En geometría, los ángulos complementarios se pueden definir como aquellos ángulos cuya suma es 90 grados. Por ejemplo, 39° y 51° son ángulos complementarios, ya que la suma de 39° y 51° es 90°. Si la suma de dos ángulos es recto, entonces podemos decir que son ángulos complementarios. Pero ¿qué es un ángulo? En geometría, se hace referencia a un ángulo como el espacio que se forma entre dos rayos cuando están unidos por un punto común llamado vértice. Si θ es un ángulo, entonces (90° – θ) es el ángulo complementario de θ.

Para que dos ángulos sean complementarios, su suma debe ser 90 grados, es decir, los dos ángulos deben ser agudos. Si θ es un ángulo, entonces (90° – θ) es el ángulo complementario de θ.

Tipos de ángulos complementarios

Se dice que dos ángulos son complementarios si su suma es 90°. En geometría, existen dos tipos de ángulos complementarios, es decir, ángulos complementarios adyacentes y ángulos complementarios no adyacentes.

int parseint

Ángulos complementarios adyacentes: Dos ángulos complementarios que tienen un vértice común y un brazo común se llaman ángulos complementarios adyacentes.

De la figura dada, podemos decir que ∠QEF y ∠DEQ son ángulos adyacentes, ya que ambos ángulos comparten el vértice común E y el brazo común EQ. Dado que ∠QEF + ∠DEQ = 17° + 73° = 90°, ∠QEF y ∠DEQ también son ángulos complementarios. Por tanto, los dos ángulos dados son ángulos complementarios adyacentes.

Ángulos complementarios no adyacentes: Se dice que dos ángulos son ángulos no adyacentes si no comparten un vértice común ni un brazo común. Los ángulos complementarios no adyacentes son ángulos complementarios que no son adyacentes entre sí.

De la figura dada, podemos decir que ∠XYZ y ∠ABC son ángulos no adyacentes, ya que ambos ángulos no comparten un vértice común ni un brazo común. ∠XYZ y ∠ABC también son ángulos complementarios ya que su suma es 90°, es decir, ∠XYZ + ∠ABC = 57° + 33° = 90°. Por tanto, los dos dados son ángulos complementarios no adyacentes.

Teorema de los ángulos complementarios

El teorema de los ángulos complementarios establece que Si dos ángulos son complementarios de cualquier tercer ángulo, entonces los dos primeros ángulos son congruentes entre sí.

Prueba:

Supongamos que ∠COB es complementario de ∠BOA y ∠DOC.

De la definición de los ángulos complementarios obtenemos,

∠COB + ∠BOA = 90° ————— (1)

∠COB + ∠DOC = 90° ————— (2)

De las ecuaciones (1) y (2) podemos decir que,

∠COB + ∠BOA = ∠COB + ∠DOC

⇒ ∠COB + ∠BOA – ∠COB – ∠DOC = 0

⇒ ∠BOA – ∠DOC = 0

⇒ ∠BOA = ∠DOC

Por tanto, el teorema está demostrado.

Propiedades de los ángulos complementarios.

Analicemos algunas propiedades de los ángulos complementarios.

1. Se dice que un par de ángulos son complementarios si suman 90°.
2. Los dos ángulos complementarios pueden ser adyacentes o no adyacentes.
3. Se dice que un ángulo es complemento de otro ángulo si la suma de ambos ángulos es 90°.
4. Aunque la suma de tres o más ángulos sea de 90°, no pueden ser complementarios.
5. Los dos ángulos complementarios son agudos.

Encontrar el complemento de un ángulo

Para encontrar el complemento de un ángulo, necesitamos restar el ángulo dado de 90°, ya que sabemos que la suma de dos ángulos complementarios es 90°. Si θ es el ángulo dado, entonces (90° – θ) es el complemento de θ.

Por ejemplo, calcule el complemento de 17°.

Sabemos que la suma de dos ángulos complementarios es 90°.

Como resultado, el complemento de 17° es (90° – 17°) = 73°.

Por tanto, el complemento de 17° es 73°.

Diferencia entre ángulos complementarios y suplementarios

Problemas resueltos

Problema 1: Calcula los valores de los dos ángulos complementarios, A y B, si A = (2x – 18)° y B = (5x – 52)°.

Solución:

Datos dados,

∠A = (2x – 18)° y ∠B = (5x – 52)°

Lo sabemos,

Suma de dos ángulos complementarios = 90°

∠A + ∠B = 90°

⇒ (2x – 18)° + (5x – 52)° = 90°

⇒ 7x – 70° = 90°

⇒ 7x = 90° + 70° = 160°

⇒ x = 160°/7 = 22,85°

Ahora,

∠A = (2 × (22.857) – 18) = 27.714°

∠B = (5 × (22.857) – 52) = 62.286‬°

Por lo tanto, ∠A = 27,714° y ∠B = 62,286°.

Problema 2: Determina el valor de x si (5x/3) y (x/6) son ángulos complementarios.

Solución:

Datos dados,

(5x/3) y (x/6) son ángulos complementarios.

Lo sabemos,

Suma de dos ángulos complementarios = 90°

⇒ (5x/3) + (x/6) = 90°

⇒ (10x + x)/6 = 90°

⇒ 11x = 90° × 6 = 540°

⇒ x = 540°/11 = 49,09°

Por tanto, el valor de x = 49,09°.

edad de hrithik roshan

Problema 3: Encuentre el valor de x en la figura que se muestra a continuación.

Solución:

En la figura dada podemos observar que x y 54° son ángulos complementarios, es decir, la suma de x y 54° es 90°.

⇒ x + 54° = 90°

⇒ x = 90° – 54° = 36°

Por tanto, el valor de x es 36°.

Problema 4: Encuentra el valor de y y la medida de los ángulos en la figura dada.

Solución:

En la figura dada, podemos observar que (2y – 15)° y (3y – 25)° son ángulos complementarios, es decir, la suma de (2y – 15)° y (3y – 25)° es 90°.

⇒ (2y – 15)° + (3y – 25)° = 90°

⇒ (5 años – 40)° = 90°

⇒ 5 años = 90° + 40° = 130°

⇒ y = 130°/5 = 26°

Ahora, (2y – 15)° = ( 2 × 26 – 15) = 37°

(3 años – 25)° = (3 × 26 – 15) = 53°

Por tanto, el valor de y es 26° y los ángulos complementarios son 37° y 53°.

Problema 5: Determina el valor de x y la medida de los ángulos complementarios en la figura que se muestra a continuación.

Solución:

Dado que (x – 3)° y (2x – 7)° son ángulos complementarios, es decir, la suma de (x – 3)° y (2x – 7)° es 90°.

código gris

⇒ (x – 3)° + (2x – 7)° = 90°

⇒ (3x – 10)° = 90°

⇒ 3x = 90° + 10° = 100°

⇒ x = 100°/3 = 33,34°

Ahora, (x – 3)° = (33.333- 3)° = 30.333° = 30.33°

(2x – 7)° = (2 x (33,333) – 7)° = 59,666° = 59,67°

Por tanto, el valor de x es 33,333° y los tres ángulos complementarios son 30,33° y 59,67°.