cuál de las siguientes opciones sobre L, M y N es CORRECTA? (Gate 2014)

(A) Sólo L es VERDADERO.

(B) Sólo M es VERDADERA.

(C) Sólo N es VERDADERO.

(D) L, M y N son VERDADEROS.

Para la solución, consulte PUERTA | GATE-CS-2014-(Juego-3) | Pregunta 11

2) ¿Cuál de los siguientes no es equivalente a p?q (Gate 2015)

(A)( eg p vee q)wedge(p vee eg q ) (B)( eg p vee q)wedge(q ightarrow p ) (C)( eg p wedge q)vee(p wedge eg q ) (D)( eg p wedge eg q)vee(p wedge q )

Para la solución, consulte PUERTA | GATE-CS-2015 (Juego 1) | Pregunta 65