La progresión aritmética, también conocida como A.P. es una secuencia en matemáticas donde la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante. La constante se conoce como diferencia común. La progresión aritmética es una secuencia de números en orden, en la que la diferencia entre dos números consecutivos es un valor constante.

En este artículo, aprenderemos en detalle sobre la definición de progresión aritmética, las fórmulas de progresión aritmética, ejemplos relacionados y otros.

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Tabla de contenidos

• ¿Qué es la progresión aritmética?
• Notaciones en progresión aritmética
• Diferencia común de progresión aritmética
• Primer término de progresión aritmética
• Enésimo término de progresión aritmética
• Suma de progresión aritmética
• Fórmula de progresión aritmética (fórmulas AP)

¿Qué es la progresión aritmética?

Progresión Aritmética (AP) es una secuencia de números en la que la diferencia entre dos números consecutivos es un valor constante. En otras palabras, la progresión aritmética se puede definir como Una secuencia matemática en la que la diferencia entre dos términos sucesivos es siempre una constante.

Por ejemplo, la serie de números: 1, 2, 3, 4, 5, 6,… están en Progresión Aritmética, que tiene una diferencia común (d) entre dos términos sucesivos (digamos 1 y 2) igual a 1 (2 – 1). Se puede observar una diferencia común entre dos términos sucesivos, tanto para números impares como para números pares a los que 2 es igual. En AP, tres términos principales son diferencia común (d), enésimo término (a_norte), y Suma de los primeros n términos (S_norte); los tres términos representan las propiedades de AP. Echemos un vistazo a cuál es la diferencia común en detalle.

Nos encontramos con diferentes palabras como secuencia, serie y progresión en AP; ahora, veamos qué define cada palabra,

• Secuencia Es una lista finita o infinita de números que sigue un patrón determinado. Por ejemplo, 0, 1, 2, 3, 4, 5… es la secuencia, que es una secuencia infinita de números enteros.

• Serie es la suma de los elementos a los que corresponde la secuencia. Por ejemplo 1 + 2 + 3 + 4 + 5…. es la serie de números naturales. Cada número en una secuencia o serie se llama término. Aquí 1 es un término, 2 es un término, 3 es un término, etc.

• Progresión es una secuencia en la que el término general se puede expresar mediante una fórmula matemática o la Secuencia, que utiliza una fórmula matemática que se puede definir como progresión.

Nota: Existen principalmente tres tipos de progresión:

1. Progresión Aritmética (AP)
2. Progresión geométrica (GP)
3. Progresión armónica (HP)

Notaciones en progresión aritmética

Nos encontraremos con las siguientes notaciones en progresión aritmética:

• Primer trimestre ⇢ a
• Diferencia común ⇢ d
• Enésimo trimestre ⇢ a _norte
• Suma de los primeros n términos ⇢ S _norte

La forma general de progresión aritmética es a, a + d, a + 2d … a + (n – 1)d

A continuación se muestran algunos ejemplos de AP:

• 6, 13, 20, 27, 34,41,…
• 91, 81, 71, 61, 51, 41,…
• p, 2p, 3p, 4p, 5p, 6p,...
• -√3, −2√3, −3√3, −4√3, −5√3, – 6√3,…

Diferencia común de progresión aritmética

Diferencia común se denota por d en progresión aritmética. Es la diferencia entre el próximo trimestre y el anterior. Para la progresión aritmética, siempre es constante o igual. En una palabra, si la diferencia común es constante en una determinada secuencia, podemos decir que esta es A.P. Si la secuencia es una_1,a₂, a₃, a₄, etcétera.

En otras palabras, la diferencia común en la progresión aritmética se denota por d. La diferencia entre el término sucesivo y su término anterior. Siempre es constante o igual para la progresión aritmética. En otras palabras, podemos decir que, en una secuencia dada, si la diferencia común es constante o igual, entonces podemos decir que la secuencia dada está en Progresión Aritmética (AP).

La fórmula para encontrar la diferencia común es,

re = (un _{norte + 1} - a _norte ) = (un _norte - a _n-1 )

• Si la diferencia común es positiva, entonces AP aumenta . Por ejemplo 4, 8, 12, 16… en estas series el AP aumenta

• Si la diferencia común es negativa entonces AP disminuye . Por ejemplo -4, -6, -8…, aquí el AP disminuye.

• Si la diferencia común es cero entonces AP será constante . Por ejemplo 1, 2, 3, 4, 5…, aquí AP es constante.

La secuencia de progresión aritmética será como una ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ ,…

Diferencia común (d) = a ₂ - a ₁ = re

a ₃ - a ₂ = re

a ₄ - a ₃ = d y así sucesivamente.

Primer término de progresión aritmética

La progresión aritmética se puede escribir en términos de diferencia común (d) como:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …., a + (n – 1)d

dónde,

• a es el primer mandato de AP
• d es la diferencia común de AP

Enésimo término de progresión aritmética

El enésimo término se puede encontrar usando la fórmula que se menciona a continuación,

t _norte = a + (n − 1)d

dónde,

• a es el primer mandato de AP
• d es diferencia común
• n es el número de términos
• t_nortees el enésimo término

Enésimo término de progresión aritmética

Nota: El comportamiento de una secuencia aritmética se basa en el valor de una diferencia común.

• Si d es positivo, los términos aumentarán hasta el infinito positivo.
• Si d es negativo, los términos de los miembros aumentan hasta el infinito negativo.

Suma de progresión aritmética

Fórmula de suma de progresión aritmética se explica a continuación; Considere un AP que consta de n términos.

S = norte/2 [2a + (norte − 1) re]

Suma de la progresión aritmética cuando se dan el primer y último término,

S = n/2 (primer término de AP + último término de AP)

atoi c

S = N/2[a+a _norte ]

Fórmula de progresión aritmética (fórmulas AP)

Para un AP con primer término 'a' y diferencia común 'd', sus diversas fórmulas son:

• Diferencia común de PA: d = a ₂ - a ₁ = un ₃ - a ₂ = un ₄ - a ₃ = … = un _norte - a _n-1

• enésimo plazo de AP: a _norte = a + (n – 1)d

• Suma de n términos de AP: S _norte = n/2 (2a + (n – 1) d) = n/2 (a + l) , donde l es el último término de la progresión aritmética.

Resumen de progresión aritmética

• La progresión aritmética (AP) es una secuencia de números en la que la diferencia entre dos números consecutivos es un valor constante. Por ejemplo, la serie de números: 1, 2, 3, 4, 5, 6,…

• La forma general de progresión aritmética es a, a + d, a + 2d, a + 3d…

• La fórmula para el enésimo término de la progresión aritmética es a _norte = a + (n – 1)d

• La suma de los primeros n términos o la fórmula de la suma aritmética es S _norte = norte/2[2a + (norte – 1) d] , S _norte = norte/2[a + a _norte ]

Artículo relacionado con la progresión aritmética:

• Fórmula de suma
• Suma de números naturales
• Progresión aritmética y progresión geométrica

Ejemplos de progresión aritmética

Ejemplo 1: Encuentra el AP si el primer término es 15 y la diferencia común es 4.

Solución:

Como la conocemos,

a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d,…

Aquí, a = 15 y d = 4

= 15, (15 + 4), (15 + 2 × 4), (15 + 3 × 4), (15 + 4 × 4),

= 15, 19, (15 + 8), (15 + 12), (15 + 16), …

= 15, 19, 23, 27, 31,…y así sucesivamente.

Entonces el AP es 15, 19, 23, 27, 31…

Ejemplo 2: Encuentre el término número 20 para el AP dado: 3, 5, 7, 9,…

Solución:

Dado, 3, 5, 7, 9, 11……

Aquí,

a = 3, d = 5 – 3 = 2, norte = 20

a_norte= a + (n − 1)d

a₂₀= 3 + (20− 1)2

a₂₀= 3 + 38

a₂₀= 41

Aquí el vigésimo término es un₂₀= 41

Ejemplo 3: Encuentra la suma de los primeros 20 múltiplos de 5.

Solución:

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Los primeros 20 múltiplos de 5 son 5, 10, 15,… 100.

Aquí, está claro que la secuencia formada es una secuencia aritmética donde,

a = 5, d = 5, a_norte= 100, norte = 20.

S_norte= norte/2 [2a + (norte − 1) re]

S_norte= 20/2 [2 × 5 + (20 − 1)5]

S_norte= 10 [10 + 95]

S_norte= 1050

Preguntas de práctica sobre progresión aritmética

P1. La suma de los primeros nn términos de una progresión aritmética viene dada por S _norte = 3norte ² + 2n. Encuentra la diferencia común y el primer término.

P2. El primer término de una progresión aritmética es 7 y el undécimo término es 31. Calcula la suma de los primeros 11 términos.

P3. En una progresión aritmética, la suma de los primeros 10 términos es 150 y la suma de los 10 términos siguientes es 550. Encuentra el primer término y la diferencia común.

P4. Si el cuarto término de una progresión aritmética es 10 y el noveno término es 25, encuentre el término decimoquinto.

P5. Una progresión aritmética tiene una diferencia común de 5. Si el sexto término es 22, encuentra el primer término y la suma de los primeros 12 términos.

Preguntas frecuentes sobre progresión aritmética

¿Qué es la progresión aritmética con un ejemplo?

La progresión aritmética es una secuencia de números donde los dos términos consecutivos tienen una diferencia común. Por ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15,…

¿Cómo se encuentra la suma de la progresión aritmética?

Para encontrar la suma de la progresión aritmética, se pueden utilizar las siguientes fórmulas en función de la información proporcionada:

S = n/2 (primer término de AP + último término de AP) = n/2[a+ a _norte ]

¿Cuál es la diferencia entre progresión aritmética y series aritméticas?

La progresión aritmética es el número de secuencias dentro de cualquier rango que proporciona una diferencia común. Mientras que la serie/secuencia aritmética es la suma de todos los términos presentes en la progresión aritmética.

¿Cuál es la fórmula para AP y GP?

La fórmula para AP y GP es:

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• AP: a _norte = a + (n – 1).d
• Médico de cabecera: a _norte = ar

¿Para qué sirve la progresión aritmética?

La progresión aritmética es la serie que da una diferencia común entre dos términos consecutivos. Se utiliza en la vida diaria para generalizar un conjunto de patrones. Por ejemplo, mientras espera un autobús, suponga que los autobuses se mueven a una velocidad constante; con la ayuda de AP, puede saber cuándo llegará el autobús. AP también se puede utilizar para hacer estructuras en forma de pirámide, etc.