Integral de sen x es -cos(x) más una constante (C). Representa el área bajo la curva sinusoidal. La función se repite cada 2π radianes debido a su naturaleza periódica. Este artículo explica la integral de la función seno, mostrando su fórmula, prueba y aplicación para encontrar integrales definidas específicas. Además, menciona problemas resueltos y preguntas frecuentes.

Tabla de contenidos

• ¿Qué es la integral de sen x?
• Integral de seno x fórmula
• Significado gráfico de la integral de Sin x
• Integral de pecado x prueba por método de sustitución
• Integral definida de sen x
• Integral de Sin x De 0 a π
• Integral de Sin x De 0 a π/2

¿Qué es la integral de sen x?

La integral de sin(x) con respecto a x es -cos(x) más una constante (C). Esto significa que cuando derivas -cos(x) con respecto a x, obtienes sin(x). La constante de integración (C) representa cualquier valor constante adicional que pueda estar presente en la función original.

comando git push

La integral de sen x significa físicamente el área cubierta bajo la curva seno.

Aprender,

• Cálculo en matemáticas
• Integración en Matemáticas

Integral de seno x fórmula

La integral de la función seno, ∫ sin(x) dx, es igual a -cos(x) + C, donde C es la constante de integración.

∫sen(x) dx = -cos(x) + C

Aquí, cos(x) es la función coseno y C representa la constante que se suma a la primitiva, ya que la derivada de una constante es cero.

Significado gráfico de la integral de Sin x

La integral de sen(x) de ( a ) a ( b ) tiene importancia gráfica en términos de calcular el área bajo la curva dentro de este intervalo. Exploremos el significado gráfico utilizando tanto el método integral definido como el método geométrico.

Método integral definido

La integral de sin(x) de ( a ) a ( b ) viene dada por:

int_{a}^{b} sin(x) ,dx = -cos(x) Big|_{a}^{b} = -cos(b) + cos(a)

Esto representa el área con signo entre la curva sin(x) y el eje x de ( a ) a ( b ).

Método geométrico

Considere la gráfica de sin(x) desde ( a ) hasta ( b ). El área bajo la curva se puede dividir en dos regiones:

• Área Positiva: Regiones donde sin(x) es positivo (por encima del eje x). Esto contribuye al área positiva bajo la curva.
• Área Negativa: Regiones donde sin(x) es negativo (debajo del eje x). Esto contribuye al área negativa bajo la curva.

El área total es la suma algebraica de estas áreas positivas y negativas.

Ejemplo:

Encontrar el área bajo la curva de sin(x) desde ( a = 0 ) hasta ( b = π/2 ).

Usando el método integral definido:

∫₀^p/2sin x = [-cos x]₀^p/2= -cos(π/2) – (-cos 0) = 0 + 1 = 1

Esta es el área firmada bajo la curva.

Usando el método geométrico:

La gráfica de sen(x) de 0 a (π/2) es un cuarto de círculo y, de hecho, el área es 1.

Integración de la prueba de pecado x por método de sustitución

Para encontrar la integral de sen(x) usando el método de sustitución, consideremos la integral:

Una sustitución común de integrales trigonométricas implica hacer que u sea igual a la expresión dentro de la función trigonométrica. En este caso, sea u = cos(x). Luego, calcula du en términos de dx:

du/dx = -sin(x)

Ahora resuelve para dx:

dx = -1/sin(x) du

Ahora, sustituye u y dx en términos de u en la integral original:

Integral de sin(x) dx = ∫ sin(x) (-1/sin(x) du)

Simplifica la expresión:

Integral de sin(x) dx = -∫ du

Ahora integramos con respecto a u:

Integral de sen(x) dx = -u + C

Ahora, sustituya u, que se definió como cos(x):

Integral de sin(x) dx = -cos(x) + C

Entonces, usando el método de sustitución, llegamos al mismo resultado que en la prueba por derivadas. La integral de sin(x) es -cos(x) + C, donde C es la constante de integración.

Integral definida de sen x

La integral definida de sin(x) de a a b, denotada como

∫ ^b _a sin(x) dx = [-cos(b) -(-cos(a)]

Calcula el área neta bajo la curva sinusoidal entre x = a y x = b, considerando la dirección del área por encima y por debajo del eje x.

Aprender, Definite Integral

Integral de Sin x De 0 a Pi

Para encontrar la integral de sen(x) de 0 a π, podemos usar la primitiva. La antiderivada de sin(x) es -cos(x). Evaluando esta antiderivada de 0 a π, obtenemos:

∫₀^Pisin(x) dx = [-cos(π) – (-cos(0))]

∫₀^Pisin(x) dx = [-(-1) + 1]

Dado que cos(π) es -1 y cos(0) es 1, la expresión se simplifica a:

∫₀^Pisin(x) dx = 1 + 1 = 2

Entonces, la integral de sen(x) de 0 a π es igual a 2. Esto representa el área con signo entre la curva de sen(x) y el eje x de x = 0 a x = π.

Integral de Sin x De 0 a Pi /2

La integral definida representa el área con signo entre la curva y el eje x en el intervalo dado.

La integral está dada como:

∫₀^p/2sin(x) dx

Usando la primitiva -cos(x) para evaluar la integral:

cos(x) |[0 a π/2]

Ahora, sustituye π/2 en -cos(x):

cos(π/2) – (-cos(0))

Recuerde que cos(π/2) = 0 y cos(0) = 1. Sustituya estos valores:

-(0) – (-1)

Simplificar:

0 + 1 = 1

Integral definida de sin(x) de 0 a π/2 es igual a 1. Esto significa que el área con signo entre la curva seno y el eje x de x = 0 a x = π/2 es 1.

Además, consulte

• Integración de Cos x
• Integración de Tan x
• Fórmulas de integración

Integral de Sin x – Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Encuentra la integral de sen2(x)

Solución:

comando cp en linux

For sin²(x), puedes usar la fórmula que involucra cos(2x).

∫sin²(x) dx = ∫(1 – cos(2x))/2 dx

Divídelo en dos partes:

= (1/2)∫dx – (1/2)∫cos(2x) dx

La integral de dx es simplemente x. La integral de cos(2x) implica el uso de la fórmula sin(2x). Se parece a esto:

iterando una lista en java

= (1/2)x – (1/4)sin(2x) + C

Combine los dos resultados y agregue una constante C para tener en cuenta cualquier constante potencial en la integral original.

(1/2)x – (1/4)sin(2x) + C

Ejemplo 2: Encuentra la integral del seno. ³ X.

Solución:

La integral del seno al cubo con respecto a x se puede escribir como:

∫sin³xdx

Utilice una identidad trigonométrica para simplificar:

sin³x = [1 – cos²(x)] sin(x)

∫[1 – porque²(x)] sin(x) dx

Distribuye y separa los términos:

∫[sin x – sin x. cos²(x)]dx

Integre cada término por separado:

-cos(x) + 1/3 cos³x + C

Aquí, ( C ) representa la constante de integración.

Ejemplo 3: encontrar la integral de sen x ^-1

Solución:

La integral de pecado(x)^-1se puede expresar usando la función arcoseno. La integral está dada por:

∫1/sen x = -ln|cosec x + cot x| +C

Aquí, (C) es la constante de integración.

Ejemplo 4: encontrar la integral de sen x ²

Solución:

La integral de sen²(x) con respecto a x se puede resolver usando una identidad trigonométrica.

∫sen2x dx = 1/2∫(1 – cos(2x)dx

Ahora, integra cada término por separado:

1/2​∫(1−cos(2x))dx = 1/2​(∫1dx−∫cos(2x)dx)

= 1/2 [x – 1/2 sin(2x)] + C

donde ( C ) es la constante de integración.

Ejemplo 5: encontrar la integral de sen x ^-3

Solución:

Integral de pecado(x)^-3con respecto a (x) implica una sustitución trigonométrica. Así es como puedes resolverlo:

Sea u = sin(x), entonces du = cos(x)dx

Ahora, sustituye estos en la integral:

∫pecado(x)⁻³dx = ∫u⁻³de

Ahora integramos con respecto a (u):

∫u⁻³tu = tu⁻²/−2​ + C

Sustituya en términos de (x) usando u = sin(x):

estructuras de datos java

∫pecado(x)⁻³dx = -1/2sen²x + C

Entonces, la integral de sen(x)^-3con respecto a (x) es -1/2sin²x , donde (C) es la constante de integración.

Ejemplo 6: encontrar la integral de sen inverso x

Solución:

Para encontrar la integral del pecado.^-1(x) con respecto a (x), se puede utilizar la integración por partes. La fórmula de integración por partes es:

∫udv=uv−∫vdu

u = sin^-1(x) y dv = dx

Ahora, encuentre (du) y (v):

du = frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

v=x

Aplicar la fórmula de integración por partes:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) – int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

Ahora, integra el término restante en el lado derecho. Puedes usar la sustitución dejando (t = 1 – x²), entonces (dt = -2x, dx):

int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx = -frac{1}{2} int frac{1}{sqrt{t}} , dt

= √t + C

Ahora, sustituya en términos de (x):

= -sqrt{1 – x^2} + C

Poniendolo todo junto:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) + sqrt{1 – x^2} + C

donde (C) es la constante de integración.

Ejemplo 7: Encuentre la integral de x sen 2x dx

Solución:

Para encontrar la integral de xsin(2x) con respecto a (x), puedes usar la integración por partes. La fórmula de integración por partes viene dada por:

∫udv = uv − ∫vdu

u = x y dv = sen(2x)dx

Ahora, encuentre (du) y (v):

du = dx y v = -1/2cos(2x)

Aplicar la fórmula de integración por partes:

∫x.sin (2x) dx = −1/2.​x.cos (2x) − ∫−1/2​ cos(2x) dx

Ahora, integra el término restante en el lado derecho. La integral de -1/2cos(2x) se puede encontrar haciendo (u = 2x) y usando una simple sustitución:

∫−1/2​cos(2x)dx = −1/4​sin(2x)

Sustituya este resultado nuevamente en la ecuación original:

-1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C

Entonces, la integral de xsin(2x) con respecto a (x) es -1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C, donde (C) es la constante de integración.

Ejemplo 8: Encuentre la integral de sen x cos 2x

Solución:

convertir objeto a cadena

Para encontrar la integral de sin(x) cos(2x) con respecto a (x), puedes usar la integración por partes. La fórmula de integración por partes es:

∫udv = uv − ∫vdu

u = pecado(x) y dv = cos(2x)dx

Ahora, encuentre (du) y (v):

du = cos(x) dx y v = 1/2 sin(2x)

Aplicar la fórmula de integración por partes:

∫sin(x).cos(2x)dx = 1​/2sin(x)sin(2x) − ∫1​/2sin(2x)cos(x)dx

Ahora, integra el término restante en el lado derecho. Puedes volver a utilizar la integración por partes:

∫1/2​sin(2x)cos(x)dx = 1/4​cos(2x)cos(x) − ∫1/4​cos(2x)sin(x)dx

Continúe el proceso hasta que la integral sea manejable. Después de simplificar, obtendrás el resultado final:

1/2 sin(x)sin(2x) – 1/8 cos(X) cos(2x) + 1/8 sin(X) cos(2x) + C

donde (C) es la constante de integración.

Integral de Sen x – Preguntas de práctica

P1. Encuentra la integral del seno de 0 a pi.

P2. Calcula la integral del seno desde -π/2 a π/2.

P3. Encuentra el valor de la integral de seno más coseno con respecto a x.

P4. Evalúa la integral del seno(2x) de 0 a π/3.

P5. Encuentra la primitiva del seno (3x) con respecto a x.

P6. Calcula la integral del seno(2x) de π a 2π.

P7. Integra la función seno al cuadrado con respecto a x.

P8. Evalúa la integral del seno al cuadrado de -π/4 a π/4.

Integral de Sen x – Preguntas frecuentes

¿Qué es la integral de sen x?

Integral de sen x es -cos x

¿Qué es el pecado x?

Sin(x), es una función trigonométrica que representa la relación entre la longitud del lado opuesto a un ángulo y la longitud de la hipotenusa en un triángulo rectángulo.

¿Qué es el rango de pecado x?

El rango de Sin x es [-1, 1].

¿Qué es la integral y la derivada de sen x?

La integral de sen x es -cos x y la derivada de si x es cos x

¿Cuál es la integral de Sin x y Cos x?

La integral de sen x es -cos x + C y la integral de cos x es sen x

¿Qué es la integral de Sin 2x?

La integración de sen 2x es (-cos2x)/2 + c