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Forma escalonada de filas

Una matriz está en forma escalonada por filas si tiene las siguientes propiedades:

  • Cualquier fila que consta enteramente de ceros se encuentra en la parte inferior de la matriz.
  • Para cada fila que no contiene completamente ceros, la primera entrada distinta de cero es 1 (llamada 1 inicial).
  • Para dos filas sucesivas (distintas de cero), el 1 principal de la fila superior está más a la izquierda que el primero de la fila inferior.

Para la forma escalonada de filas reducida, el 1 inicial de cada fila contiene 0 debajo y encima de esa columna.



A continuación se muestra un ejemplo de forma escalonada por filas:

egin{bmatrix} 1 y 2 y -1 y 4 0 y 1 y 0 y 3 0 y 0 y 1 y 2 end{bmatrix}

y forma escalonada reducida:



egin{bmatrix} 0 y 1 y 0 y 5 0 y 0 y 1 y 3 0 y 0 y 0 y 0 end{bmatrix}

Cualquier matriz se puede transformar a una forma escalonada por filas reducida, utilizando una técnica llamada eliminación gaussiana. Esto es particularmente útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Eliminación gaussiana

La eliminación gaussiana es una forma de convertir una matriz a la forma escalonada reducida por filas. También se puede utilizar como una forma de encontrar una solución a un sistema de ecuaciones lineales. La idea detrás de esto es que realizamos algunas operaciones matemáticas en la fila y continuamos hasta que solo quede una variable.



A continuación se muestran algunas operaciones que podemos realizar:

  • Intercambiar dos filas cualesquiera
  • Suma dos filas juntas.
  • Multiplica una fila por una constante distinta de cero (es decir, 1/3, -1/5, 2).

Dada la siguiente ecuación lineal:

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x - 2y + z = -1 2x + y - 3z = 8 4x - 7y + z = -2

y la matriz aumentada de arriba

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 2 & 1 & 3 & : & 8 4 & -7 & 1 & : & -2 end{bmatrix}

Ahora, necesitamos convertir esto a la forma escalonada por filas. Para convertir esto en forma escalonada por filas, necesitamos realizar la eliminación gaussiana.

  • Primero, necesitamos restar 2*r1desde la r2y 4*r1desde la r3para obtener el 0 en el primer lugar de r2y r3.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 5 & -5 & : & 10 0 & 1 & -3 & : & 2 end{bmatrix}

  • A continuación, intercambiaremos las filas, r2 y r3 y luego restaremos 5*r2de r3para obtener el segundo 0 en la tercera fila.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 1 & -3 & : & 2 0 & 0 & 10 & : & 0 end{bmatrix}

  • Ahora podemos deducir el valor Con de r3,es decir, 10 z =0 ⇾ z=0. Con la ayuda del valor de z =0, podemos ponerlo en r2, y = 2. De manera similar, podemos poner el valor de y y z en r.1y obtenemos un valor de x=3

Rango de matriz

El rango de la matriz es el número de filas distintas de cero en la forma escalonada de filas. Para encontrar el rango, debemos realizar los siguientes pasos:

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  • Encuentre la forma escalonada por filas de la matriz dada
  • Cuente el número de filas distintas de cero.

Tomemos una matriz de ejemplo:

egin{bmatrix} 4 y 0 y 1 2 y 0 y 2 3 y 0 y 3 end{bmatrix}

Ahora, reducimos la matriz anterior a la forma escalonada por filas.

egin{bmatrix} 1 y 0 y frac{1}{4} 0 y 0 y 1 0 y 0 y 0 end{bmatrix}

Aquí, solo dos filas contienen elementos distintos de cero. Por tanto, el rango de la matriz es 2.

Implementación

  • Para convertir una matriz en forma escalonada reducida, utilizamos el paquete Sympy en Python, primero debemos instalarlo.

python3

# install sympy> ! pip install sympy> # import sympy> import> sympy> # find the reduced row echelon form> sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rref()> # find the rank of matrix> print>('Rank of matrix :',sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rank())> 
>
>

Producción: 

(Matrix([  [1, 0, 0],  [0, 0, 1],  [0, 0, 0]]), (0, 2))    Rank of matrix : 2>