La trigonometría es una rama importante de las matemáticas que se ocupa de la relación entre los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Las seis razones o funciones trigonométricas son seno, coseno, tangente, cosecante y secante, y una razón trigonométrica es una razón entre los lados de un triángulo rectángulo. Las funciones seno, coseno y tangente son tres funciones trigonométricas importantes, ya que las otras tres, es decir, las funciones cosecante, secante y cotangente, son funciones recíprocas de las funciones seno, coseno y tangente, respectivamente.

• sin θ = lado opuesto/hipotenusa
• cos θ = Lado adyacente/Hipotenusa
• tan θ = Lado opuesto/Lado adyacente
• cosec θ = hipotenusa/lado opuesto
• sec θ = hipotenusa/lado adyacente
• cuna θ = Lado adyacente/Lado opuesto

La función tangente es una de las 6 funciones trigonométricas utilizadas en fórmulas de trigonometría .

Tabla de contenidos

• Fórmula tangente
• Algunas fórmulas tangentes básicas
• Función tangente en términos de función seno
• Función tangente en términos de función coseno
• Función tangente en términos de función cotangente
• Función tangente en términos de función cosecante
• Función tangente en términos de función secante

Fórmula tangente

La tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo es la relación entre la longitud del lado opuesto y la longitud del lado adyacente al ángulo dado. Escribimos una función tangente como tan. Consideremos un triángulo rectángulo XYZ y uno de sus ángulos agudos es θ. Un lado opuesto es el lado opuesto al ángulo θ y el lado adyacente es el lado adyacente al ángulo θ.

Ahora, la fórmula de la tangente para el ángulo θ dado es,

tan θ = Lado opuesto/Lado adyacente

Algunas fórmulas tangentes básicas

Función tangente en cuadrantes

La función tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante y negativa en el segundo y cuarto cuadrante.

• tan (2π + θ) = tan θ (1^callecuadrante)
• tan (π – θ) = – tan θ (2^{Dakota del Norte}cuadrante)
• tan (π + θ) = tan θ (3^tercerocuadrante)
• tan (2π – θ) = – tan θ (4^thcuadrante)

Función tangente como función negativa

La función tangente es una función negativa ya que la tangente de un ángulo negativo es la negativa de un ángulo tangente positivo.

tan (-θ) = – tan θ

Función tangente en términos de función seno y coseno

La función tangente en términos de funciones seno y coseno se puede escribir como,

tan θ = sen θ/cos θ

Sabemos que tan θ = Lado opuesto/Lado adyacente

Ahora, divide tanto el numerador como el denominador por la hipotenusa.

tan θ = (Lado opuesto/Hipotenusa)/(Lado adyacente/Hipotenusa)

Sabemos que sen θ = lado opuesto/hipotenusa

cos θ = lado adyacente/hipotenusa

Por lo tanto, tan θ = sin θ/cos θ

Función tangente en términos de función seno

La función tangente en términos de la función seno se puede escribir como,

tan θ = sin θ/(√1 – sin ² i)

Lo sabemos,

tan θ = sen θ/cos θ

entidad relacional

De las identidades pitagóricas, tenemos,

sin²θ + porque²θ = 1

porque²θ = 1 – pecado²i

cos θ = √(1 – sin²i)

Por lo tanto, tan θ = sin θ/(√1 – sin²i)

Función tangente en términos de función coseno

La función tangente en términos de la función coseno se puede escribir como,

tan θ = (√1 -cos ² i)/porque yo

Lo sabemos,

tan θ = sen θ/cos θ

De las identidades pitagóricas, tenemos,

sin²θ + porque²θ = 1

sin²θ = 1 – porque²i

sin θ = √(1 – cos²i)

Hence, tan θ = (√1 – cos²i)/porque yo

Función tangente en términos de función cotangente

La función tangente en términos de la función cotangente se puede escribir como,

tan θ = 1/cuna θ

o

tan θ = cot (90° – θ) (o) cot (π/2 – θ)

Función tangente en términos de función cosecante

La función tangente en términos de la función cosecante se puede escribir como,

tan θ = 1/√(cosec ² yo – 1)

De las identidades pitagóricas, tenemos,

cosec²θ – cuna²θ = 1

cuna²θ = cosec²yo – 1

cuna θ = √(cosec²yo – 1)

Lo sabemos,

tan θ = 1/cuna θ

Por tanto, tan θ = 1/√(cosec²yo – 1)

Función tangente en términos de función secante

La función tangente en términos de la función secante se puede escribir como,

tan θ = √sec ² yo – 1

De las identidades pitagóricas, tenemos,

segundo²θ – tan²θ = 1

tan θ = segundo²yo – 1

Por lo tanto, tan θ = √(seg²yo – 1)

Función tangente en términos de doble ángulo

La función tangente para un ángulo doble es,

tan 2θ = (2 tan θ)/(1 – tan ² i)

Función tangente en términos de ángulo triple

La función tangente para un ángulo triple es,

tan 3θ = (3 tan θ – tan ³ θ) / (1 – 3 tan ² i)

Función tangente en términos de medio ángulo

La función tangente para un medio ángulo es,

tan (θ/2) = ± √[ (1 – cos θ) / (1 + cos θ) ]

tan (θ/2) = (1 – cos θ) / (sen θ)

Función tangente en términos de suma y resta de dos ángulos

Las fórmulas de suma y diferencia para una función tangente son,

tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)

tan (A – B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

Tabla de razones trigonométricas

Ejemplo resuelto de fórmulas tangentes

Ejemplo 1: Encuentre el valor de tan θ si sen θ = 2/5 y θ es el ángulo del primer cuadrante.

Solución:

Dado,

autómatas finitos no deterministas

• pecado θ = 2/5

De las identidades pitagóricas tenemos,

sin²θ + porque²θ = 1

porque²θ = 1 – pecado²θ = 1 – (2/5)²

porque²θ = 1 – (4/5) = 21/25

porque θ = ±√21/5

Dado que θ es el ángulo del primer cuadrante, cos θ es positivo.

porque θ = √21/5

Lo sabemos,

tan θ = sen θ/cos θ

= (2/5)/(√21/5) = 2/√21

tan θ = 2√21 /21

Entonces, el valor de tan θ cuando sin θ = 2/5 y θ está en el primer cuadrante es (2√21) /(21)

Ejemplo 2: Encuentre el valor de tan x si sec x = 13/12 y x es el ángulo del cuarto cuadrante.

Solución:

Dado, seg x = 13/12

De las identidades pitagóricas, tenemos,

segundo²x – tan²x = 1

tan²x = segundos²x-1= (13/12)²– 1

tan²x = (169/144) – 1 = 25/144

tan x = ± 5/12

Dado que x es el ángulo del cuarto cuadrante, tan x es negativo.

tan x = – 5/12

Por eso, tan x = – 5/12

Ejemplo 3: Si tan X = 2/3 y tan Y = 1/2, ¿cuál es el valor de tan (X + Y)?

Solución:

Dado,

tan X = 2/3 and tan Y = 1/2

Lo sabemos,

tan (X + Y) = (tan X + tan Y)/(1 – tan X tan Y)

tan (X + Y) = [(2/3) + (1/2)]/[1 – (2/3)×(1/2)]

= (7/6)/(2/3) = 7/4

Por eso, tan (X + Y) = 7/4

Ejemplo 4: Calcule la función tangente si los lados adyacentes y opuestos de un triángulo rectángulo miden 4 cm y 7 cm, respectivamente.

Solución:

Dado,

Lado adyacente = 4 cm

Lado opuesto = 7 cm

Lo sabemos,

tan θ = Lado opuesto/Lado adyacente

tan θ = 7/4 = 1.75

Por eso, tan θ = 1.75

Ejemplo 5: Un hombre mira la torre de un reloj en un ángulo de 60° con respecto a la parte superior de la torre, cuya altura es de 100 m. ¿Cuál es la distancia entre el hombre y el pie de la torre?

Solución:

Dado,

Altura de la torre = 100 m y θ = 60°

Sea la distancia entre el hombre y el pie de la torre = d

Tenemos,

tan θ = Lado opuesto/Lado adyacente

tan 60° = 100/d

√3 = 100/d [Since, tan 60° = √3]

re = 100/√3

Por tanto, la distancia entre el hombre y el pie de la torre es 100/√3

Ejemplo 6: Encuentre el valor de tan θ si sin θ = 7/25 y sec θ = 25/24.

Solución:

Dado,

pecado θ = 7/25

segundo θ = 25/24

Lo sabemos,

seg θ = 1/cos θ

25/24 = 1/cos θ cos θ = 24/25

Tenemos,

tan θ = sen θ/cos θ

= (7/25)/(24/25)

= 7/24

Por eso, tan θ = 7/24

Ejemplo 7: Encuentre el valor de tan θ si cosec θ = 5/3 y θ es el ángulo del primer cuadrante.

Solución:

Dado, cosec θ = 5/3

De las identidades pitagóricas, tenemos,

10 ml a onzas

cosec²θ – cuna²θ = 1

cuna²θ = cosec²yo – 1

cuna θ = (5/3)²– 1 = (25/9) – 1 = 16/9

cuna θ = ±√16/9 = ± 4/3

Dado que θ es el ángulo del primer cuadrante, tanto la función cotangente como la tangente son positivas.

cuna θ = 4/3

Lo sabemos,

cuna θ = 1/tan θ

4/3 = 1/tan θ

tan θ = 3/4

Por eso, tan θ = 3/4

Ejemplo 8: Encuentre tan 3θ si sen θ = 3/7 y θ es el ángulo del primer cuadrante.

Solución :

Dado, sen θ = 12/13

De las identidades pitagóricas tenemos,

sin²θ + porque²θ = 1

porque²θ = 1 – pecado²θ = 1 – (12/13)²

cos2 θ = 1 – (144/169) = 25/169

porque θ = ±√25/169 = ±5/13

Dado que θ es el ángulo del primer cuadrante, cos θ es positivo.

porque θ = 5/13

Lo sabemos,

tan θ = sen θ/cos θ

= (12/25)/(5/13) = 12/5

Por tanto, tan θ = 12/5

Ahora sabemos que

tan 3θ = (3 tan θ – tan3θ) / (1 – 3 tan2θ)

tan 3θ = 3 × (12/5)