En este artículo, vamos a discutir la diferencia simétrica entre dos conjuntos. Aquí también discutiremos las propiedades de la diferencia simétrica entre dos conjuntos.
Espero que este artículo te resulte útil para comprender la diferencia simétrica entre dos conjuntos.
¿Qué es una diferencia simétrica?
Otra variante de diferencia es la diferencia simétrica. Supongamos que hay dos conjuntos, A y B. La diferencia simétrica entre ambos conjuntos A y B es el conjunto que contiene los elementos que están presentes en ambos conjuntos excepto los elementos comunes.
La diferencia simétrica entre dos conjuntos también se llama unión disyuntiva . La diferencia simétrica entre dos conjuntos es un conjunto de elementos que están en ambos conjuntos pero no en su intersección. La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B está representada por ADB o A ? B .
Podemos entenderlo a través de ejemplos.
Ejemplo 1 Supongamos que hay dos conjuntos con algunos elementos.
Conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}
Conjunto B = {3, 5}
Entonces, la diferencia simétrica entre los conjuntos dados A y B es {1, 2, 4}
O podemos decir que A Δ B = {1, 2, 4} .
Ejemplo2 Supongamos que hay dos conjuntos con algunos elementos.
Conjunto A = {a, b, c, k, m, n}
Conjunto B = {c, n}
Entonces, la diferencia simétrica entre los conjuntos dados A y B es {a, b, k, m}
O podemos decir que A Δ B = {a, b, k, m} .
En el siguiente diagrama de Venn, puede ver la diferencia simétrica entre los dos conjuntos.
La parte sombreada con el color de la piel en el diagrama de Venn anterior es la diferencia simétrica entre los conjuntos dados, es decir, ADB .
Veamos algunas de las propiedades de la diferencia simétrica entre dos conjuntos.
Propiedades
Algunas de las propiedades de la diferencia simétrica se enumeran a continuación;
- La diferencia simétrica se puede representar como la unión de ambos complementos relativos, es decir,
A Δ B = (A / B) ∪ (B / A) - La diferencia simétrica entre dos conjuntos también se puede expresar como la unión de dos conjuntos menos la intersección entre ellos:
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) - La diferencia simétrica es tanto conmutativa como asociativa.
A Δ B = B Δ A
(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C) - El conjunto vacío es neutral (en matemáticas, se dice que un elemento neutral es un tipo especial de elemento que, cuando se combina con cualquier elemento del conjunto para realizar una operación binaria, deja el elemento sin cambios. También se conoce como Elemento de identidad ).
Un Δ ∅ = Un
Un Δ Un = ∅ - Si el conjunto A es igual al conjunto B, entonces la diferencia simétrica entre ambos conjuntos es:
A Δ B = ∅ {cuando A = B}
'Diferencia simétrica entre dos conjuntos' v/s 'Diferencia entre dos conjuntos'
Diferencia entre dos conjuntos
La diferencia entre dos conjuntos A y B es un conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B y se denota por A-B .
Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3, 4}
y B = {3, 4, 5, 6}
entonces A - B = {3, 4} y B - A = {5, 6}
Diferencia simétrica entre dos conjuntos.
La diferencia simétrica entre dos conjuntos, A y B, es el conjunto que contiene todos los elementos que están en A o B pero no en ambos. Esta representado por ADB o A ? B .
Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3, 4}
y B = {3, 4, 5, 6}
entonces A Δ B = {1, 2, 5, 6}
Ahora, veamos algunos ejemplos para entender más claramente la diferencia simétrica entre dos conjuntos.
Pregunta 1 - Supongamos que tienes los conjuntos A = {10, 15, 17, 19, 20} y B = {15, 16, 18}. Descubra la diferencia entre ambos conjuntos A y B y descubra también la diferencia simétrica entre ellos.
Solución - Dado,
base de datos
A = {10, 15, 17, 19, 20}
y B = {15, 16, 18}
La diferencia entre ambos conjuntos es:
A - B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
La diferencia simétrica entre ambos conjuntos es:
A Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 16, 17, 18, 19, 20}
Pregunta 2 - Supongamos que tienes los conjuntos A = {2, 4, 6, 8} y B = {2, 5, 7, 8}. Descubra la diferencia simétrica B Δ A. Además, dibuje el diagrama de Venn para representar la diferencia simétrica entre ambos conjuntos dados.
Solución - Dado, A = {2, 4, 6, 8} y B = {2, 5, 7, 8}
Sabemos que B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
Intentemos resolver la pregunta paso a paso. Entonces, el primer paso es encontrar la unión del conjunto A y el conjunto B.
Por tanto, (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}
Después de eso, tenemos que calcular la intersección entre ambos conjuntos.
(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
Ahora, tenemos que encontrar la diferencia entre la unión e intersección de los conjuntos A y B, como indica la fórmula,
Entonces, (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}
= {4, 5, 6, 7}
Por tanto, B Δ A = {4, 5, 6, 7}
La cual será igual a A Δ B, como se indicó anteriormente, 'La diferencia simétrica es conmutativa'. Ahora, mostraremos la diferencia simétrica entre ambos conjuntos mediante el diagrama de Venn.
En el diagrama de Venn, primero dibujaremos dos círculos que representen los conjuntos A y B. Como se calculó anteriormente, la intersección entre ambos conjuntos es {2, 8}, por lo que enumeramos estos elementos en la región de intersección. Luego, enumeramos los elementos restantes en sus respectivos círculos de conjuntos, es decir, {4, 6} en el conjunto A y {5, 7} en el conjunto B. Después de organizar los elementos, el diagrama de Venn será:
Cuando miramos el diagrama de Venn anterior, hay un conjunto universal U. Ambos conjuntos A y B son el subconjunto del conjunto universal U. Los elementos {2, 8} son los elementos que se cruzan, por lo que están representados en la región de intersección. La región de color naranja claro es la unión de conjuntos excepto la región de intersección. Esta región es la diferencia simétrica entre los conjuntos A y B, y se representará como:
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}
Pregunta 3 - Supongamos que tienes los conjuntos A = {5, 6, 8, 9, 10} y B = {2, 4, 7, 10, 19}.
Demuestre que la diferencia simétrica es conmutativa utilizando los conjuntos dados.
Solución - Dado, A = {5, 6, 8, 9, 10} y B = {2, 7, 8, 9, 10}
Probar: A Δ B = B Δ A
Tome LHS,
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Entonces, A Δ B = {2, 5, 6, 7}
Ahora, toma RHS
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Entonces, B Δ A = {2, 5, 6, 7}
Por lo tanto, A Δ B = B Δ A
Por tanto, la diferencia simétrica es conmutativa.