La lógica de predicados se ocupa de los predicados, que son proposiciones y constan de variables.

Lógica de predicados - Definición

Un predicado es una expresión de una o más variables determinadas en algún dominio específico. Un predicado con variables se puede convertir en una proposición asignando un valor a la variable o cuantificando la variable.

• Consider E(x, y) denote 'x = y'
• Considere que X(a, b, c) denota 'a + b + c = 0'
• Considere que M(x, y) denota 'x está casado con y'.

Cuantificador:

La variable de predicados se cuantifica mediante cuantificadores. Hay dos tipos de cuantificadores en lógica de predicados: el cuantificador existencial y el cuantificador universal.

Cuantificador existencial:

Si p(x) es una proposición sobre el universo U, entonces se denota como ∃x p(x) y se lee como 'Existe al menos un valor en el universo de la variable x tal que p(x) es verdadero. El cuantificador ∃ se llama cuantificador existencial.

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Hay varias formas de escribir una proposición, con un cuantificador existencial, es decir,

(∃x∈A)p(x) o ∃x∈A tal que p (x) o (∃x)p(x) o p(x) es cierto para algún x ∈A.

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Cuantificador universal:

Si p(x) es una proposición sobre el universo U. Entonces se denota como ∀x,p(x) y se lee como 'Para cada x∈U,p(x) es verdadero'. El cuantificador ∀ se llama Cuantificador Universal.

Hay varias formas de escribir una proposición con un cuantificador universal.

∀x∈A,p(x) o p(x), ∀x ∈A O ∀x,p(x) o p(x) es cierto para todo x ∈A.

Negación de Proposiciones Cuantificadas:

Cuando negamos una proposición cuantificada, es decir, cuando se niega una proposición universalmente cuantificada, obtenemos una proposición existencialmente cuantificada, y cuando se niega una proposición existencialmente cuantificada, obtenemos una proposición universalmente cuantificada.

Las dos reglas para la negación de una proposición cuantificada son las siguientes. También se denominan Ley de DeMorgan.

Ejemplo: Negue cada una de las siguientes proposiciones:

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1.∀x p(x)∧ ∃ y q(y)

Sol: ~.∀x p(x)∧ ∃ y q(y))
≅~∀ x p(x)∨∼∃yq (y) (∴∼(p∧q)=∼p∨∼q)
≅ ∃ x ~p(x)∨∀y∼q(y)

2. (∃x∈U) (x+6=25)

Sol: ~( ∃ x∈U) (x+6=25)
≅∀ x∈U~ (x+6)=25
≅(∀ x∈U) (x+6)≠25

3. ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y)

Sol: ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y))
≅~∃ x p(x)∧~∀ y q(y) (∴~(p∨q)= ∼p∧∼q)
≅ ∀ x ∼ p(x)∧∃y~q(y))

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Proposiciones con cuantificadores múltiples:

La proposición que tiene más de una variable se puede cuantificar con múltiples cuantificadores. Los múltiples cuantificadores universales se pueden ordenar en cualquier orden sin alterar el significado de la proposición resultante. Además, los múltiples cuantificadores existenciales pueden disponerse en cualquier orden sin alterar el significado de la proposición.

La proposición que contiene cuantificadores tanto universales como existenciales, el orden de esos cuantificadores no se puede intercambiar sin alterar el significado de la proposición, por ejemplo, la proposición ∃x ∀ y p(x,y) significa 'Existe algo de x tal que p (x, y) es cierta para cada y.'

Ejemplo: Escribe la negación para cada uno de los siguientes. Determina si la afirmación resultante es verdadera o falsa. Supongamos que U = R.

1.∀ x ∃ m(x²

Sol: Negación de ∀ x ∃ m(x²2 ≧ m). El significado de ∃ x ∀ m (x²≧m) es que existe para algún x tal que x²≧m, por cada m. La afirmación es verdadera ya que existe un x mayor tal que x²≧m, por cada m.

2. ∃m∀x(x²

Sol: Negación de ∃ m ∀ x (x²2 ≧ m). El significado de ∀ m∃x (x²≧m) es que para cada m, existe para algún x tal que x²≧metro. La afirmación es verdadera ya que para cada m, existe un x mayor tal que x²≧m.