El álgebra es uno de los temas básicos de las matemáticas. Los polinomios son una parte esencial del álgebra. La fórmula de Vieta se utiliza en polinomios. Este artículo trata sobre la fórmula de Vieta que relaciona la suma y el producto de raíces con el coeficiente del polinomio. Esta fórmula se utiliza específicamente en álgebra.
La fórmula de Vieta
Las fórmulas de Vieta son aquellas fórmulas que proporcionan la relación entre la suma y el producto de raíces del polinomio con los coeficientes de los polinomios. La fórmula de Vieta describe los coeficientes del polinomio en forma de suma y producto de su raíz.
La fórmula de Vieta
La fórmula de Vieta trata de la suma y el producto de las raíces y el coeficiente del polinomio. Se utiliza cuando tenemos que encontrar el polinomio cuando se dan raíces o tenemos que encontrar la suma o producto de las raíces.
Fórmula de Vieta para la ecuación cuadrática
- Si f(x) = hacha 2 + bx + c es una ecuación cuadrática con raíces a y b entonces,
- Suma de raíces = α + β = -b/a
- Producto de raíces = αβ = c/a
- Si se dan la suma y el producto de las raíces, la ecuación cuadrática viene dada por:
- X 2 – (suma de raíces)x + (producto de raíces) = 0
Fórmula de Vieta para la ecuación cúbica
- Si f(x) = hacha 3 + bx 2 + cx +d es una ecuación cuadrática con raíces a, b y C entonces,
- Suma de raíces = α + β + γ = -b/a
- Suma del producto de dos raíces = αβ + αγ + βγ = c/a
- Producto de raíces = αβγ = -d/a
- Si se dan la suma y el producto de las raíces, la ecuación cúbica viene dada por:
- X 3 – (suma de raíces)x 2 + (suma del producto de dos raíces)x – (producto de raíces) = 0
Fórmula de Vieta para la ecuación generalizada
Si f(x) = a norte X norte + un n-1 X n-1 + un n-2 X n-2 + ……… + un 2 X 2 + un 1 x+a 0 es una ecuación cuadrática con raíces r 1 , r. 2 , r. 3 , …… r n-1 , r. norte entonces,
r 1 +r 2 +r 3 +…………. +r n-1 +r norte = -un n-1 /a norte
(r 1 r 2 +r 1 r 3 +…. +r 1 r norte ) + (r 2 r 3 +r 2 r 4 +……. +r 2 r norte ) + ……… + r n-1 r norte = un n-2 /a norte
:
:
r 1 r 2 …r norte = (-1) norte (a 0 /a norte )
Problemas de muestra
Problema 1: Si α, β son las raíces de la ecuación: x 2 – 10x + 5 = 0 , luego encuentre el valor de (α 2 +b 2 )/(a 2 b+ab 2 ).
Solución:
Dado Ecuación:
- X2– 10x + 5 = 0
Por la fórmula de Vita
a + b = -b/a = -(-10)/1 = 10
αβ = c/a = 5/1 = 5
Como un2+b2) = (a + b )2– 2ab
= (10)2– 2×5
= 100 – 10
(a2+b2) = 90
Ahora el valor de (α2+b2)/(a2b+ab2)
= (un2+b2)/(αβ(α + β))
= 90/(5×10)
= 90/50
= 1.8
Problema 2: Si α, β son las raíces de la ecuación: x 2 + 7x + 2 = 0 , luego encuentra el valor de 14÷(1/α + 1/ β).
Solución:
Dada la ecuación:
- X2+ 7x + 2 = 0
Por la fórmula de Vita
a + b = -b/a = -7/1 = -7
αβ = c/a = 2/1 = 2
Ahora, (1/α + 1/β) = (α + β)/αβ
(1/a + 1/b) = -7/2
Ahora valor de 14÷(1/α + 1/ β)
= 14 ÷ (-7/2)
= 14 × (-2/7)
= -4
Problema 3: Si α, β son las raíces de la ecuación: x 2 + 10x + 2 = 0 , luego encuentra el valor de (α/β + β/α).
Solución:
Dada la ecuación:
- X2+ 10x + 2 = 0
Por la fórmula de Vita
a + b = -b/a = 10/1 = 10
αβ = c/a = 2/1 = 2
Como un2+b2) = (a + b )2– 2ab
= 102– 2×2
= 100 – 4
= 96
Ahora valor de (a/b + b/a) = (a2+b2)/ab
= 96/2
= 48
Problema 4: Si α y β son las raíces de la ecuación y dado que α + β = -100 y αβ = -20, entonces encuentre la ecuación cuadrática.
Solución:
Dado,
- Suma de raíces = α + β = -100
- Producto de raíces = αβ = -20
La ecuación cuadrática viene dada por:
X2– (suma de raíces)x + (producto de raíces) = 0
X2– (-100)x + (-20) = 0
X 2 + 100x – 20 = 0
Problema 5: Si α, β y γ son las raíces de la ecuación y dado que α + β + γ= 10, αβ + αγ + βγ = -1 y αβ γ = -6 entonces encuentra la ecuación cúbica.
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Solución:
Dado,
- Suma de raíces = α + β + γ = 10,
- Suma del producto de dos raíces = αβ + αγ + βγ = -1
- Producto de raíces = promedio = -6
La ecuación cúbica viene dada por:
X3– (suma de raíces)x2+ (suma del producto de dos raíces)x – (producto de raíces) = 0
X3– 10x2+ (-1)x – (-6) = 0
X 3 – 10x 2 – x + 6 = 0
Problema 6: Si α, β y γ son las raíces de la ecuación x 3 + 1569x 2 – 3 = 0 luego encuentre el valor de [(1/α) + (1/β )] 3 + [(1/c) + (1/b )] 3 + [(1/c) + (1/a)] 3
Solución:
Dado,
- Suma de raíces = α + β + γ = -b/a = -1569/1 = -1569
- Suma del producto de dos raíces = αβ + αγ + βγ = c/a = 0/1 = 0
- Producto de raíces = αβγ = -d/a = -(-3)/1 = 3
Desde entonces (p.3+q3+r3– 3pqr) = (p + q + r)(p2+q2+r2– pq – qr – pr) ……(1)
Sea, p = (1/a) + (1/b), q = (1/c) + (1/b), r = (1/c) + (1/a)
p + q + r = 2[(1/α) + (1/β ) + (1/γ) ] = 2(αβ + αγ + βγ)/αβγ
= 2(0/3) = 0
De la ecuación (1):
(pag3+q3+r3– 3pqr) = 0
pag3+q3+r3= 3pqr
[(1/a) + (1/b )]3+ [(1/c) + (1/b )]3+ [(1/c) + (1/a)]3= 3[(1/a) + (1/b)][(1/c) + (1/b)][(1/c) + (1/a)]
= 3(-1/c)(-1/a) (-1/b )
= -3/promedio = -3/3
= -1
Problema 7: Si α y β son las raíces de la ecuación x 2 – 3x +2 =0 luego encuentre el valor de α 2 - b 2 .
Solución:
Dado,
- Suma de raíces = α + β = -b/a = -(-3)/1 = 3
- Producto de raíces = αβγ = c/a = 2/1 = 2
Como (a-b)2= (a+b)2-4ab
(a-b)2= (3)2– 4(2) = 9 – 8 = 1
(a-b) = 1
Desde,
a2- b2= (a – b)(a + b) = (1)(3) = 3
a 2 - b 2 = 3