Función uno a uno o Función Uno-Uno es una de las tipos de funciones definido sobre dominio y codominio y describe el tipo específico de relación entre el dominio y el codominio. La función uno a uno también se denomina función inyectiva. La función uno a uno es una función matemática donde cada elemento en el dominio se asigna a un elemento único en el codominio .

Este artículo explora en detalle el concepto de función uno a uno o función uno a uno, incluida su definición y ejemplos que le ayudarán a comprender el concepto con facilidad. También discutiremos algunos problemas de muestra y le proporcionaremos algunos problemas de práctica para que los resuelva. Entonces, aprendamos sobre este importante concepto en matemáticas conocido como Función Uno a Uno.

Tabla de contenidos

• ¿Qué es la función uno a uno?
• Ejemplos de funciones uno a uno
• Propiedades de las funciones uno a uno
• Función uno a uno y sobre función
• Ejemplos resueltos de funciones uno a uno

¿Qué es la función uno a uno?

Una función uno a uno, también conocida como función inyectiva, es aquella en la que diferentes elementos de A tienen diferentes elementos relacionados con B o diferentes elementos de A tienen diferentes imágenes en B.

Si hay diferentes imágenes para una función, eso significa que solo es posible uno a uno si las preimágenes fueran diferentes, si el conjunto B tiene diferentes elementos, eso significa que solo es posible cuando el conjunto A tenía diferentes elementos para los cuales estos eran los preimágenes.

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Definición de función uno a uno

Una función 'f' de un conjunto 'A' al conjunto 'B' es uno a uno si no hay dos elementos en 'A' que estén asignados al mismo elemento en 'B'.

Consideremos estos dos diagramas. Para el diagrama A nos damos cuenta de que 10 se corresponde con 1, 20 se corresponde con 2 y 30 se corresponde con 3.

Sin embargo, para el diagrama B está claro que 10 y 30 se corresponden con 3 y luego 20 se corresponden con 1.

Dado que tenemos elementos en el dominio correspondientes a valores distintos en cada dominio para el diagrama A, la función es uno a uno, por lo que nuestro diagrama B no es uno a uno.

Esto se puede expresar matemáticamente como

f(a) = f(b) ⇒ a = b

Ejemplo de funciones uno a uno

• Función de identidad: La función de identidad es un ejemplo simple de función uno a uno. Toma una entrada y devuelve el mismo valor que la salida. Para cualquier número real x, la función identidad se define como:

f(x) = x

Cada entrada distinta x corresponde a una salida distinta f(x), lo que la convierte en una función uno a uno.

• Función lineal: Una función lineal es aquella en la que la potencia más alta de la variable es 1. Por ejemplo:

f(x) = 2x + 3

Esta es una función uno a uno porque no importa qué valor de x elija, obtendrá un valor único para f(x).

• Función de valor absoluto: La función de valor absoluto f(x)=∣x∣ también es una función uno a uno. Para cualquier número real x, la función de valor absoluto devuelve un valor no negativo y diferentes valores de x darán como resultado diferentes valores absolutos.

Probemos uno de esos ejemplos para funciones uno a uno.

Ejemplo: Demuestre que la función f(x) = 1/(x+2), x≠2 es uno a uno.

Solución:

Según la función uno a uno sabemos que

f(a) = f(b)

reemplaza a con x y x con b

f(a) = 1/(a+2) , f(b) = 1/(b+2)

⇒ 1/(a+2) = 1/(b+2)

Multiplica en forma cruzada la ecuación anterior.

1(b+2)=1(a+2)

b+2=a+2

⇒ b=a+2-2

∴a=b

Ahora bien, dado que a = b, se dice que la función es una función uno a uno.

Propiedades Funciones uno a uno

Consideremos que f y g son dos funciones uno a uno, las propiedades son las siguientes:

• Si f y g son ambos uno a uno, entonces f ∘ g sigue la inyectividad.
• Si g ∘ f es uno a uno, entonces la función f es uno a uno, pero la función g puede no serlo.
• f: X → Y es uno-uno, si y solo si, dada alguna función g, h : P → X siempre que f ∘ g = f ∘ h, entonces g = h. En otras palabras, las funciones uno-uno son exactamente los monomorfismos en el conjunto de conjuntos de categorías.
• Si f: X → Y es uno uno y P es un subconjunto de X, entonces f^-1(f(A)) = P. Por lo tanto, P puede recuperarse de su imagen f(P).
• Si f: X → Y es uno uno y P y Q son ambos subconjuntos de X, entonces f(P ∩ Q) = f(P) ∩ f(Q).
• Si tanto X como Y están limitados con el mismo número de elementos, entonces f: X → Y es uno-uno, si y sólo si f es sobreyectiva o sobre función.

Gráfica de función uno a uno

Veamos una de las representaciones gráficas de la función uno a uno.

El gráfico anterior de la función f(x)= √x muestra la representación gráfica de la función uno a uno.

Prueba de línea horizontal

Una función es uno a uno si cada línea horizontal no corta a la gráfica en más de un punto.

Usemos una función lineal como ejemplo. Llamémoslo f(x), entonces f(x) tiene una función inversa. Para determinar si f(x) tiene una función inversa, debes demostrar que es una función uno a uno, debes demostrar que pasa la prueba de la línea horizontal. Entonces, si dibujamos una línea horizontal y f(x) toca la línea horizontal más de una vez, eso significa que f(x) no es una función uno a uno y no tiene una función inversa.

En el ejemplo anterior, solo se cruza con la línea horizontal en un punto. Entonces f(x) es una función uno a uno, lo que significa que tiene una función inversa.

Inversa de la función uno a uno

Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces la inversa de f es una función con dominio B y rango A definida por f^-1(y) =x si y sólo si f(x)=y para cualquier y en B. Recuerde siempre que una función tiene inversa si y sólo si es uno a uno. Una función es uno a uno si el exponente más alto es un número impar. Pero si el número más alto es un número par o un valor absoluto, esta no es una función uno a uno.

Ejemplo: f(x)=3x+2 encuentra la inversa de la función

Solución:

escribe la función en forma y=f(x)

⇒ y=3x+2

Intercambiemos las variables y y x.

⇒ x=3y+2

resolver y en términos de x

⇒ x-2=3y

dividir la ecuación por 3

⇒ (x-2)/3=3y/3

⇒ y=(x-2)/3

∴ f-1(x)=(x-2)/3

Función uno a uno y sobre función

Las diferencias clave entre las funciones One to One y Onto se enumeran en la siguiente tabla:

La siguiente ilustración proporciona la clara diferencia entre una y una función:

Leer más,

• Funciones
• Tipos de funciones
• Relación y función

Problemas resueltos en función uno a uno

Resolvamos algunos problemas para ilustrar funciones uno a uno:

Problema 1: Determinar si la siguiente función es uno a uno: f(x) = 3x – 1

Solución:

Solución 1: Para comprobar si es uno a uno, debemos demostrar que no hay dos valores de x distintos que se correspondan con el mismo valor de y.

Supongamos f(a) = f(b), donde a ≠ b.

3a – 1 = 3b – 1

3a = 3b

a = b

Dado que la única forma de que f(a) = f(b) sea cuando a = b, esta función es efectivamente uno a uno.

Problema 2: Determinar si la siguiente función es uno a uno: g(x) = x ²

Solución:

Solución 2: Usaremos la prueba de la línea horizontal graficando la función. Si alguna línea horizontal cruza el gráfico más de una vez, no es uno a uno.

La gráfica de g(x) = x^2 es una parábola que se abre hacia arriba. Cualquier línea horizontal solo cruza la gráfica una vez, por lo que esta función no es uno a uno.

Problemas de práctica sobre funciones uno a uno

Problema 1: Determine si la siguiente función es uno a uno:

• f(x) = 2x + 3
• g(x) = 3x²– 1
• h(x) =³√x

Problema 2: Encuentre una función que sea uno a uno del conjunto de números reales al conjunto de números reales.

Problema 3: Dada la función g(x) = x²+ 1, determina si es uno a uno en todo su dominio.

Problema 4: Considere la función h(x) = e^X. ¿Es una función uno a uno?

Problema 5: Encuentre la función inversa de f(x) = 4x – 7 y determine su dominio.

Problema 6: Determina si la función p(x) = √x es uno a uno.

Problema 7: Dado q(x) = x/2, encuentre el dominio y rango de la función.

Problema 8: Compruebe si la función r(x) = sin (x) es uno a uno en el intervalo [0, π].

Problema 9: Considere la función s(x) = |x|. ¿Es una función uno a uno?

Problema 10: Determina si la función t(x) = 1/x es uno a uno y encuentra su dominio.

Funciones uno a uno: preguntas frecuentes

1. ¿Qué es una función uno a uno?

Una función uno a uno es una función matemática que asigna cada elemento en su dominio a un elemento único en su codominio. En otras palabras, no asigna dos elementos diferentes del dominio al mismo elemento del codominio.

2. ¿Cómo puedo determinar si una función es uno a uno?

Puedes utilizar la prueba de la línea horizontal. Si ninguna línea horizontal cruza la gráfica de la función más de una vez, es una función uno a uno.

3. ¿Cuál es la diferencia entre una función uno a uno y una función onto?

Una función uno a uno garantiza que no haya dos elementos distintos en el dominio asignados al mismo elemento en el codominio, mientras que una función onto, también conocida como función sobreyectiva, garantiza que cada elemento en el codominio esté asignado al menos por un elemento del dominio.

4. ¿Todas las funciones lineales son uno a uno?

No, no todas las funciones lineales son uno a uno. Por ejemplo, f(x) = 2x es uno a uno, pero g(x) = 2x + 1 no lo es porque asigna dos valores de x diferentes al mismo valor de y (por ejemplo, g(1) = 3 y g(2) = 5).