Un período se define como el intervalo de tiempo entre dos puntos en el tiempo, y una función periódica se define como una función que se repite en intervalos o períodos de tiempo regulares. En otras palabras, una función periódica es una función cuyos valores se repiten después de un intervalo de tiempo específico. Una función periódica se representa como f(x + p) = f(x), donde p es el período de la función. La onda sinusoidal, la onda triangular, la onda cuadrada y la onda en diente de sierra son algunos ejemplos de funciones periódicas. A continuación se muestran gráficas de algunas funciones periódicas, y podemos observar que la gráfica de cada función periódica tiene simetría traslacional.

Periodo fundamental de una función.

El dominio de una función periódica abarca todos los valores de números reales, mientras que su rango se especifica para un intervalo fijo. Una función periódica es aquella en la que existe un número real positivo P tal que f (x + p) = f (x), siendo todos los x números reales. El período fundamental de una función es el menor valor del número real positivo P o el período durante el cual una función se repite.

f(x + P) = f(x)

dónde,

PAG es el periodo de la función y F es la función periódica.

¿Cómo determinar el período de una función?

1. Una función periódica se define como una función que se repite a intervalos o períodos regulares.
2. Se representa como f(x + p) = f(x), donde p es el período de la función, p ∈ R.
3. Periodo significa el intervalo de tiempo entre las dos apariciones de la onda.

Períodos de funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son funciones periódicas y el período de las funciones trigonométricas es el siguiente

• El periodo de Sin x y Cos x es 2p .

es decir, sin(x + 2π) = sin x y cos(x + 2π) = cos x

• El período de Tan x y Cot x es Pi.

es decir, tan(x + π) = tan x y cot(x + π) = cot x

• El periodo de Sec x y Cosec x es 2p.

es decir, sec(x + 2π) = sec x y cosec(x + 2π) = cosec x

El período de la función se conoce como la distancia entre las repeticiones de cualquier función. El período de una función trigonométrica es la duración de un ciclo completo. La amplitud se define como el desplazamiento máximo de una partícula en una onda desde el equilibrio. En palabras simples, es la distancia entre el punto más alto o más bajo y el punto medio en la gráfica de una función. En trigonometría, hay tres funciones fundamentales, a saber, sen, cos y tan, cuyos períodos son 2π, 2π y π, respectivamente. El punto inicial de la gráfica de cualquier función trigonométrica se toma como x = 0.

Por ejemplo, si observamos el gráfico del coseno que se muestra a continuación, podemos ver que la distancia entre dos apariciones es 2π, es decir, el período de la función coseno es 2π. Su amplitud es 1.

Gráfico de coseno

Fórmulas periódicas

• Si p es el período de la función periódica f (x), entonces 1/f (x) también es una función periódica y tendrá el mismo período fundamental de p que f(x).

Si f (x + p) = f (x),

F(x) = 1/f(x) , entonces F (x + p) = F (x).

• Si p es el período de la función periódica f(x), entonces f (ax + b), a>0 también es una función periódica con un período de p/|a|.

• El período de Sin (ax + b) y Cos (ax + b) es 2π/|a|.
• El período de Tan (ax + b) y Cot (ax + b) es π/|a|.
• El período de Sec (ax + b) y Cosec (ax + b) es 2π/|a|.

• Si p es el período de la función periódica f(x), entonces af(x) + b, a>0 también es una función periódica con un período de p.

• El período de [a Sin x + b] y [a Cos x + b] es 2π.
• El período de [a Tan x + b] y [a Cot x + b] es π.
• El período de [a Sec x + b] y [a Cosec x + b] es 2π.

Problemas de práctica basados ​​en la función periódica

Problema 1: Determinar el período de la función periódica cos(5x + 4).

Solución:

Función dada: cos (5x + 4)

El coeficiente de x = a = 5.

Lo sabemos,

El período de cos x es 2π.

Entonces, el periodo de cos(5x + 4) es 2π/ |a| = 2π/5.

Por tanto, el periodo de cos(5x + 4) es 2π/5.

Problema 2: Encuentra el período de f(x) = cot 4x + sen 3x/2.

Solución:

Función periódica dada: f(x) = cot 4x + sen 3x/2

Lo sabemos,

El período de cot x es π y el período de sen x es 2π.

Entonces, el período de cot 4x es π/4.

Entonces, el período del pecado 3x/2 es 2π/(3/2) = 4π/3.

Ahora, el cálculo del período de la función f(x) = cot 4x + sen 3x/2 es,

Período de f(x) = (MCM de π y 4π)/(HCF de 3 y 4) = 4π/1 = 4π.

Por lo tanto, el período de cot 4x + sen 3x/2 es 4π.

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Problema 3: Dibuja la gráfica de y = 3 sen 3x+ 5.

Solución:

Dado que y = 3 sen 3x + 5

La onda dada tiene la forma y = a sen bx + c

Del gráfico anterior, podemos escribir lo siguiente:

1. Periodo = 2π/|b| = 2π/3
2. Axis: y = 0 [x-axis ]
3. Amplitud: 3
4. Valor máximo = (3 × 1) + 5 = 8
5. Valor mínimo = (3 × -1) + 5 = 2
6. Dominio: { x : x ∈ R }
7. Rango = [8, 2]

Problema 4: Determinar el período de la función periódica dada 5 sin(2x + 3).

Solución:

Función dada: 5 sin(2x + 3)

El coeficiente de x = a = 2.

Lo sabemos,

El período de cos x es 2π.

Entonces, el período de 5 sin(2x + 3) es 2π/ |a| = 2π/2 = π.

Por tanto, el período de 5 sin(2x + 3) es π.

Problema 5: Encuentra el período de f (x) = tan 3x + cos 5x.

Solución:

Función periódica dada: f(x) =tan 3x + cos 6x.

Lo sabemos,

El período de tan x es π y el período de cos x es 2π.

Entonces, el período de tan 3x es π/3.

Entonces, el periodo de cos 6x es 2π/5.

Ahora, el cálculo del período de la función f(x) = tan 3x + cos 6x es,

Período de f(x) = (MCM de π y 2π)/(HCF de 3 y 5) = 2π/1 = 2π.

Por tanto, el periodo de f(x) = tan 3x + cos 5x es 2π.