Fórmula recursiva: recursividad puede definirse mediante dos propiedades. Un caso base y un paso de recursividad. El caso base es un escenario final que no utiliza la recursividad para producir resultados. El paso de recursividad consta de un conjunto de reglas que reducen los casos sucesivos para reenviar el caso base.

Una recursividad o fórmula recursiva es una fórmula que se utiliza para indicarnos el siguiente paso en cualquier serie de recursividad. En una serie recursiva, cada término siguiente depende del uno o dos términos anteriores. En este artículo, aprenderemos sobre fórmulas recursivas o fórmulas de recursividad, ejemplos y otros en detalle.

Tabla de contenidos

• ¿Qué es una función recursiva?
• Fórmula recursiva
• Fórmulas recursivas para secuencias
• Fórmula recursiva para la progresión aritmética
• Fórmula recursiva para la progresión geométrica
• Fórmula recursiva para la serie de Fibonacci
• Secuencia y fórmulas útiles
• Ejemplos que utilizan fórmula recursiva
• Pregunta de práctica sobre fórmula recursiva

¿Qué es una función recursiva?

Una función recursiva es una función que define cada término de una secuencia utilizando el término anterior, es decir, el siguiente término depende de uno o más términos anteriores conocidos. La función recursiva h(x) se escribe como,

h(x) = a ₀ h(0) + un ₁ h(1) + un ₂ h(2) + … + a _{x – 1} h(x – 1)

donde un_i≥ 0 y i = 0, 1, 2, 3, … ,(x – 1)

Las fórmulas de recursividad son las fórmulas que se utilizan para escribir las funciones recursivas o series recursivas.

Significado de la función recursiva

En matemáticas, una función recursiva se refiere a una función que define cada término de una secuencia utilizando el término o términos anteriores. En términos más simples, es una forma de definir una secuencia en la que cada paso depende del anterior.

Leer en detalle: Funciones recursivas

Fórmula recursiva

La fórmula recursiva es una fórmula que define cada término de una secuencia utilizando los términos anteriores. Define los siguientes parámetros

• Primer término de secuencia
• Regla de patrón para obtener cualquier término a partir de sus términos anteriores

Existen pocas fórmulas recursivas para encontrar el n.^thtérmino basado en el patrón de los datos dados. Ellos son,

• norte^thtérmino de progresión aritmética a_norte= un_{norte – 1}+ d para norte ≥ 2
• norte^thtérmino de progresión geométrica a_norte= un_{norte – 1}× r para n ≥ 2
• norte^thtérmino en la secuencia de Fibonacci a_norte= un_{norte – 1}+ un_{norte – 2}para n ≥ 2 y a₀= 0 y un₁= 1

dónde

• d es una diferencia común
• r es la proporción común

Fórmulas recursivas para secuencias

Las secuencias recursivas son aquellas en las que el siguiente término de la secuencia depende del término anterior. Una de las secuencias recursivas más importantes es la secuencia de Fibonnaci, que se representa a continuación como,

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

Las fórmulas recursivas o las fórmulas de recursividad para diferentes tipos de secuencias son,

Fórmula recursiva para la progresión aritmética

Para Progresión aritmética entonces^thEl término se da usando la fórmula recursiva como,

a _norte = un _(n-1) + d para norte ≥ 2

dónde,

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• a_nortees el enésimo término de un A.P.
• d es la diferencia común

Fórmula recursiva para la progresión geométrica

Para Progresión geométrica entonces^thEl término se da usando la fórmula recursiva como,

a _norte = {un _(n-1) }r para n ≥ 2

dónde,

• a_nortees entonces^thtérmino de un médico de cabecera
• r es la razón común

Fórmula recursiva para la serie de Fibonacci

Para Secuencia Fibonacci entonces^thEl término se da usando la fórmula recursiva como,

a _norte = un _(n-1) + un _(n-1) para norte ≥ 2

dónde,

• a₀= 1
• a₁= 1
• a_nortees entonces^thtérmino de una secuencia de Fibonacci

Secuencia y fórmulas útiles

Algunas de las secuencias útiles y sus fórmulas para el n^thLos términos se agregan en la siguiente tabla.

Artículos relacionados con la fórmula recursiva:

• proporción áurea
• Progresión armónica
• Series geométricas
• Serie aritmética

Ejemplos que utilizan fórmula recursiva

Ejemplo 1: Dada una serie de números a los que les falta un número en el medio 1, 11, 21, ?, 41. Usando una fórmula recursiva, encuentre el término que falta.

Solución:

Dado,

1, 11, 21, …, 41

Primer término (a) = 1

re = T₂–T₁=T₃–T₂

d = 11 – 1 = 21 – 11 = 10

Función recursiva en AP a_norte= un_n-1+ d

a₄= un_4-1+ d

a₄= un₃+ d

a₄= 21 + 10

a₄= 31

Ejemplo 2: Serie dada de números 5, 9, 13, 17, 21,… De la serie dada encuentre la fórmula recursiva

Solución:

Serie de números dada

5, 9, 13, 17, 21,…

cadena dividida c ++

Primer Término (a) = 5

re = T₂–T₁=T₃–T₂

re = 9 – 5 = 13 – 9 = 4

Fórmula recursiva para AP a_norte= un_n-1+ d

a _norte = un _n-1 + 4

Ejemplo 3: Dada una serie de números a los que les falta un número en el medio 1, 3, 9,…, 81, 243. Usando una fórmula recursiva, encuentre el término que falta.

Solución:

Dado,

1, 3, 9,…, 81, 243

Primer término (a) = 1

a₂/a₁= 3/1 = 3

a₃/a₂= 9/3 = 3

a₅/a₄= 243/81 = 3

Relación común (r) = 3

Función recursiva para encontrar n^thtérmino en GP a _norte = un _n-1 ×r

a₄= un_4-1×r

a₄= un₃×r

a₄= 9 × 3

a ₄ = 27

Ejemplo 4: Serie dada de números 2, 4, 8, 16, 32,… De la serie dada encuentre la fórmula recursiva.

Solución:

Dada la serie numérica,

2, 4, 8, 16, 32, …

Primer término (a) = 2

a₂/a₁= 4/2 = 2

a₃/a₂= 8/4 = 2

a₄/a₃= 16/8 = 2

Relación común (r) = 2

Fórmula recursiva a_norte= un_n-1×r

a _norte = un _n-1 × 2

Ejemplo 5: Encuentra el 5 ^th término en una serie de Fibonacci si los 3 ^tercero y 4 ^th Los términos son 2,3 respectivamente.

Solución:

Dado,

• a₃= 2
• a₄= 4

Luego, en la secuencia de Fibonnaci, una₅= un₃+ un₄

a₅= 2 + 3

a ₅ = 5

Pregunta de práctica sobre fórmula recursiva

P1: Encuentre la fórmula recursiva para la secuencia, 3,7, 11, 15….

P2: Encuentra el término medio de la secuencia, 4, 9, 14,…. 39, 44

P3: Encuentre la fórmula recursiva para la secuencia 44, 40, 36,…..

P4: Encuentra el término medio de la secuencia 6, 9, 12,…. 33

Resumen: fórmula recursiva

Una fórmula recursiva En matemáticas es como un conjunto de instrucciones que te dicen cómo encontrar el siguiente término en una secuencia basada en los términos anteriores. Es como un patrón en el que cada paso depende del anterior. Por ejemplo, en la secuencia de Fibonacci, cada término es la suma de los dos términos anteriores. Las fórmulas recursivas son útiles para descubrir secuencias en las que cada término depende de los anteriores. Son como una receta para encontrar el siguiente número de la fila.

Preguntas frecuentes sobre la fórmula recursiva

¿Qué es la fórmula recursiva en matemáticas?

La fórmula recursiva, también llamada fórmula de recursividad, es una fórmula que proporciona el siguiente término de cualquier secuencia dependiendo de los términos anteriores de la secuencia.

¿Cuál es la regla recursiva para la serie de Fibonacci?

La fórmula recursiva para la serie de Fibonacci es F._norte=F_(n-1)+F_(n-2), donde norte> 1.

¿Cuál es la diferencia entre fórmulas recursivas y explícitas?

La fórmula recursiva es una fórmula que se utiliza para encontrar el enésimo término de una serie cuando se dan los términos anteriores de la secuencia, mientras que las fórmulas explícitas dan el enésimo término de la secuencia y no depende de los términos anteriores de la secuencia.

¿Cuál es la fórmula recursiva para 9, 15, 21, 27?

La fórmula recursiva para la secuencia 9, 15, 21 y 27 es, a _norte = un _n-1 + 6.

¿Cuáles son algunas fórmulas de recursividad?

Algunas fórmulas famosas de Recusrion son,

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• La fórmula recursiva de una secuencia aritmética es, una_norte= un_n-1+ d
• La fórmula recursiva de una secuencia geométrica es, a_norte= (un_n-1)r