A Hipérbola Es una curva suave en un plano con dos ramas que se reflejan entre sí, asemejándose a dos arcos infinitos. Es una sección cónica formada al cruzar un cono circular recto con un plano en un ángulo tal que ambas mitades del cono se cruzan.

Aprendamos sobre la hipérbola en detalle, incluidas sus ecuaciones, fórmulas, propiedades, gráficas y derivaciones.

Hipérbola

Tabla de contenidos

• ¿Qué es la hipérbola?
• Definición de hipérbola
• Ecuación de hipérbola
• Partes de la hipérbola
• Excentricidad de la hipérbola
• Ecuación estándar de la hipérbola
• Lado derecho de la hipérbola
• Derivación de la ecuación de la hipérbola
• Fórmula de hipérbola
• Gráfico de hipérbola
• Hipérbola conjugada
• Propiedades de la hipérbola
• Círculos auxiliares de hipérbola
• Hipérbola rectangular
• Representación paramétrica de la hipérbola
• Hipérbola Clase 11
• Ejemplos resueltos sobre hipérbola
• Problemas de práctica sobre hipérbola

¿Qué es la hipérbola?

Una hipérbola es el lugar geométrico de puntos cuya diferencia en las distancias a dos focos es un valor fijo. Esta diferencia se obtiene restando la distancia del foco más cercano a la distancia del foco más lejano.

Si P (x, y) es un punto de la hipérbola y F, F’ son dos focos, entonces el lugar geométrico de la hipérbola es

FP – FP' = 2a

Nota: Consulte el diagrama agregado en la derivación para ver la imagen.

Definición de hipérbola

En geometría analítica, una hipérbola es un tipo de sección cónica creada cuando un plano corta ambas mitades de un cono circular recto doble en un ángulo. Esta intersección da como resultado dos curvas separadas e ilimitadas que son imágenes especulares entre sí, formando una hipérbola.

Ecuación de hipérbola

La ecuación de una hipérbola en su forma estándar depende de su orientación y de si está centrada en el origen o en otro punto. Aquí están las dos formas principales de hipérbolas centradas en el origen, una que se abre horizontalmente y la otra que se abre verticalmente:

X ² /a ² – y ² /b ² = 1

Esta ecuación representa una hipérbola que se abre hacia la izquierda y hacia la derecha. Los puntos (±a,0) son los vértices de la hipérbola, ubicados en el eje x.

Partes de la hipérbola

Una hipérbola es una sección cónica que se desarrolla cuando un plano corta un cono circular recto doble en un ángulo tal que ambas mitades del cono quedan unidas. Se puede describir utilizando conceptos como focos, directriz, latus rectum y excentricidad.

Excentricidad de la hipérbola

La excentricidad de una hipérbola es la relación entre la distancia de un punto al foco y su distancia perpendicular a la directriz. Se denota con la letra ' Es ‘.

• La excentricidad de una hipérbola es siempre mayor que 1, es decir, e>1.
• Podemos encontrar fácilmente la excentricidad de la hipérbola mediante la fórmula:

mi = √[1 + (b ² /a ² )]

dónde,

• a es la longitud del semieje mayor
• b es la longitud del semieje menor

Leer más: Excentricidad

Ecuación estándar de la hipérbola

Las ecuaciones estándar de una hipérbola son:

old{frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1}

O

old{frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1}

Una hipérbola tiene dos ecuaciones estándar. Estas ecuaciones de una hipérbola se basan en su eje transversal y su eje conjugado.

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• La ecuación estándar de la hipérbola es [(x²/a²) – (y²/b²)] = 1, donde el eje X es el eje transversal y el eje Y es el eje conjugado.
• Además, otra ecuación estándar de la hipérbola es [(y²/a²)- (X²/b²)] = 1, donde el eje Y es el eje transversal y el eje X es el eje conjugado.
• La ecuación estándar de la hipérbola con centro (h, k) y el eje X como eje transversal y el eje Y como eje conjugado es,

old{frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}= 1}

• Además, otra ecuación estándar de la hipérbola con centro (h, k) y el eje Y como eje transversal y el eje X como eje conjugado es

old{frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}= 1 }

Lado derecho de la hipérbola

El latus recto de una hipérbola es una línea que pasa por cualquiera de los focos de una hipérbola y es perpendicular al eje transversal de la hipérbola. Los extremos de un latus rectum se encuentran en la hipérbola y su longitud es 2b.²/a.

Derivación de la ecuación de la hipérbola

Consideremos un punto P de la hipérbola cuyas coordenadas son (x, y). Por la definición de hipérbola, sabemos que la diferencia entre la distancia del punto P a los dos focos F y F' es 2a, es decir, PF'-PF = 2a.

Sean las coordenadas de los focos F (c, o) y F '(-c, 0).

Ahora, usando la fórmula de distancia de coordenadas, podemos encontrar la distancia del punto P (x, y) a los focos F (c, 0) y F '(-c, 0).

√[(x + c)²+ (y – 0)²] – √[(x – c)²+ (y – 0)²] = 2a

⇒ √[(x + c)²+ y²] = 2a + √[(x – c)²+ y²]

Ahora, elevando ambos lados al cuadrado, obtenemos

(x+c)²+ y²= 4a²+ (x-c)²+ y²+ 4a√[(x – c)²+ y²]

⇒ 4cx – 4a²= 4a√[(x – c)²+ y²]

⇒ cx – a²= a√[(x – c)²+ y²]

Ahora, elevando al cuadrado en ambos lados y simplificando, obtenemos

[(X²/a²) – (y²/(C²- a²))] = 1

tenemos,c²= un²+b², entonces al sustituir esto en la ecuación anterior, obtenemos

X²/a²– y²/b²= 1

De ahí se deriva la ecuación estándar de la hipérbola.

De manera similar, podemos derivar las ecuaciones estándar de la otra hipérbola, es decir, [y²/a²- X²/b²] = 1

Fórmula de hipérbola

Las siguientes fórmulas de hipérbola se utilizan ampliamente para encontrar los diversos parámetros de la hipérbola, que incluyen la ecuación de la hipérbola, el eje mayor y menor, la excentricidad, las asíntotas, el vértice, los focos y el recto semilato.

Dónde,

• ( X₀​, y₀​) es el punto central
• a es el semieje mayor
• b es el Eje Semi-menor.

Gráfico de hipérbola

La hipérbola es una curva que tiene dos curvas ilimitadas que son imágenes especulares entre sí. La gráfica de la hipérbola muestra esa curva en el plano 2-D. Podemos observar las diferentes partes de una hipérbola en los gráficos de hipérbola para las ecuaciones estándar que se muestran a continuación:

Ecuación de la hipérbola	Gráfico de hipérbola	Parámetros de la hipérbola
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1		Coordenadas del centro: (0, 0) Coordenadas del vértice: (a, 0) y (-a, 0) Coordenadas de focos: (c, 0) y (-c, 0) La longitud del eje transversal = 2a La longitud del eje conjugado = 2b La longitud del lado recto = 2b2/a Ecuaciones de asíntotas: y = (b/a) x y y = -(b/a) x Excentricidad (e) = √[1 + (b2/a2)]
frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1		Coordenadas del centro: (0, 0) Coordenadas del vértice: (0, a) y (0, -a) Coordenadas de focos: (0, c) y (0, -c) La longitud del eje transversal = 2b La longitud del eje conjugado = 2a La longitud del lado recto = 2b2/a Ecuaciones de asíntotas: y = (a/b) x y y = -(a/b) x Excentricidad (e) = √[1 + (b2/a2)]

Hipérbola conjugada

La hipérbola conjugada son 2 hipérbolas tales que los ejes transversal y conjugado de una hipérbola son el eje conjugado y transversal de la otra hipérbola respectivamente.

Hipérbola conjugada de (x²/ a²) – (y²/b²) = 1 es,

(X ² / a ² ) – (y ² / b ² ) = 1

Dónde,

• a es el semieje mayor
• b es eje semi-menor
• Es es la excentricidad de la parábola
• a ² = segundo ² (Es ² − 1)

Propiedades de la hipérbola

• Si las excentricidades de la hipérbola y su conjugado son e₁, y mi₂entonces,

(1 y ₁ ² ) + (1/e ₂ ² ) = 1

• Los focos de una hipérbola y su conjugado son concíclicos y forman los vértices de un cuadrado.
• Las hipérbolas son iguales si tienen el mismo latus rectum.

Círculos auxiliares de hipérbola

El círculo auxiliar es un círculo que se dibuja con centro C y diámetro como eje transversal de la hipérbola. El círculo auxiliar de la ecuación de la hipérbola es,

X ² + y ² = un ²

Hipérbola rectangular

Una hipérbola con un eje transversal de 2a unidades y un eje conjugado de 2b unidades de igual longitud se llama Hipérbola Rectangular. es decir, en hipérbola rectangular,

2a = 2b

⇒ a = b

La ecuación de una hipérbola rectangular se da de la siguiente manera:

X ² – y ² = un ²

Nota: La excentricidad de la hipérbola rectangular es √2.

Representación paramétrica de la hipérbola

La representación paramétrica de los círculos auxiliares de la hipérbola es:

x = a sec θ, y = b tan θ

La gente también leyó

• Sección cónica
• Parábola
• Círculo
• Elipse

Hipérbola Clase 11

En matemáticas de la clase 11, el estudio de las hipérbolas forma parte de las secciones cónicas en geometría analítica. Comprender las hipérbolas en este nivel implica explorar su definición, ecuaciones estándar, propiedades y varios elementos asociados con ellas.

El plan de estudios de la clase 11 generalmente incluye derivar estas ecuaciones y propiedades, dibujar hipérbolas basadas en ecuaciones dadas y resolver problemas relacionados con los elementos y posiciones de la hipérbola. El dominio de estos conceptos proporciona una base sólida en el análisis. geometría , preparando a los estudiantes para estudios posteriores en matemáticas y campos relacionados.

Resumen - Hipérbola

Una hipérbola es un tipo de sección cónica que se forma cuando un plano intersecta un cono en un ángulo tal que se producen dos curvas separadas. Caracterizada por su simetría especular, una hipérbola consta de dos ramas desconectadas, cada una curvada alejándose de la otra. Se puede definir matemáticamente en un plano de coordenadas usando una ecuación estándar, que varía según su orientación (ya sea horizontal o vertical) y si su centro está en el origen o en otro punto.

Las formas estándar son X ² /a ² – y ² /b ² = 1 para una hipérbola que se abre horizontalmente y y ² /a ² - X ² /b ² = 1 para una abertura vertical, con variaciones para acomodar un centro movido a (h,k). Las características clave de las hipérbolas incluyen los vértices, los puntos más cercanos de cada rama al centro; focos, puntos desde los cuales las distancias a cualquier punto de la hipérbola tienen una diferencia constante; y asíntotas, líneas a las que las ramas se acercan pero nunca tocan.

Las propiedades de las hipérbolas las hacen importantes en diversos campos, incluida la astronomía, la física y la ingeniería, para modelar y analizar trayectorias y comportamientos hiperbólicos.

Ejemplos resueltos sobre hipérbola

Pregunta 1: Determinar la excentricidad de la hipérbola x. ² /64 – y ² /36 = 1.

Solución:

La ecuación de la hipérbola es x.²/64 – y²/36 = 0

Comparando la ecuación dada con la ecuación estándar de la hipérbola x²/a²– y²/b²= 1, obtenemos

a²= 64, segundo²= 36

⇒ a = 8, b = 6

Tenemos,

Excentricidad de una hipérbola (e) = √(1 + b²/a²)

⇒ mi = √(1 + 6²/8²)

⇒ mi = √(1 + 36/64)

⇒ mi = √(64 + 36)/64) = √(100/64)

⇒ mi = 10/8 = 1,25

Por tanto, la excentricidad de una hipérbola dada es 1,25.

Pregunta 2: Si la ecuación de la hipérbola es [(x-4) ² /25] – [(y-3) ² /9] = 1, encuentre las longitudes del eje mayor, del eje menor y del lado recto.

Solución:

La ecuación de la hipérbola es [(x-4)²/25] – [(y-3)²/9] = 1

Comparando la ecuación dada con la ecuación estándar de la hipérbola, (x – h)²/a²– (y – k)²/b²= 1

Aquí, x = 4 es el eje mayor e y = 3 es el eje menor.

a²= 25 a = 5

b²= 9 segundo = 3

Longitud del eje mayor = 2a = 2 × (5) = 10 unidades

Longitud del eje menor = 2b = 2 × (3) = 6 unidades

Longitud del lado recto = 2b²/a = 2(3)²/5 = 18/5 = 3,6 unidades

Pregunta 3: Encuentre el vértice, la asíntota, el eje mayor, el eje menor y la directriz si la ecuación de la hipérbola es [(x-6) ² /7 ² ]-[(y-2) ² /4 ² ] = 1.

Solución:

La ecuación de la hipérbola es [(x-6)²/7²] – [(y-2)²/4²] = 1

Comparando la ecuación dada con la ecuación estándar de la hipérbola, (x – h)²/a²– (y – k)²/b²= 1

h = 6, k = 2, a = 7, segundo = 4

Vértice de una Hipérbola: (h + a, k) y (h – a, k) = (13, 2) y (-1, 2)

El eje mayor de la hipérbola es x = h x = 6

El eje menor de la hipérbola es y = k y = 2

Las ecuaciones de asíntotas de hipérbola son

y = k − (b / a)x + (b / a)h y y = k+ (b / a)x – (b / a)h

⇒ y = 2 – (4/7)x + (4/7)6 y y = 2 + (4/7)x – (4/7)6

⇒ y = 2 – 0,57x + 3,43 y y = 2 + 0,57x – 3,43

⇒ y = 5,43 – 0,57x y y = -1,43 + 0,57x

La ecuación de la directriz de una hipérbola es x = ± a²/√(a²+b²)

⇒ x = ± 7²/√(7²+ 4²)

⇒ x= ± 49/√65

⇒ x = ± 6,077

Pregunta 4: Encuentra la excentricidad de la hipérbola cuyo latus recto es la mitad de su eje conjugado.

Solución:

La longitud del lado recto es la mitad de su eje conjugado.

Sea la ecuación de la hipérbola [(x²/ a²) – (y²/ b²)] = 1

Eje conjugado = 2b

Longitud del Latus recto = (2b²/ a)

A partir de los datos dados, (2b²/a) = (1/2) × 2b

2b = un

Tenemos,

Excentricidad de la hipérbola (e) = √[1 + (b)²/a²)]

Ahora, sustituye a = 2b en la fórmula de excentricidad.

⇒ mi = √[1 + (b²/(2b)²]

⇒ mi = √[1 + (b²/4b²)] = √(5/4)

⇒ mi = √5/2

Por tanto, la excentricidad requerida es √5/2.

Problemas de práctica sobre hipérbola

P1. Encuentre la ecuación en forma estándar de la hipérbola con vértices en (-3, 2) y (1, 2) y una distancia focal de 5.

P2. Determina el centro, vértices y focos de la hipérbola con la ecuación 9x. ² – 4 años ² = 36.

P3. Dada la hipérbola con la ecuación (x – 2) ² /16 – (y + 1) ² /9 = 1, encuentre las coordenadas de su centro, vértices y focos.

P4. Escribe la ecuación de la hipérbola con un eje mayor horizontal, centro en (0, 0), vértice en (5, 0) y foco en (3, 0).

Hipérbola – Preguntas frecuentes

¿Qué es la hipérbola en matemáticas?

El lugar geométrico de un punto en un plano tal que la relación entre su distancia desde un punto fijo y la distancia desde una línea fija es una constante mayor que 1 se llama hipérbola.

¿Qué es la ecuación estándar de la hipérbola?

La ecuación estándar de la hipérbola es

(X ² /a ² ) – (y ² /b ² ) = 1

¿Qué es la excentricidad de la hipérbola?

La excentricidad de una hipérbola es la relación entre la distancia de un punto al foco y su distancia perpendicular a la directriz. Para Hipérbola la excentricidad es siempre mayor que 1.

¿Cuál es la fórmula de excentricidad de la hipérbola?

La fórmula para la excentricidad de la hipérbola es mi = √(1 + (b ² /a ² ))

Cuáles son Focos de la hipérbola?

Una hipérbola tiene dos focos. Para la hipérbola (x²/a²) – (y²/b²) = 1, los focos vienen dados por (ae, 0) y (-ae, 0)

¿Qué es el eje transversal de la hipérbola?

Para hipérbola (x²/a²) – (y²/b²) = 1, el eje transversal está a lo largo del eje x. Su longitud está dada por 2a. La línea que pasa por el centro y los focos de la hipérbola se llama eje transversal de la hipérbola.

¿Qué son las asíntotas de la hipérbola?

Las rectas paralelas a la hipérbola que se encuentran con la hipérbola en el infinito se llaman asíntotas de la hipérbola.

¿Cuántas asíntotas tiene la hipérbola?

Una hipérbola tiene 2 asíntotas. La asíntota es una recta tangente a la hipérbola que se encuentra con la hipérbola en el infinito.

¿Para qué se utiliza la hipérbola?

Las hipérbolas encuentran aplicaciones en diversos campos como la astronomía, la física, la ingeniería y la economía. Se utilizan en trayectorias de satélites, patrones de transmisión de radio, objetivos de artillería, modelos financieros y mecánica celeste, entre otras áreas.

¿Cuál es la diferencia entre parábola e hipérbola en forma estándar?

En forma estándar, la ecuación de una parábola involucra términos elevados a la potencia de 1 y 2, mientras que la ecuación de una hipérbola involucra términos elevados a la potencia de 2 y -2. Además, la parábola se caracteriza por tener un único punto focal, mientras que la hipérbola tiene dos.

¿Qué es la ecuación básica del gráfico de hipérbola?

La ecuación básica de una gráfica de hipérbola es:

(x-h)²/ a²– (y – k)²/ b²= 1

O

(y – k)²/ b²– (x-h)²/ a²= 1

¿Cuáles son los tipos de hipérbola?

Las hipérbolas se pueden clasificar en tres tipos según su orientación: hipérbolas horizontales, verticales y oblicuas.

¿Cómo se identifica una ecuación de hipérbola?

Una ecuación de hipérbola generalmente involucra términos con ambos X y y variables, con una diferencia entre los cuadrados de X y y coeficientes, y los coeficientes de estos términos son positivos y negativos, respectivamente.

¿Cuál es la fórmula de B en la hipérbola?

En la forma estándar de una ecuación de hipérbola, B representa la longitud del eje conjugado y su fórmula es B = 2 b , dónde b es la distancia desde el centro a los vértices a lo largo del eje conjugado.

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¿Cómo dibujar una hipérbola?

Para dibujar una hipérbola, normalmente se comienza trazando el punto central, luego se marcan los vértices, focos, asíntotas y otros puntos clave según la ecuación o las propiedades dadas. Finalmente, dibuja las curvas de la hipérbola usando estos puntos como guías.