En trigonometría, los ángulos se evalúan con respecto a las funciones trigonométricas básicas de la trigonometría que son seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Estas funciones trigonométricas tienen sus propias razones trigonométricas bajo diferentes ángulos que se utilizan en operaciones trigonométricas. Estas funciones también tienen sus inversas que se conocen como arcsin, arccos, arctan, arccot, arcsec y arccosec.
El artículo dado es el estudio de la tangente inversa o arctan. Incluye la explicación y derivación de una tangente inversa, una fórmula de tangente inversa para la evaluación de ángulos y algunos problemas de muestra.
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¿Qué es la tangente inversa?
La tangente inversa es una función de trigonometría que es inversa de la función trigonométrica tangente. También se le conoce como arctan, ya que el prefijo '-arc' significa inverso en trigonometría. La tangente inversa se denota por tan-1X.
La función tangente inversa se utiliza para determinar el valor del ángulo mediante la relación de (perpendicular/base).
Considere un ángulo θ y la tangente del ángulo es igual a x. Entonces, dará la función inversa de la tangente.
Como, x = tanθ
=> θ = tan -1 X
Matemáticamente, la tangente inversa se deriva de la relación entre la perpendicular y la base.
Consideremos un triángulo rectángulo PQR.
En el triángulo rectángulo, la función tangente PQR será
=>tan θ = perpendicular/base
θ = tan -1 (p/b)
Fórmula de la tangente inversa
Como la tangente es una función trigonométrica de manera similar, la tangente inversa es una función trigonométrica inversa de la tangente. Los valores de estas funciones inversas se derivan de la correspondiente fórmula de tangente inversa que puede expresarse en grados o radianes.
La lista de algunas de las fórmulas de tangente inversa se proporciona a continuación:
- θ = arctan(perpendicular/base)
- arctan(-x) = -arctan(x) para todo x∈ R
- tan(arctan x) = x, para todos los números reales
- arctan(1/x) = π/2 – arctan(x) = arccot(x); si x>0
(O)
- arctan(1/x) = -π/2 – arctan(x) = arccot(x) -π ; si x<0
- sin(arctan x) = x/ √(1+x2)
- cos(arctan x) = 1/ √(1+x2)
- arctan(x) =
- arctan(x) =
En trigonometría, también existe un conjunto separado de fórmulas de la tangente inversa con respecto a π.
- π/4 = 4 arctan(1/5) – arctan(1/239)
- π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3)
- π/4 = 2 arctan(1/2) – arctan(1/7)
- π/4 = 2 arctan(1/3) + arctan(1/7)
- π/4 = 8 arctan(1/10) – 4 arctan(1/515) – arctan(1/239)
- π/4 = 3 arctan(1/4) + arctan(1/20) + arctan(1/1985)
Tabla resumida de tangente inversa
Existen algunos valores estándar establecidos para la tangente inversa en grados y radianes. Estos valores son fijos o derivados para que la evaluación de ángulos sea aún más conveniente bajo la función dada. Por lo tanto, la siguiente tabla proporciona estos valores de tangente inversa en grados y radianes.
| X | Tan-1(X) Grado | Tan-1(X) Radián |
|---|---|---|
| -∞ | -90° | -p/2 |
| -3 | -71.565° | -1.2490 |
| -2 | -63.435° | -1.1071 |
| -√3 | -60° | -p/3 |
| -1 | -45° | -p/4 |
| -1/√3 | -30° | -p/6 |
| -1/2 | -26.565° | -0.4636 |
| 0 | 0° | 0 |
| 1/2 | 26.565° | 0.4636 |
| 1/√3 | 30° | p/6 |
| 1 | 45° | p/4 |
| √3 | 60° | p/3 |
| 2 | 63.435° | 1.1071 |
| 3 | 71.565° | 1.2490 |
| ∞ | 90° | p/2 |
Problemas de muestra
Problem 1. Evaluate tan -1 (0.577).
Solución:
El valor de 0,577 equivale a tan30°.
=>0.577=tan(30°)
Entonces,
=>tan-1(0.577)=tan-1(30°)
=>30°
Problema 2. ¿Cuál es la inversa de tan60°?
Solución:
El valor de tan60° es igual a 1,732.
=>tan60°=1.732
Entonces,
tan-1(60°)=tan-1(1.732)
=>1.732
Problema 3. ¿Cuál es la inversa de tan45°?
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Solución:
El valor de tan45° es igual a 1.
=>bronceado45°=1
Entonces,
tan-1(45°)=tan-1(1)
=>1
Problema 4. ¿Cuál es el inverso de tan30°?
Solución:
El valor de tan30° es igual a 0,577.
=>bronceado60°=0,577
Entonces,
tan-1(30°)=tan-1(0.577)
=>0.577
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Problema 5. ¿Cuál es el inverso de tan90°?
Solución:
El valor de tan90° es igual a 0.
=>tan60°=1.732
Entonces,
tan-1(90°)=tan-1(0)
=>0