La permutación y la combinación son los conceptos más fundamentales en matemáticas y con estos conceptos, se presenta a los estudiantes una nueva rama de las matemáticas, es decir, la combinatoria. La permutación y la combinación son formas de organizar un grupo de objetos seleccionándolos en un orden específico y formando sus subconjuntos.

Para organizar grupos de datos en un orden específico, se utilizan fórmulas de permutación y combinación. La selección de datos u objetos de un determinado grupo se denomina permutación, mientras que el orden en el que se organizan se denomina combinación.

Permutaciones y combinaciones

En este artículo estudiaremos el concepto de permutación y combinación y sus fórmulas, usándolas también para resolver muchos problemas de muestra.

Tabla de contenidos

• Significado de permutación
• Significado de combinación
• Derivación de fórmulas de permutación y combinación
• Diferencia entre permutación y combinación
• Ejemplos resueltos de permutación y combinación

Significado de permutación

La permutación son las distintas interpretaciones de un número determinado de componentes llevados uno por uno, o algunos, o todos a la vez. Por ejemplo, si tenemos dos componentes A y B, entonces hay dos desempeños probables, AB y BA.

Un número de permutaciones cuando los componentes 'r' se colocan de un total de 'n' componentes es ^norte PAG _r . Por ejemplo, sean n = 3 (A, B y C) y r = 2 (todas las permutaciones de tamaño 2). Entonces hay ³ PAG ₂ tales permutaciones, que es igual a 6. Estas seis permutaciones son AB, AC, BA, BC, CA y CB. Las seis permutaciones de A, B y C tomadas de tres en tres se muestran en la imagen agregada a continuación:

Significado de permutación

Fórmula de permutación

Fórmula de permutación se utiliza para encontrar el número de formas de elegir r cosas fuera de norte cosas diferentes en un orden específico y no se permite el reemplazo y se da de la siguiente manera:

Fórmula de permutación

Explicación de la fórmula de permutación

Como sabemos, la permutación es una disposición de r cosas de n donde el orden de disposición es importante (AB y BA son dos permutaciones diferentes). Si hay tres numerales diferentes 1, 2 y 3 y si alguien tiene curiosidad de permutar los numerales tomando 2 a la vez, le sale (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3). ), (3, 1) y (3, 2). Eso se puede lograr en 6 métodos.

Aquí, (1, 2) y (2, 1) son distintos. Nuevamente, si estos 3 números se ponen manejando todos a la vez, entonces las interpretaciones serán (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1). ), (3, 1, 2) y (3, 2, 1), es decir, de 6 maneras.

En general, se pueden establecer n cosas distintas tomando r (r^thcosa puede ser cualquiera de las n – (r – 1) cosas restantes.

árboles extendidos

Por lo tanto, el número total de permutaciones de n cosas distintas que llevan r a la vez es n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)] que se escribe como^nortePAG_r. O, en otras palabras,

old{{}^nP_r = frac{n!}{(n-r)!} }

Significado de combinación

Son las distintas secciones de un número compartido de componentes transportados uno por uno, o algunos, o todos a la vez. Por ejemplo, si hay dos componentes A y B, entonces solo hay una forma de seleccionar dos cosas: seleccionar ambas.

Por ejemplo, sean n = 3 (A, B y C) y r = 2 (todas las combinaciones de tamaño 2). Entonces hay ³ C ₂ tales combinaciones, que es igual a 3. Estas tres combinaciones son AB, AC y BC.

Aquí el combinación de dos letras cualesquiera de tres letras A, B y C se muestra a continuación, notamos que en combinación el orden en que se toman A y B no es importante ya que AB y BA representan la misma combinación.

Significado de combinación

Nota: En el mismo ejemplo, tenemos distintos puntos de permutación y combinación. Porque AB y BA son dos elementos distintos, es decir, dos permutaciones distintas, pero para seleccionar, AB y BA son iguales, es decir, la misma combinación.

Fórmula combinada

La fórmula combinada se utiliza para elegir 'r' componentes de un número total de 'n' componentes y viene dada por:

Fórmula combinada

Usando la fórmula anterior para r y (n-r), obtenemos el mismo resultado. De este modo,

old{{}^nC_r = {}^nC_{(n-r)}}

Explicación de la fórmula combinada

La combinación, por otro lado, es una especie de pack. Nuevamente, de esos tres números 1, 2 y 3, si se crean conjuntos con dos números, entonces las combinaciones son (1, 2), (1, 3) y (2, 3).

Aquí, (1, 2) y (2, 1) son idénticos, a diferencia de las permutaciones donde son distintos. Esto está escrito como³C₂. En general, el número de combinaciones de n cosas distintas tomadas r a la vez es,

old{{}^nC_r = frac{n!}{r! imes(n-r)!} = frac{{}^nP_r}{r!}}

Derivación de fórmulas de permutación y combinación

Podemos derivar estas fórmulas de permutación y combinación utilizando los métodos básicos de conteo, ya que estas fórmulas representan lo mismo. La derivación de estas fórmulas es la siguiente:

Fórmula de derivación de permutaciones

La permutación es seleccionar r objetos distintos de n objetos sin reemplazo y donde el orden de selección es importante, según el teorema fundamental del conteo y la definición de permutación, obtenemos

P (norte, r) = norte. (n-1). (n-2). (n-3). . . . .(norte-(r+1))

¡Multiplicando y dividiendo arriba con (n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2). . . . .3. 2. 1, obtenemos

P (n, r) = [n.(n-1).(n-2)….(nr+1)[(n-r)(n-r-1)(n-r)!] / (n-r) !

⇒ P (n, r) = n!/(n−r)!

Por tanto, se deriva la fórmula para P (n, r).

Fórmula de derivación de combinaciones

La combinación consiste en elegir r elementos entre n elementos cuando el orden de selección no tiene importancia. Su fórmula se calcula como,

C(n, r) = Número total de permutaciones /Número de formas de organizar r objetos diferentes.
[Ya que por el teorema fundamental del conteo, sabemos que el número de formas de organizar r objetos diferentes en r formas = r!]

C(n,r) = P(n,r)/r!

⇒ C(n,r) = n!/(n−r)!r!

Por tanto, se deriva la fórmula de combinación, es decir, C(n, r).

Diferencia entre permutación y combinación

Diferencias entre permutación y combinación. se puede entender mediante la siguiente tabla:

Compruebe también,

• Teorema del binomio
• Expansión binomial
• Variables aleatorias binomiales
• Teorema fundamental del conteo

Ejemplos resueltos de permutación y combinación

Ejemplo 1: Encuentre el número de permutaciones y combinaciones de n = 9 y r = 3 .

Solución:

Dado, n = 9, r = 3

Usando la fórmula dada arriba:

Para permutación:

^nortePAG_r= (norte!) / (norte – r)!

⇒^nortePAG_r= (9!) / (9 – 3)!

⇒^nortePAG_r= 9! / 6! = (9 × 8 × 7 × 6! )/ 6!

⇒ ^norte PAG _r = 504

Para combinación:

^norteC_r= norte!/r!(norte − r)!

rebanada de java

⇒^norteC_r= 9!/3!(9 − 3)!

⇒^norteC_r= 9!/3!(6)!

⇒^norteC_r= 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!

⇒ ^norte C _r = 84

Ejemplo 2: ¿De cuántas maneras se puede elegir un comité formado por 4 hombres y 2 mujeres entre 6 hombres y 5 mujeres?

Solución:

Elija 4 hombres de 6 hombres =⁶C₄formas = 15 formas

Elige 2 mujeres de 5 mujeres =⁵C₂formas = 10 formas

El comité puede ser elegido en⁶C₄×⁵C₂= 150 formas.

Ejemplo 3: ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 5 libros diferentes en un estante?

Solución:

Este es un problema de permutación porque el orden de los libros es importante.

Usando la fórmula de permutación, obtenemos:

⁵PAG₅= 5! / (5 – 5)! = 5! / 0! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Por lo tanto, hay 120 maneras de ordenar 5 libros diferentes en un estante.

Ejemplo 4: ¿Cuántas palabras de 3 letras se pueden formar usando las letras de la palabra FÁBULA?

Solución:

Este es un problema de permutación porque el orden de las letras importa.

Usando la fórmula de permutación, obtenemos:

⁵PAG₃= 5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60

Por lo tanto, hay 60 palabras de 3 letras que se pueden formar usando las letras de la palabra FÁBULA.

Ejemplo 5: Se va a formar un comité de 5 miembros a partir de un grupo de 10 personas. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

Solución:

Este es un problema de combinación porque el orden de los miembros no importa.

Usando la fórmula de combinación, obtenemos:

cómo convertir una cadena a un número entero

¹⁰C₅= 10! / (5! x (10 – 5)!) = 10! / (5! x 5!)

⇒¹⁰C₅= (10 x 9 x 8 x 7 x 6) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252

Por tanto, existen 252 formas de formar un comité de 5 miembros a partir de un grupo de 10 personas.

Ejemplo 6: Una pizzería ofrece 4 ingredientes diferentes para sus pizzas. Si un cliente quiere pedir una pizza con exactamente 2 ingredientes, ¿de cuántas maneras se puede hacer?

Solución:

Este es un problema de combinación porque el orden de los ingredientes no importa.

Usando la fórmula de combinación, obtenemos:

⁴C₂= 4! / (2! x (4 – 2)!) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6

Por lo tanto, hay 6 maneras de pedir una pizza con exactamente 2 ingredientes de 4 ingredientes diferentes.

Ejemplo 7: ¿Qué cantidad de palabras se pueden crear usando 2 letras del término AMOR?

Solución:

El término AMOR tiene 4 letras distintas.

Por lo tanto, número requerido de palabras =⁴PAG₂= 4! / (4 – 2)!

Número requerido de palabras = 4! / 2! = 24/2

⇒ Número requerido de palabras = 12

Ejemplo 8: De 5 consonantes y 3 vocales, ¿cuántas palabras de 3 consonantes y 2 vocales se pueden formar?

Solución:

Número de formas de elegir 3 consonantes entre 5 =⁵C₃

Número de formas de elegir 2 vocales de 3 =³C₂

Número de formas de elegir 3 consonantes de 2 y 2 vocales de 3 =⁵C₃׳C₂

⇒ Número requerido = 10 × 3

= 30

Significa que podemos tener 30 grupos donde cada grupo contiene un total de 5 letras (3 consonantes y 2 vocales).

Número de formas de ordenar 5 letras entre sí.

= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Por lo tanto, el número requerido de formas = 30 × 120

⇒ Número requerido de formas = 3600

Ejemplo 9: ¿Cuántas combinaciones diferentes obtienes si tienes 5 artículos y eliges 4?

Solución:

Inserta los números dados en la ecuación de combinaciones y resuelve. n es el número de elementos que hay en el conjunto (5 en este ejemplo); r es la cantidad de elementos que está eligiendo (4 en este ejemplo):

C(norte, r) = norte! /r! (n – r)!

⇒^norteC_r= 5! / 4! (5 – 4)!

⇒^norteC_r= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)

⇒^norteC_r= 120/24

⇒^norteC_r= 5

La solución es 5.

Ejemplo 10: De 6 consonantes y 3 vocales, ¿cuántas expresiones ¿Se pueden crear 2 consonantes y 1 vocal?

Solución:

Número de formas de seleccionar 2 consonantes de 6 =⁶C₂

Número de formas de seleccionar 1 vocal de 3 =³C₁

Número de formas de seleccionar 3 consonantes de 7 y 2 vocales de 4.

⇒ Formas requeridas =⁶C₂׳C₁

⇒ Formas requeridas = 15 × 3

⇒ Formas requeridas = 45

Significa que podemos tener 45 grupos donde cada grupo contiene un total de 3 letras (2 consonantes y 1 vocal).

Número de formas de ordenar 3 letras entre sí = ¡3! = 3 × 2 × 1

⇒ Formas requeridas para organizar tres letras = 6

Por lo tanto, el número requerido de formas = 45 × 6

⇒ Formas requeridas = 270

Ejemplo 11: ¿En cuántas formas distintas? ¿Se pueden organizar las letras del término 'TELÉFONO' de manera que las vocales sean consistentes? venir juntos?

Solución:

La palabra 'TELÉFONO' tiene 5 letras. Tiene las vocales 'O', 'E' y estas 2 vocales siempre deben ir juntas. Así, estas dos vocales pueden agruparse y verse como una sola letra. Es decir, PHN(OE).

Por lo tanto podemos tomar letras en total como 4 y todas estas letras son distintas.

Número de métodos para organizar estas letras = ¡4! = 4 × 3 × 2 × 1

⇒ Formas requeridas de ordenar las letras = 24

Las 2 vocales (OE) son distintas.

Número de formas de ordenar estas vocales entre sí = ¡2! = 2 × 1

⇒ Formas requeridas para organizar las vocales = 2

Por lo tanto, el número requerido de formas = 24 × 2

⇒ Formas requeridas = 48.

Preguntas frecuentes sobre permutaciones y combinaciones

¿Qué es la fórmula factorial?

La fórmula factorial se utiliza para el cálculo de permutaciones y combinaciones. La fórmula factorial para n! se da como

¡norte! = norte × (n-1) × . . . × 4 × 3 × 2 × 1

Por ejemplo, ¡3! = 3 × 2 × 1 = 6 y 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Pete Davidson

Que hace ^norte C _r ¿representar?

^norteC_rrepresenta el número de combinaciones que se pueden hacer a partir de norte objetos tomando r a la vez.

¿Qué quieres decir con permutaciones y combinaciones?

Una permutación es un acto de ordenar las cosas en un orden específico. Las combinaciones son las formas de seleccionar. r objetos de un grupo de norte objetos, donde el orden del objeto elegido no afecta la combinación total.

Escribe ejemplos de permutaciones y combinaciones.

Número de palabras de 3 letras que se pueden formar usando las letras de la palabra que dice HOLA;⁵PAG₃= 5!/(5-3)! este es un ejemplo de una permutación.
Número de combinaciones que podemos escribir las palabras usando las vocales de la palabra HOLA;⁵C₂=5!/[2! (5-2)!], este es un ejemplo de combinación.

Escribe la fórmula para encontrar permutaciones y combinaciones.

• Fórmula para calcular permutaciones: ^norte Pr = n!/(n-r)!
• Fórmula para calcular combinaciones: ^norte Cr = n!/[r! (n-r)!]

Escribe algunos ejemplos de la vida real de permutaciones y combinaciones.

La clasificación de personas, números, letras y colores son algunos ejemplos de permutaciones.
La selección del menú, la ropa y los temas, son ejemplos de combinaciones.

¿Cuál es el valor de 0!?

¡El valor de 0! = 1, es muy útil para resolver los problemas de permutación y combinación.