Proyección vectorial es la sombra de un vector sobre otro vector. El vector de proyección se obtiene multiplicando el vector por el cos del ángulo entre los dos vectores. Un vector tiene magnitud y dirección. Se dice que dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y dirección. La proyección vectorial es esencial para resolver números en física y matemáticas.

En este artículo, aprenderemos qué es la proyección vectorial, el ejemplo de la fórmula de proyección vectorial, la fórmula de proyección vectorial, la derivación de la fórmula de proyección vectorial, el álgebra lineal de la fórmula de proyección vectorial, la fórmula de proyección vectorial 3d y algunos otros conceptos relacionados en detalle.

Tabla de contenidos

• ¿Qué es la proyección vectorial?
• Fórmula de proyección vectorial
• Derivación de la fórmula de proyección vectorial
• Ejemplos de fórmulas de proyección vectorial
• Aplicaciones prácticas y significado de la proyección vectorial
• Ejemplos de proyección vectorial de resolución de problemas del mundo real

¿Qué es la proyección vectorial?

La proyección de vectores es un método para rotar un vector y colocarlo en un segundo vector. Por tanto, un vector se obtiene cuando un vector se descompone en dos componentes, paralelo y perpendicular. El vector paralelo se llama Vector de Proyección. Así, la Proyección Vectorial es la longitud de la sombra de un vector sobre otro vector.

La proyección vectorial de un vector se obtiene multiplicando el vector por el Cos del ángulo entre los dos vectores. Digamos que tenemos dos vectores 'a' y 'b' y tenemos que encontrar la proyección del vector a sobre el vector b, luego multiplicaremos el vector 'a' por cosθ donde θ es el ángulo entre el vector a y el vector b.

Fórmula de proyección vectorial

Sivec Ase representa como A yvec Bse representa como B, la proyección vectorial de A sobre B se da como el producto de A con Cos θ donde θ es el ángulo entre A y B. La otra fórmula para la proyección vectorial de A sobre B se da como el producto de A y B dividido por la magnitud de B. El Vector de Proyección obtenido así es un múltiplo escalar de A y tiene una dirección en la dirección de B.

Derivación de la fórmula de proyección vectorial

La derivación de la fórmula de proyección vectorial se analiza a continuación:

Supongamos que OP =vec Ay OQ =vec By el ángulo entre OP y OQ es θ. PN dibujado perpendicular a OQ.

En el triángulo rectángulo OPN, Cos θ = ON/OP

⇒ ON = ON Cos θ

⇒ ENCENDIDO = |vec A| Porque θ

ON es el vector de proyección devec Aenvec B

vec A.vec B = |vec A||vec B|cos heta

⇒vec A.vec B = |vec B(|vec A||cos heta)

⇒vec A.vec B = |vec B|ON

comando en el nodo js

⇒ ENCENDIDO =frac{vec A.vec B}

Por lo tanto, ON =|vec A|.hat B

Así, la proyección vectorial devec Aenvec Bse da comofrac{vec A.vec B}

la proyección vectorial devec Benvec Ase da comofrac{vec A.vec B}

Verifique también: Tipos de vectores

Términos importantes de proyección vectorial

Para encontrar la proyección vectorial necesitamos aprender a encontrar el ángulo entre dos vectores y también a calcular el producto escalar entre dos vectores.

Ángulo entre dos vectores

El ángulo entre los dos vectores se obtiene como el inverso del coseno del producto escalar de dos vectores dividido por el producto de la magnitud de dos vectores.

Digamos que tenemos dos vectores.vec Ayvec Bel ángulo entre ellos es θ

⇒ porque θ =frac{vec A.vec B}.

⇒ θ = porque^-1frac{vec A.vec B}.

Producto escalar de dos vectores

Digamos que tenemos dos vectores.vec Ayvec Bdefinido comovec A = a_1hat i + a_2hat j + a_3hat kyvec B = b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k entonces el producto escalar entre ellos se da como

vec A.vec B = (a_1hat i + a_2hat j + a_3hat k)(b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k)

⇒vec A.vec B= un₁b₁+ un₂b₂+a₃b₃

Artículo relacionado:

• Suma de vectores
• Vector unitario
• Álgebra vectorial
• Álgebra lineal

Ejemplos de fórmulas de proyección vectorial

Ejemplo 1. Encuentra la proyección del vector. 4hat i + 2hat j + hat k en 5hat i -3hat j + 3hat k .

lógica de primer orden

Solución:

Aquí,vec{a}=4hat i + 2hat j + hat k \vec{b}=5hat i -3hat j + 3hat k .

Sabemos, proyección del Vector a sobre el Vector b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(4.(5) + 2(-3) + 1.(3))}{|sqrt{5^2 + (-3)^2 + 3^2}|}=dfrac{17}{sqrt{43}}

Ejemplo 2. Encuentra la proyección del vector. 5hat i + 4hat j + hat k en 3hat i + 5hat j – 2hat k

Solución:

Aquí,vec{a}=5hat i + 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i + 5hat j – 2hat k.

Sabemos, proyección del Vector a sobre el Vector b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + 4(5) + 1.(-2))}{|sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}|}=dfrac{33}{sqrt{38}}

Ejemplo 3. Encuentra la proyección del vector. 5hat i – 4hat j + hat k en 3hat i – 2hat j + 4hat k

Solución:

Aquí,vec{a}=5hat i – 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i – 2hat j + 4hat k.

Sabemos, proyección del Vector a sobre el Vector b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + ((-4).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{3^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{49}{sqrt{29}}

Ejemplo 4. Encuentra la proyección del vector. 2hat i – 6hat j + hat k en 8hat i – 2hat j + 4hat k .

Solución:

Aquí,vec{a}=2hat i – 6hat j + hat k \vec{b}=8hat i – 2hat j + 4hat k

Sabemos, proyección del Vector a sobre el Vector b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(2.(8) + ((-6).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{8^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{32}{sqrt{84}}

Ejemplo 5. Encuentra la proyección del vector. 2hat i – hat j + 5hat k en 4hat i – hat j + hat k .

árboles avl

Solución:

Aquí,vec{a}=2hat i – hat j + 5hat k \vec{b}=4hat i – hat j + hat k.

Sabemos, proyección del Vector a sobre el Vector b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(2.(4) + ((-1).(-1)) + 5.(1))}{|sqrt{4^2 + (-1)^2 + (1)^2}|}=dfrac{14}{sqrt{18}}

Controlar: Operaciones vectoriales

Aplicaciones prácticas y significado de la proyección vectorial

Física

• Descomposición de fuerza : En física, la fórmula de proyección vectorial es crucial para descomponer fuerzas en componentes paralelos y perpendiculares a las superficies. Por ejemplo, comprender la fuerza ejercida por una cuerda en un juego de tira y afloja requiere proyectar el vector de fuerza en la dirección de la cuerda.

• Cálculo de trabajo : El trabajo realizado por una fuerza durante el desplazamiento se calcula mediante proyección vectorial. El trabajo es el producto escalar del vector fuerza y ​​el vector desplazamiento, esencialmente proyectando un vector sobre otro para encontrar la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento.

Ingeniería

• Análisis estructural : Los ingenieros utilizan la proyección vectorial para analizar tensiones en los componentes. Al proyectar vectores de fuerza sobre ejes estructurales, pueden determinar los componentes de la tensión en diferentes direcciones, lo que ayuda al diseño de estructuras más seguras y eficientes.

• Dinámica de fluidos : En dinámica de fluidos, la proyección vectorial ayuda a analizar el flujo de fluidos alrededor de los objetos. Al proyectar vectores de velocidad de fluidos sobre superficies, los ingenieros pueden estudiar patrones de flujo y fuerzas, cruciales para el diseño aerodinámico y la ingeniería hidráulica.

Gráficos de computadora

• Técnicas de renderizado : La proyección vectorial es fundamental en los gráficos por computadora para representar sombras y reflejos. Al proyectar vectores de luz sobre superficies, el software de gráficos calcula los ángulos y las intensidades de las sombras y los reflejos, mejorando el realismo en los modelos 3D.

• Animación y desarrollo de juegos. : En animación, la proyección vectorial se utiliza para simular movimientos e interacciones. Por ejemplo, determinar cómo se mueve un personaje sobre un terreno irregular implica proyectar vectores de movimiento sobre la superficie del terreno, lo que permite animaciones realistas.

Controlar: Vectores básicos en álgebra lineal

Ejemplos de proyección vectorial de resolución de problemas del mundo real

Ejemplo 1: Navegación GPS

• Contexto : En los sistemas de navegación GPS, la proyección vectorial se utiliza para calcular el camino más corto entre dos puntos de la superficie terrestre.
• Solicitud : Al proyectar el vector de desplazamiento entre dos ubicaciones geográficas sobre el vector de la superficie terrestre, los algoritmos GPS pueden calcular con precisión distancias y direcciones, optimizando las rutas de viaje.

Ejemplo 2: análisis deportivo

• Contexto : En el análisis deportivo, particularmente en fútbol o baloncesto, la proyección vectorial ayuda a analizar los movimientos de los jugadores y las trayectorias de la pelota.
• Solicitud : Al proyectar los vectores de movimiento de los jugadores en el campo o la cancha de juego, los analistas pueden estudiar patrones, velocidades y eficiencia de los movimientos, contribuyendo a la planificación estratégica y la mejora del rendimiento.

Ejemplo 3: Ingeniería de energías renovables

• Contexto : En el diseño de turbinas eólicas, comprender los componentes de la fuerza del viento es esencial para optimizar la producción de energía.
• Solicitud : Los ingenieros proyectan vectores de velocidad del viento en el plano de las palas de la turbina. Este análisis ayuda a determinar el ángulo y la orientación óptimos de las palas para maximizar la captura de energía eólica.

Ejemplo 4: Realidad Aumentada (AR)

• Contexto : En aplicaciones de realidad aumentada, la proyección vectorial se utiliza para colocar con precisión objetos virtuales en espacios del mundo real.
• Solicitud : Al proyectar vectores de objetos virtuales en planos del mundo real capturados por dispositivos AR, los desarrolladores pueden garantizar que los objetos virtuales interactúen de manera realista con el entorno, mejorando la experiencia del usuario.

Controlar: Componentes del vector

np.clip

Preguntas frecuentes sobre proyección vectorial

Definir vector de proyección.

Vector de proyección es la sombra de un vector sobre otro vector.

¿Qué es la fórmula de proyección vectorial?

La fórmula para la proyección de un vector se da comofrac{vec A.vec B}

¿Cómo encontrar el vector de proyección?

El vector de proyección se encuentra calculando el producto escalar de los dos vectores dividido por el sobre el que se proyecta la sombra.

¿Cuáles son los conceptos necesarios para calcular el vector de proyección?

Necesitamos conocer el ángulo entre dos vectores y el producto escalar de dos vectores para calcular la proyección vectorial.

¿Dónde se utiliza el vector de proyección?

Projection Vector se utiliza para resolver diversas físicas numéricas que requieren que la cantidad vectorial se divida en sus componentes.

¿Cuál es la importancia de la proyección vectorial en física?

En física, la proyección vectorial es crucial para descomponer fuerzas, calcular el trabajo realizado por una fuerza en una dirección específica y analizar el movimiento. Ayuda a comprender cómo los diferentes componentes de un vector contribuyen a los efectos en diversas direcciones.

¿Puede la proyección vectorial ser negativa?

Sí, la componente escalar de una proyección vectorial puede ser negativa si el ángulo entre los dos vectores es mayor a 90 grados, lo que indica que la proyección va en la dirección opuesta al vector base.

¿Cómo se utiliza la proyección vectorial en ingeniería?

Los ingenieros utilizan la proyección vectorial para analizar tensiones estructurales, optimizar diseños descomponiendo fuerzas en componentes manejables y en dinámica de fluidos para estudiar patrones de flujo contra superficies.

¿Cuál es la diferencia entre proyección escalar y vectorial?

La proyección escalar da la magnitud de un vector en la dirección de otro y puede ser positiva o negativa. La proyección vectorial, por otro lado, no sólo considera la magnitud sino que también da la dirección de la proyección como un vector.

¿Cuáles son las aplicaciones del mundo real de la proyección vectorial?

La proyección vectorial tiene aplicaciones en navegación GPS, análisis deportivo, gráficos por computadora para representar sombras y reflejos, y en realidad aumentada para colocar objetos virtuales en espacios del mundo real.