La ley de De Morgan es la ley más común en la teoría de conjuntos y en el álgebra de Boole, así como en la teoría de conjuntos. En este artículo, aprenderemos sobre la ley de De Morgan, la ley de De Morgan en teoría de conjuntos y la ley de De Morgan en álgebra booleana junto con sus demostraciones, tablas de verdad y diagramas de puertas lógicas. El artículo también incluye el ejemplo resuelto de la ley de De Morgan y preguntas frecuentes sobre la ley de De Morgan. Conozcamos la ley de De Morgan.
Tabla de contenidos
- ¿Qué es la ley de De Morgan?
- La ley de De Morgan en la teoría de conjuntos
- Primera ley de De Morgan
- Second De Morgan’s Law
- Prueba usando álgebra de conjuntos
- Ley de De Morgan en álgebra booleana
- De Morgan’s Law Formula
- Ejemplos resueltos sobre la ley de De Morgan
- Aplicaciones lógicas de la ley de De Morgan
¿Qué es la ley de De Morgan?
La ley de De Morgan es la ley que establece la relación entre unión, intersección y complementos en la teoría de conjuntos. En álgebra booleana, da la relación entre Y, O y complementos de la variable, y en lógica, da la relación entre Y, O o Negación de la declaración. Con la ayuda de la Ley de De Morgan, podemos optimizar varios circuitos booleanos que involucran puertas lógicas que nos ayudan a realizar la misma operación pero con muy pocos aparatos.
La ley de De Morgan en la teoría de conjuntos
La ley de De Morgan en el teoría de conjuntos define la relación entre la unión, la intersección y los complementos de los conjuntos, y se da tanto para el complemento de la unión como para la intersección de dos conjuntos. En la teoría de conjuntos existen dos leyes de De Morgan que son:
- Primera ley de De Morgan
- Second De Morgan’s Law
Entendamos estas leyes en detalle a continuación:
Primera ley de De Morgan
Primero, la ley de De Morgan establece que El complemento de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección de los complementos de cada conjunto.
Sean A y B dos conjuntos, entonces matemáticamente la Primera Ley de De Morgan viene dada como:
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
Dónde
- EN representa la operación de unión entre conjuntos,
- ∩ representa la operación de intersección entre conjuntos, y
- ‘ representa la operación complementaria en un conjunto.
También es llamado Ley de unión de De Morgan.
Detalle la prueba de la ley de De Morgan
| Paso | Explicación |
|---|---|
| Paso 1: Establecer la ley | La Ley de De Morgan incluye dos partes: ¬(A ∪ B) = ¬A ∩ ¬B y ¬(A ∩ B) = ¬A ∪ ¬B. |
| Paso 2: elige un elemento | Demostremos que ¬(A ∪ B) = ¬A ∩ ¬B. Suponga un elemento x que no está en A ∪ B. |
| Paso 3: comprender el supuesto | Si x no está en A ∪ B, entonces x no está ni en A ni en B. |
| Paso 4: aplique la definición | Según la definición de complemento, si x no está en A ni en B, entonces x está en ¬A y en ¬B. |
| Paso 5: concluir la prueba | Dado que x está tanto en ¬A como en ¬B, x está en ¬A ∩ ¬B. Por lo tanto, hemos demostrado que ¬(A ∪ B) = ¬A ∩ ¬B. |
Prueba usando álgebra de conjuntos
Necesitamos demostrar que (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
Sea X = (A ∪ B)’ e Y = A’ ∩ B’
Sea p cualquier elemento de X, entonces p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∪ B)’
⇒ p ∉ (A ∪ B)
⇒ p ∉ A o p ∉ B
⇒ p ∈ A’ y p ∈ B’
⇒ p ∈ A’ ∩ B’
⇒ p ∈ Y
∴ X ⊂ Y . . . (i)
Nuevamente, sea q cualquier elemento de Y, entonces q ∈ Y ⇒ q ∈ A’ ∩ B’
⇒ q ∈ A’ y q ∈ B’
⇒ q ∉ A o q ∉ B
⇒ q ∉ (A ∪ B)
⇒ q ∈ (A ∪ B)’
⇒ q ∈X
∴ Y ⊂ X . . . (ii)
De (i) y (ii) X = Y
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
Leer también – Prueba de las leyes de De-Morgan en álgebra booleana
Prueba usando el diagrama de Venn
Diagrama de Venn para (A ∪ B)’
Diagrama de Venn para A’ ∩ B’
De ambos diagramas, podemos decir claramente,
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
Esa es la Primera Ley de De Morgan.
Second De Morgan’s Law
La segunda ley de De Morgan establece que El complemento de intersección de dos conjuntos es igual a la unión de los complementos de cada conjunto.
Sean A y B dos conjuntos, entonces matemáticamente la Primera Ley de De Morgan viene dada como:
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Dónde
- EN representa la operación de unión entre conjuntos,
- ∩ representa la operación de intersección entre conjuntos, y
- ‘ representa la operación complementaria en un conjunto.
También es llamado Ley de intersección de De Morgan .
Prueba usando álgebra de conjuntos
Segunda ley de De Morgan: (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Sea X = (A ∩ B)’ e Y = A’ ∪ B’
Sea p cualquier elemento de X, entonces p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∩ B)’
⇒ p ∉ (A ∩ B)
⇒ p ∉ A y p ∉ B
⇒ p ∈ A’ o p ∈ B’
⇒ p ∈ A’ ∪ B’
⇒ p ∈ Y
∴ X ⊂ Y ————–(i)
Nuevamente, sea q cualquier elemento de Y, entonces q ∈ Y ⇒ q ∈ A’ ∪ B’
⇒ q ∈ A’ o q ∈ B’
⇒ q ∉ A y q ∉ B
⇒ q ∉ (A ∩ B)
⇒ q ∈ (A ∩ B)’
⇒ q ∈X
∴ Y ⊂ X ————–(ii)
De (i) y (ii) X = Y
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Prueba usando el diagrama de Venn
Diagrama de Venn para (A ∩ B)’
Diagrama de Venn para A' ∪ B'
De ambos diagramas, podemos decir claramente
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Esa es la Segunda Ley de De Morgan.
Ley de De Morgan en álgebra booleana
El álgebra booleana de la ley de De Morgan define la relación entre OR, AND y los complementos de variables, y se da tanto para el complemento de AND como para OR de dos valores. En Álgebra Booleana existen dos Leyes de De Morgan que son:
- Primera ley de De Morgan
- Second De Morgan’s Law
Entendamos estas leyes en detalle a continuación:
Primera ley de De Morgan en álgebra booleana
Primero, la ley de De Morgan establece que El complemento del OR de dos o más variables es igual al AND del complemento de cada variable.
Sean A y B dos variables, entonces matemáticamente la Primera Ley de De Morgan viene dada como:
(A+B)’=A’. B'
Dónde
- + representa el operador OR entre variables,
- . representa el operador AND entre variables, y
- ‘ representa la operación complementaria en la variable.
Primeras puertas lógicas de la ley de De Morgan
En el contexto de las puertas lógicas y el álgebra booleana, la ley de De Morgan establece que ambos circuitos de puertas lógicas, es decir, la puerta NO se agrega a la salida de la puerta O y la puerta NO se agrega a la entrada de la puerta Y, son equivalentes. Estos dos circuitos de puerta lógica se dan de la siguiente manera:
Primera tabla de verdad de la ley de De Morgan
La tabla de verdad de la primera ley de De Morgan se da de la siguiente manera:
| A | B | A+B | (A+B)’ | A' | B' | A'. B' |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 buscar en cadena c++ |
Segunda ley de De Morgan en álgebra booleana
La segunda ley de De Morgan establece que El complemento del AND de dos o más variables es igual al OR del complemento de cada variable.
Sean A y B dos variables, entonces matemáticamente la Segunda Ley de De Morgan viene dada como:
(A . B)’ = A’ + B’
Dónde
- + representa el operador OR entre variables,
- . representa el operador AND entre variables, y
- ‘ representa la operación complementaria en la variable.
Puertas lógicas de la segunda ley de De Morgan
En el contexto de las puertas lógicas y el álgebra booleana, la ley de De Morgan establece que ambos circuitos de puertas lógicas, es decir, la puerta NO se agrega a la salida de la puerta Y y la puerta NO se agrega a la entrada de la puerta O, son equivalentes. Estos dos circuitos de puerta lógica se dan de la siguiente manera:
Segunda tabla de verdad de la ley de De Morgan
La tabla de verdad de la segunda ley de De Morgan es la siguiente:
| A | B | A . B | (A.B)’ | A' | B' | A' + B' |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
De Morgan’s Law Logic
En la ley lógica de De Morgan, las siguientes preposiciones son tautología:
∼ (a ∧ b) ≡ ∼ a ∨ ∼ b
∼ (a ∨ b) ≡ ∼ a ∧ ∼ b
Dónde,
- ∧ representa la conjunción de enunciados,
- ∨ representa la disyunción de declaraciones,
- ~ representa la negación del enunciado, y
- ≡ representa la equivalencia de declaraciones.
De Morgan’s Law Formula
Recopilemos todas las fórmulas de la Ley de De Morgan, en la siguiente lista.
Para la teoría de conjuntos:
- (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
- (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Para álgebra booleana:
- (A+B)’=A’. B'
- (A . B)’ = A’ + B’
Para lógica:
- ∼ (a ∧ b) ≡ ∼ a ∨ ∼ b
- ∼ (a ∨ b) ≡ ∼ a ∧ ∼ b
Ejemplos resueltos sobre la ley de De Morgan
Problema 1: Dado que U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} y B = {2, 3, 9}. Demuestre la segunda ley de De Morgan.
Solución:
U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} y B = {2, 3, 9}
Para demostrar: (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
(A ∩ B) = {2}
(A ∩ B)’ = U – (A ∩ B) = {2, 3, 7, 8, 9} – {2}
(A ∩ B)’ = {3, 7, 8, 9}
A’ = U – A = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 7}
A' = {3, 8, 9}
B’ = U – B = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 3, 9}
B' = {7, 8}
A’ ∪ B’ = {3, 8, 9} ∪ {7, 8}
A' ∪ B' = {3, 7, 8, 9}
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Problema 2: Dado que U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} y B = {4, 6, 9}. Demuestre la primera ley de De Morgan.
Solución:
U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} y B = {4, 6, 9}
Para demostrar: (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
(A ∪ B) = {1, 4, 6, 9}
(A ∪ B)’ = U – (A ∪ B) = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 4, 6, 9}
(A ∪ B)' = {8}
A’ = U – A = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 9}
A' = {4, 6, 8}
B’ = U – B = {1, 4, 6, 8, 9} – {4, 6, 9}
B' = {1, 8}
A’ ∩ B’ = {4, 6, 8} ∩ {1, 8}
A’ ∩ B’ = {8}
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
Por lo tanto probado
Problema 3: Simplifique la expresión booleana: Y = [(A + B).C]’
Solución:
Y = [(A + B).C]’
Aplicando la ley de De Morgan (A . B)’ = A’ + B’
Y = (A + B)’ + C’
Aplicando la ley de De Morgan (A + B)’ = A’. B'
Y = A’. B’ + C’
Problema 4: Simplifique la expresión booleana: X = [(A + B)’ + C]’
Solución:
X = [(A + B)’ + C]’
Aplicando la ley de De Morgan (A + B)’ = A’. B'
X = [(A + B)’]’. C'
X = (A+B). C'
Consulte estas fuentes para obtener más información:
| Tema para la interconexión | Relacionado con |
|---|---|
| Álgebra de Boole | De Morgan’s Law Boolean Algebra |
| Teoría de conjuntos | La ley de De Morgan en la teoría de conjuntos |
| Puertas lógicas | De Morgan’s Law Logic |
| Matemáticas discretas | De Morgan’s Law Discrete Math |
| Ejemplos de programación Java | De Morgan’s Law Java |
Ejemplos de muestra de la ley de De Morgan
| Contexto | Ejemplo |
|---|---|
| Rompecabezas de lógica | Rompecabezas : Si no es cierto que llueve y hace frío, ¿qué podemos inferir? Aplicación de la ley de De Morgan : Podemos inferir que no llueve o no hace frío. Esto utiliza la Ley de De Morgan para simplificar la negación de una conjunción en una disyunción. |
| Programación | Guión : Comprobar si un número no es positivo ni siquiera en un lenguaje de programación. Fragmento de código (pseudocódigo) :if !(number>0 y número % 2 == 0)>se puede simplificar usando la ley de De Morgan paraif (number <= 0 or number % 2 != 0)>. Esto demuestra cómo la Ley de De Morgan ayuda a simplificar los enunciados condicionales. |
| Pruebas matemáticas | Declaración : Demuestre que el complemento de la intersección de dos conjuntos A y B es igual a la unión de sus complementos. Aplicación de la ley de De Morgan : Según la Ley de De Morgan, (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’. Esto muestra cómo se utiliza la Ley de De Morgan para simplificar expresiones en la teoría de conjuntos. |
De Morgan’s Law Practical Examples
Ejemplo 1: aderezos para pizza
Imagina que estás en una fiesta de pizza y te dicen que puedes elegir cualquier aderezo excepto champiñones y aceitunas juntas.
- Usando la ley de De Morgan : Esto significa que si no quieres champiñones y aceitunas (No (Champiñones y Aceitunas)), no puedes tener champiñones (Sin champiñones) o no tener aceitunas (Sin aceitunas) en tu pizza. Entonces, ¡podrías comer una pizza solo con champiñones, solo aceitunas o ninguna de las dos!
Ejemplo 2: libros de la biblioteca
Tu maestro dice que no puedes traer libros sobre magos o dragones al salón de clases.
- Usando la ley de De Morgan : Esto significa que si no se te permiten libros sobre magos o dragones (No (Magos o Dragones)), no puedes traer libros sobre magos (No Magos) y no puedes traer libros sobre dragones (No Dragones). Entonces, ¡los libros sobre el espacio o los animales todavía están bien!
Ejemplo 3: jugar afuera
Tu mamá dice que no puedes jugar afuera si llueve y hace frío al mismo tiempo.
- Usando la ley de De Morgan : Esto significa que si no vas a salir porque está lloviendo y hace frío (No (Llueve y Frío)), no saldrías si solo está lloviendo (No Llueve) o simplemente hace frío (No Frío). Pero si hace sol y calor, ¡estás listo!
Ejemplo 4: elegir una película
Tu amigo dice que no quiere ver una película que dé miedo o sea aburrida.
- Usando la ley de De Morgan : Esto significa que si tu amigo no quiere una película de miedo o aburrida (No (Aterradora o Aburrida)), no quiere una película de miedo (No de miedo) y no quiere una película aburrida (No aburrida) . Entonces, ¡una película divertida o emocionante sería perfecta!
Aplicaciones lógicas de la ley de De Morgan
| Área de aplicación | Descripción |
|---|---|
| Razonamiento logico | En acertijos o argumentos lógicos, la Ley de De Morgan ayuda a simplificar negaciones complejas. Por ejemplo, negar Todas las manzanas son rojas a No todas las manzanas son rojas implica Algunas manzanas no son rojas. |
| Ciencias de la Computación | La Ley de De Morgan es crucial para optimizar las declaraciones condicionales en la programación. Permite a los programadores simplificar condiciones lógicas complejas, haciendo que el código sea más eficiente y legible. |
| Diseño de circuitos electrónicos | En electrónica digital, la Ley de De Morgan se utiliza para diseñar y simplificar circuitos. Por ejemplo, ayuda a convertir puertas AND en puertas OR (y viceversa) utilizando puertas NOT, lo que facilita la creación de diseños de circuitos más eficientes. |
De Morgan’s Law – FAQs
Enuncie la primera ley de De Morgan en la teoría de conjuntos.
La primera ley de De Morgan en la teoría de conjuntos establece que el complemento de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección de sus complementos individuales.
Enuncie el enunciado de la segunda ley de De Morgan en álgebra booleana.
La segunda ley de De Morgan en álgebra de Boole establece que el complemento del AND de dos o más variables es igual al OR del complemento de cada variable.
Escribe la fórmula de la ley de De Morgan en la teoría de conjuntos.
La fórmula de la ley de De Morgan en la teoría de conjuntos:
(i) (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
(ii) (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Escribe la fórmula de la ley de De Morgan en álgebra de Boole.
La fórmula de la ley de De Morgan en álgebra booleana:
(i) (A + B)’ = A’. B'
(ii) (A . B)’ = A’ + B’
Escribe algunas aplicaciones de la ley de De Morgan.
Algunas de las aplicaciones de la ley de De Morgan son minimizar la expresión booleana compleja y simplificarla.
¿Cómo probar la ley de De Morgan?
La ley de De Morgan en la teoría de conjuntos se puede demostrar mediante diagramas de Venn y la ley de De Morgan en el álgebra de Boole se puede demostrar mediante tablas de verdad.