El Método Newton Raphson o Método Newton es una poderosa técnica para resolver ecuaciones numéricamente. Se utiliza más comúnmente para la aproximación de las raíces de funciones con valores reales. El Método Newton Rapson fue desarrollado por Isaac Newton y Joseph Raphson, de ahí el nombre Método Newton Rapson.
El método Newton Raphson implica refinar iterativamente una estimación inicial para hacerla converger hacia la raíz deseada. Sin embargo, el método no es eficiente para calcular las raíces de polinomios o ecuaciones con grados superiores, pero en el caso de ecuaciones de grado pequeño, este método produce resultados muy rápidos. En este artículo, aprenderemos sobre el método Newton Raphson y también los pasos para calcular las raíces usando este método.
Tabla de contenidos
- ¿Qué es el método Newton Raphson?
- Fórmula del método de Newton Raphson
- Cálculo del método de Newton Raphson
- Ejemplo del método de Newton Raphson
- Problemas resueltos del método Newton Raphson
¿Qué es el método Newton Raphson?
El método de Newton-Raphson, también conocido como método de Newton, es un método numérico iterativo que se utiliza para encontrar las raíces de una función de valor real. Esta fórmula lleva el nombre de Sir Isaac Newton y Joseph Raphson, ya que contribuyeron de forma independiente a su desarrollo. El Método Newton Raphson o Método de Newton es un algoritmo para aproximar las raíces de ceros de funciones con valores reales, utilizando conjeturas para la primera iteración (x0) y luego aproximar la siguiente iteración (x1) que está cerca de las raíces, usando la siguiente fórmula.
X 1 =x 0 –f(x 0 )/f'(x 0 )
dónde,
- X 0 es el valor inicial de x,
- f(x) 0 ) es el valor de la ecuación en el valor inicial, y
- f'(x 0 ) es el valor de la derivada de primer orden de la ecuación o función en el valor inicial x0.
Nota: f'(x0) no debería ser cero; de lo contrario, la parte fraccionaria de la fórmula cambiará a infinito, lo que significa que f(x) no debería ser una función constante.
Fórmula del método de Newton Raphson
En forma general, la fórmula del método Newton-Raphson se escribe de la siguiente manera:
X norte =x n-1 –f(x n-1 )/f'(x n-1 )
Dónde,
- X n-1 es el estimado (n-1)thraíz de la función,
- f(x) n-1 ) es el valor de la ecuación en (n-1)thraíz estimada, y
- f'(x n-1 ) es el valor de la derivada de primer orden de la ecuación o función en xn-1.
Cálculo del método de Newton Raphson
Suponga que la ecuación o funciones cuyas raíces se van a calcular son f(x) = 0.
Para demostrar la validez del método de Newton Raphson se siguen los siguientes pasos:
Paso 1: Dibuje una gráfica de f(x) para diferentes valores de x como se muestra a continuación:
Paso 2: Se traza una tangente a f(x) en x0. Este es el valor inicial.
Paso 3: Esta tangente cortará el eje X en algún punto fijo (x1,0) si la primera derivada de f(x) no es cero, es decir f'(x 0 ) ≠ 0.
Etapa 4: Como este método supone iteración de raíces, esta x1se considera la siguiente aproximación de la raíz.
polimorfismo en javaPaso 5: Ahora se repiten los pasos 2 a 4 hasta llegar a la raíz x real.*.
Ahora sabemos que la ecuación pendiente-intersección de cualquier recta se representa como y = mx + c,
Dónde metro es la pendiente de la recta y C es la intersección x de la recta.
Usando la misma fórmula obtenemos
y = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x − x 0 )
Aquí f(x0) representa c y f'(x0) representa la pendiente de la tangente m. Como esta ecuación es válida para cada valor de x, debe ser válida para x1. Por tanto, sustituyendo x por x1, y equiparando la ecuación a cero ya que necesitamos calcular las raíces, obtenemos:
0 = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (X 1 −x 0 )
X 1 =x 0 –f(x 0 )/f'(x 0 )
Cuál es la fórmula del método de Newton Raphson.
Así, el método de Newton Raphson quedó matemáticamente probado y aceptado como válido.
Convergencia del método de Newton Raphson
El método de Newton-Raphson tiende a converger si se cumple la siguiente condición:
|f(x).f(x)| <|f'(x)|2
Significa que el método converge cuando el módulo del producto del valor de la función en x y la segunda derivada de una función en x es menor que el cuadrado del módulo de la primera derivada de la función en x. El método Newton-Raphson tiene una convergencia de orden 2, lo que significa que tiene una convergencia cuadrática.
Nota:
El método de Newton Raphson no es válido si la primera derivada de la función es 0, lo que significa f'(x) = 0. Sólo es posible cuando la función dada es una función constante.
Artículos relacionados con el método Newton Raphson:
- El método de Newton para encontrar raíces
- Diferencia entre el método Newton Raphson y el método Falsi regular
- Diferencia entre el método de bisección y el método de Newton Raphson
- Algoritmo de búsqueda de raíces
Ejemplo del método de Newton Raphson
Consideremos el siguiente ejemplo para aprender más sobre el proceso de encontrar la raíz de una función con valor real.
Ejemplo: Para el valor inicial x 0 = 3, aproxima la raíz de f(x)=x 3 +3x+1.
Solución:
Dado, x0= 3 y f(x) = x3+3x+1
f'(x) = 3x2+3
f'(x0) = 3(9) + 3 = 30
f(x)0) = f(3) = 27 + 3(3) + 1 = 37
Usando el método de Newton Raphson:
X1=x0–f(x0)/f'(x0)
= 3 – 37/30
= 1.767
Problemas resueltos del método Newton Raphson
Problema 1: Para el valor inicial x 0 = 1, aproxima la raíz de f(x)=x 2 −5x+1.
Solución:
cadena.formato java cadena
Dado, x0= 1 y f(x) = x2-5x+1
f'(x) = 2x-5
f'(x0) = 2 – 5 = -3
f(x)0) = f(1) = 1 – 5 + 1 = -3
Usando el método de Newton Raphson:
X1=x0–f(x0)/f'(x0)
⇒x1= 1 – (-3)/-3
⇒x1= 1 -1
⇒x1= 0
Problema 2: Para el valor inicial x 0 = 2, aproxima la raíz de f(x)=x 3 −6x+1.
Solución:
Dado, x0= 2 y f(x) = x3-6x+1
f'(x) = 3x2– 6
f'(x0) = 3(4) – 6 = 6
f(x)0) = f(2) = 8 – 12 + 1 = -3
Usando el método de Newton Raphson:
X1=x0–f(x0)/f'(x0)
⇒x1= 2 – (-3)/6
⇒x1= 2 + 1/2
⇒x1= 5/2 = 2.5
Problema 3: Para el valor inicial x 0 = 3, aproxima la raíz de f(x)=x 2 −3.
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Solución:
Dado, x0= 3 y f(x) = x2-3
f'(x) = 2x
f'(x0) = 6
f(x)0) = f(3) = 9 – 3 = 6
Usando el método de Newton Raphson:
X1=x0–f(x0)/f'(x0)
⇒x1= 3 – 6/6
⇒x1= 2
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Problema 4: Encuentra la raíz de la ecuación f(x) = x 3 – 3 = 0, si el valor inicial es 2.
Solución:
Dado x0= 2 y f(x) = x3– 3
f'(x) = 3x2
f'(x0= 2) = 3 × 4 = 12
f(x)0) = 8 – 3 = 5
Usando el método de Newton Raphson:
X1=x0–f(x0)/f'(x0)
⇒x1= 2 – 5/12
⇒x1= 1.583
Usando el método de Newton Raphson nuevamente:
X2= 1.4544
X3= 1.4424
X4= 1.4422
Por lo tanto, la raíz de la ecuación es aproximadamente x = 1,442.
Problema 5: Encuentra la raíz de la ecuación f(x) = x 3 – 5x + 3 = 0, si el valor inicial es 3.
Solución:
Dado x0= 3 y f(x) = x3– 5x + 3 = 0
beneficios de instagram para uso personalf'(x) = 3x2– 5
f'(x0= 3) = 3 × 9 – 5 = 22
f(x)0= 3) = 27 – 15 + 3 = 15
Usando el método de Newton Raphson:
X1=x0–f(x0)/f'(x0)
⇒x1= 3 – 15/22
⇒x1= 2.3181
Usando el método de Newton Raphson nuevamente:
X2= 1.9705
X3= 1.8504
X4= 1.8345
X5= 1.8342
Por lo tanto, la raíz de la ecuación es aproximadamente x = 1,834.
Preguntas frecuentes sobre el método Newton Raphson
P1: Defina el método de Newton Raphson.
Respuesta:
El método Newton Raphson es un método numérico para aproximar las raíces de cualquier función de valor real dada. En este método, utilizamos varias iteraciones para aproximar las raíces y cuanto mayor sea el número de iteraciones, menor será el error en el valor de la raíz calculada.
P2: ¿Cuál es la ventaja del método Newton Raphson?
Respuesta:
El método de Newton Raphson tiene la ventaja de que nos permite adivinar las raíces de una ecuación con un grado pequeño de manera muy eficiente y rápida.
P3: ¿Cuál es la desventaja del método Newton Raphson?
Respuesta:
La desventaja del método de Newton Raphson es que tiende a volverse muy complejo cuando el grado del polinomio se vuelve muy grande.
P4: Indique cualquier aplicación en la vida real del método de Newton Raphson.
Respuesta:
El método de Newton Raphson se utiliza para analizar el flujo de agua en las redes de distribución de agua en la vida real.
P5: ¿En qué teoría se basa el método Newton-Raphson?
Respuesta:
El método de Newton Raphson se basa en la teoría del cálculo y la tangente a una curva.